4.5.2 二次函数与利润问题及面积问题（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦二次函数与利润、面积问题的应用，通过旅行社营业额、商店利润等生活实例导入，衔接二次函数顶点式求最值的旧知，以问题链为支架引导学生从实际情境抽象数量关系，建立函数模型。 其亮点在于立足真实情境（如振兴乡村农产品销售、农场饲养室设计），采用“学习理解-应用实践-迁移创新”分层设计，培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。例如方案设计题分析工人分配与利润关系，助力学生掌握建模方法，也为教师提供梯度化教学资源。

《学练优》·九年级数学上·XJ 第4章　二次函数 4.5　二次函数的应用 第2课时　二次函数与利润问题及面积问题 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　二次函数与利润最大问题 1. 某旅行社在“五一”黄金周期间接团去外地旅 游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x满足 表达式y＝－x2＋100x＋28400，要使所获营业额最 大，则此时旅行团有(　C　) A. 30人 B. 40人 C. 50人 D. 55人 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2. 某商店在销售十二生肖吉祥物时，已知所获利润 y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y＝－x2＋ 24x＋2956，则获利最多为(　B　) A. 3144元 B. 3100元 C. 144元 D. 2956元 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干 部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40 元的农产品.如图是该种农产品的日销售量y(千克) 与销售单价x(元)之间的函数图象，请结合图象回答 下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取 值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝ kx＋b，把(50，50)，(80，20)代入 得 解得 ∴y＝－x＋100.令y＝0，则－x＋ 100＝0，解得x＝100. ∵成本价为每千克40元， 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b， 把(50，50)，(80，20)代入得 解得 ∴y＝－x＋100.令y＝0， 则－x＋100＝0，解得x＝100. ∵成本价为每千克40元， ∴40＜x＜100. ∴y与x的函数关系式为y＝－x＋100(40＜x＜ 100). ∴40＜x＜100. ∴y与x的函数关系式为y＝－x＋100(40＜x＜100). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最 大利润是多少？ 解：(2)设日销售利润为w元，则w＝(x－40)y＝(x －40)(－x＋100)＝－x2＋140x－4000＝－(x－70)2 ＋900. ∵－1＜0， ∴当x＝70时，w有最大值，最大值为900. ∴当销售单价定为70元时，日销售利润最大，最大 利润是900元. 3. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干 部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40 元的农产品.如图是该种农产品的日销售量y(千克) 与销售单价x(元)之间的函数图象，请结合图象回答 下列问题： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(2)设日销售利润为w元， 则w＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋100)＝ －x2＋140x－4000＝－(x－70)2＋900. ∵－1＜0， ∴当x＝70时，w有最大值，最大值为900. ∴当销售单价定为70元时，日销售利润最大，最大 利润是900元. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 知识点二　二次函数与几何面积问题 4. 已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这 个直角三角形的最大面积为(　B　) A. 25cm2 B. 50cm2 C. 100cm2 D. 不确定 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5. 如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16m，则所 围成的矩形ABCD的最大面积是(　C　) A. 60m2 B. 63m2 C. 64m2 D. 66m2 第5题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6. 如图，用长12m的铝合金条制成一个中间有横档 的矩形窗框，为使窗户的透光面积最大(忽略窗框的 宽度)，则AD的长为 m. 第6题图 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7. 如图，已知▱ABCD的周长为8cm，∠B＝ 30°，若边AB＝xcm，▱ABCD的面积为ycm2. (1)求y与x之间的函数表达式并写出自变量的取值 范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(1)如图，过A作AE⊥BC于E. ∵∠B＝30°，AB＝xcm，∴AE＝ xcm. 又∵▱ABCD的周长为8cm， ∴BC＝(4－x)cm.∴y＝AE·BC＝ x(4－x)＝－ x2＋2x(0＜x＜4). 解：(1)如图，过A作AE⊥BC于E. ∵∠B＝30°，AB＝xcm，∴AE＝ xcm. 又∵▱ABCD的周长为8cm， ∴BC＝(4－x)cm. ∴y＝AE·BC＝ x(4－x)＝－ x2＋2x(0＜x＜4). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 解：(2)y＝－ x2＋2x＝－ (x－2)2＋2. ∵－ ＜0，0＜x＜4， ∴当x＝2时，y有最大值，最大值是2. 解：(2)y＝－ x2＋2x＝－ (x－2)2＋2. ∵－ ＜0，0＜x＜4， ∴当x＝2时，y有最大值，最大值是2. 7. 如图，已知▱ABCD的周长为8cm，∠B＝ 30°，若边AB＝xcm，▱ABCD的面积为ycm2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8. 教材P164习题T3变式 如图，在△ABC中，∠B ＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从A开始 沿边AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合)，动 点Q从点B开始沿边BC向C以4cm/s的速度移动(不 与点C重合).若P，Q分别从A，B同时出发，则经 过 s四边形APQC的面积最小. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面 靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙 的总长为50m.设饲养室长为xm，占地面积为ym2. (1)如图①，饲养室长x为多少时，占地面积y最 大？ 解：(1)∵y＝x· ＝－ (x－25)2＋ ， ∴当x＝25时，占地面积y最大. 解：(1)∵y＝x· ＝－ (x－25)2＋ ， ∴当x＝25时，占地面积y最大. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)如图②，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且 仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养 室长比(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算，判 断小敏的说法是否正确. 9. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面 靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙 的总长为50m.设饲养室长为xm，占地面积为ym2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(2)∵y＝x· ＝－ (x－26)2＋338， ∴当x＝26时，占地面积y最大.∵26－25＝1≠2， ∴小敏的说法不正确. 解：(2)∵y＝x· ＝－ (x－26)2＋338， ∴当x＝26时，占地面积y最大.∵26－25＝1≠2， ∴小敏的说法不正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 新考向 方案设计 某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式.因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件.要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装总件数相等.每天加工的服 装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元，如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 服装 种类 加工人 数(人) 每人每天加 工量(件) 平均每件 获利(元) 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 任务1：求x，y之间的数量关系. 解：任务1：根据题意得(70－x－y)×1＝2y. 整理得y＝－ x＋ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 新考向 方案设计 某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式.因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件.要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装总件数相等.每天加工的服 装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元，如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 服装种类 加工人 数(人) 每人每天加工量(件) 平均每件 获利(元) 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 任务2：设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式. 任务2：根据题意得w＝2y×24＋(70－x－y)×48 ＋x[100－2(x－10)]. 化简得w＝－2x2＋72x＋3360. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 新考向 方案设计 某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式.因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件.要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装总件数相等.每天加工的服 装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元，如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 服装 种类 加工人 数(人) 每人每天加 工量(件) 平均每件 获利(元) 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 任务3：制定使每天总利润最大的加工方案. 解：任务1：根据题意得(70－x－y)×1＝2y.整理 得y＝－ x＋ . 任务2：根据题意得w＝2y×24＋(70－x－y)×48 ＋x[100－2(x－10)].化简得w＝－2x2＋72x＋ 3360. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 任务3：由任务2得w＝－2x2＋72x＋3360＝－2(x－ 18)2＋4008，∴当x＝18时，w的值最大，此时y＝ － ×18＋ ＝ ，不符合题意. ∴x≠18.∵抛物线开口向下， ∴取x＝17或x＝19.当x＝17时，y＝ ，不符合 题意； 当x＝19时，y＝17，符合题意. 任务3：由任务2得w＝－2x2＋72x＋3360＝－2(x－ 18)2＋4008， ∴当x＝18时，w的值最大， 此时y＝ － ×18＋ ＝ ，不符合题意. ∴x≠18.∵抛物线开口向下， ∴取x＝17或x＝19. 当x＝17时，y＝ ，不符合题意； 当x＝19时，y＝17，符合题意. ∴70－x－y＝34.综上，安排19名工人加工“雅” 服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工 “正”服装，可使每天的总利润最大. ∴70－x－y＝34. 综上，安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服 装，34名工人加工“正”服装，可使每天的总利润最大. 服装 种类 加工人 数(人) 每人每天加 工量(件) 平均每件 获利(元) 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $