2027届高三数学一轮复习初步模拟测试卷（五）——统计与概率

**基本信息** 聚焦高考高频错题，整合二项式定理、概率统计、立体几何等核心知识，通过智能驾驶故障责任推断、两校成绩比较等真实情境设计，强化数学思维与数据观念，适配一轮复习查漏补缺需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|二项式系数、分组问题、异面直线|结合2026北京高考题，考查基础运算与空间想象| |多选题|3|二项式定理、随机事件概率|引入莱布尼茨三角形，渗透数学文化| |填空题|3|正态分布、数学期望|2025全国一卷真题改编，强化模型应用| |解答题|5|独立性检验、概率分布列、集合创新|设计蚂蚁运动概率递推问题，培养逻辑推理与数学建模能力|

高中数学错题综合卷（五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．2026北京高考已知的展开式中的的系数是280，则（        ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 2．2026全国二卷把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术公关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（        ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 3．2025上海高考有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（     ）． A． B． C． D． 4．2026高三全国专题复习某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（       ） A． B． C． D． 5．2026全国一卷设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（        ） A． B． C．0 D． 6．2026高二下福建南平期末若，的展开式中的系数为55，则（        ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．2026高二下辽宁沈阳阶段检测已知平面坐标系内一曲线的初始状态，每次随机变换的概率按照下述规则之一进行：（1）关于轴对称的概率为；（2）关于轴对称的概率为；（3）关于直线对称的概率为；（4）关于直线对称的概率为．经过次变换后曲线的状态记为，则3次变换后中取值范围为的概率为（　　） A． B． C． D． 8．2026全高三全国专题训练过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（     ） A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 二、多选题 9．2026高二下贵州遵义期中已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（       ） A． B． C．展开式的各项系数和为 D． 10．2026高三下江苏无锡阶段检测设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（     ） A．若，则； B．若，则； C．若，，则； D．若，则． 11．2026高二下·福建南平·期末将杨辉三角中的每一个数值都换成得到的三角形称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多有趣的性质，如从第0行开始每一个数均等于其脚下两个数之和．如果，以下关于莱布尼茨三角形的结论中，正确的有（        ） A．第行的第个数是 B．当是奇数时，正中间的两个数相等，且为这一行所有数的最大值 C．第行中，第个数等于第个数 D． 三、填空题 12．2026高二下·吉林·期末已知，则______，______. 13．26-27高三·全国·一轮复习在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为______. 14．2025·全国一卷·高考有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题 15.2026高二下重庆期中为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． （1）请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． （3）用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.2026高二下重庆期中现有两个不透明的，箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中箱子中装有2个红球，1个白球，箱子中装有3个红球，3个白球．先从箱子采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，并将箱子剩余的球混入箱子后再从箱中采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，记为停止从箱子取球时，箱子内剩余的白球个数． （1）停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球的概率； （2）停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率； （3）求的分布列． 17.2026高一上北京期末设集合，其中，，在M的所有元素个数为K（，2≤K≤n）的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最大元素之和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最小元素之和记为（，2≤K≤n）． (1)当n＝4时，求、的值； (2)当n＝10时，求的值； (3)对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n，是否为与n无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由． 18.2025广西南宁市高三上开学考一只蚂蚁从正方形的顶点出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为. （1）求，； （2）设经过步到达点的概率为，求的值； （3）求. 19.2025辽宁沈阳模拟集合且，若，且，，令. （1）若，满足，请写出一个符合题意的，并求出； （2）若集合，任取中2个不同的元素，求集合中元素个数的最大值； （3）若存在，使，集合中任两个元素不同，求出此时 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高中数学错题综合卷（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B C A B B D BC AC ACD 题号 12 13 14 答案 180；-1023 0.32 25/61 15.【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表， （2）结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可； （3）利用二项分布求解即可. 【小问1详解】 由已知，列联表如下： 单位：人 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 【小问2详解】 零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异. 根据列联表数据，计算得到 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此不拒绝原假设，即不能认为两校学生的数学成绩优秀率有差异. 【小问3详解】 甲校数学成绩样本的优秀率为，作为甲校数学成绩总体的优秀率， 设甲校的3名学生中成绩优秀的人数为，则， 所求概率为. 16.【分析】（1）按取球规则，需第一次取红球，则可以发生停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球； （2）利用全概率公式求解； （3）先列出箱球的情况，再对应求箱子内剩余的白球个数对应的概率，最后列分布列. 【小问1详解】 A箱原有2红1白共3个球：若第一次取出白球，A箱剩余2个红球， 只剩同色，停止取球，剩余2个球； 若第一次取出红球（概率为），A箱剩余1红1白，两种颜色都存在，需继续取球， 取1次后剩余1个 17.【详解】（1）当时，，则3元子集分别为，则，. （2）当n＝10时，4元子集一共有个，其中从1到10，每个元素出现的次数均有次，故 （3）与n无关，为定值，证明过程如下： 对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n， 集合的所有含K个元素的子集个数为，这个子集中，最大元素为n的有个，最大元素为的有个，……，最大元素为的有个，……，最大元素为的有个，则①，其中，所以 ， 这个子集中，最小元素为1的有个，最小元素为2的有个，最小元素为3的有个，……，最小元素为（m+1）的有个，……，最小元素为的有个，则②，则①+②得：，所以，故，证毕. 18.【详解】解：（1）因为即经过一步从点到达点的概率，所以， 因为即经过两步从点到在点的概率，包括先顺时针再逆时针和先逆时针再顺时针， 所以， （2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，到达的概率为，到达点的概率为， 所以， 当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，，所以， 综上，当为偶数时，，当为奇数时，， （3）当为奇数时，， 当为偶数时，从点或点出发经过两步到点有概率分别为 ，， 从点出发经过步到点分为两步， ①从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为， ②从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 综上，当为奇数时，，当为偶数时， 19.【解析】 （1）由，可得，即，故和有3对符号不同，5对符号相同，即可得解； （2）由题意可得：当和符号相同时，有，当和符号相异时，有， 若要任取中2个不同的元素，所以，和8组数据中，至少有6组符号相同，经讨论即可得解； （3）根据题意，若存在，使，则元素和，和，和符号不相同的组数相同，经讨论即可得解. 【详解】（1）由，可得， 即， 当和符号相同时，有， 当和符号相异时，有， 故和有3对符号不同，5对符号相同， 故可取为， ； （2）由题意可得： 当和符号相同时，有， 当和符号相异时，有， 若要任取中2个不同的元素 所以，和8组数字中，至少有6组符号相同， 且不能有8组数字符号全相同，若8组数字符号全相同此时为同一元素，不符题意， 对于元素， 和有7组数字符号相同有一组数字符号相异的有8种情况， 如若为， 有：8个 并且这8个元素互相之间有6组数字符号相同，两组数字符号相异，符合条件， 故此时共有9个元素，故集合中元素个数的最大值为9； （3）根据题意，若存在，使， 则各元素中数字和，和，和符号不相同的组数相同， 当两两数字符号不相同组数为0时，为同一元素，不符题意， 当两两数字符号不相同组数为1，3，5，6，7，8， 集合有2个元素，故不存， 当两两数字符号不相同组数为4，即时， 集合有4个元素，故存在， 此时， 当两两数字符号不相同组数为2时，即 集合有8个元素，故存在，此时 . 综上可得：当时，；当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $