26.4.3 拱桥问题及其他问题（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦二次函数的实际应用，以拱桥问题为核心，通过赵州桥、刹车距离等现实情境导入，衔接二次函数概念与性质，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实（如抛物线形拱桥、遮阳棚），用“数学思维”推理运算（建立坐标系求函数表达式），“数学语言”构建模型（解决行程、生物酶活性等问题）。采用情境化例题与分层练习，助学生提升应用能力，为教师提供丰富教学资源。

《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数 第3课时　拱桥问题及其他问题 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　拱桥问题 1. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形， 建立如图所示的平面直角坐标系，其图象对应的函 数关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m时，这时水面的宽度AB为 m. 20　 第1题图 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2. 某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面 的跨度OA为20米，若按如图所示方式建立平面直角 坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝－x2 ＋bx，根据以上信息可知主桥拱最高点P与其在水 中的倒影点P'之间的距离为 米. 20　 第2题图 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高6m， 跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m. (1)建立适当的平面直角坐标系，求这条抛物线的表 达式； 解：(1)答案不唯一，如建立如图的平面直角坐标系. 设所求抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c， 由图可知抛物线过点A(－10，0)，B(10，0)和C(0，6)， 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴解得 ∴这条抛物线的表达式为y＝－x2＋6. 3. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高6m， 跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m. (1)建立适当的平面直角坐标系，求这条抛物线的表 达式； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高6m， 跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m. (2)求立柱MN的长. 解：(2)根据题意可知，点N在抛物线上，且点N的 横坐标为5，将x＝5代入抛物线的表达式，得y＝－ ×52＋6＝4.5.∴MN＝8－4.5＝3.5(m).∴立柱 MN的长为3.5m. 解：(2)根据题意可知，点N在抛物线上， 且点N的横坐标为5，将x＝5代入抛物线的表达式， 得y＝－×52＋6＝4.5.∴MN＝8－4.5＝3.5(m). ∴立柱MN的长为3.5m. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 知识点二　其他问题 4. 新情境 刹车距离 影响刹车距离的最主要因素是 汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明，晴 天在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)的汽车的刹 车距离s(m)可由公式s＝v2确定；雨天行驶时，这 一公式为s＝v2.如果该汽车的行驶速度是 60km/h，那么在该段公路上的雨天行驶和晴天行驶 相比，刹车距离相差 m. 36　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. 跨学科 生物 酶是一种生物催化剂，其催化能力 称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶 的活性与温度有密切关系.已知某种酶在一定温度范 围内，其活性y(单位：IU)与温度x(单位：℃)的关系 可以近似用函数y＝－x2＋30x＋1200表示，要使其 催化反应最快，则温度应保持在 ℃. 30　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. 小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去往B地. 设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分 别为y1m，y2m.y1与x之间的函数关系式是y1＝－ 180x＋2250，y2与x之间的函数关系式是y2＝－10x2 －100x＋2000. (1)小丽出发时，小明离A地的距离为 m. 250　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. 小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去往B地. 设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分 别为y1m，y2m.y1与x之间的函数关系式是y1＝－ 180x＋2250，y2与x之间的函数关系式是y2＝－10x2 －100x＋2000. (2)小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时 相距最近？最近距离是多少？ 解：设小丽出发第xmin时，两人相距sm， 则s＝(－180x＋2250)－(－10x2－100x＋2000)＝10x2 －80x＋250＝10(x－4)2＋90， ∴当x＝4时(两人还未到达B地)，s取得最小值，此 时s＝90. 解：设小丽出发第xmin时，两人相距sm， 则s＝(－180x＋2250)－(－10x2－100x＋2000)＝10x2 －80x＋250＝10(x－4)2＋90， 2 3 4 5 6 7 8 9 1 答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离 是90m. 答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离 是90m. ∴当x＝4时(两人还未到达B地)，s取得最小值， 此时s＝90. 6. 小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去往B地. 设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分 别为y1m，y2m.y1与x之间的函数关系式是y1＝－ 180x＋2250，y2与x之间的函数关系式是y2＝－10x2 －100x＋2000. (2)小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时 相距最近？最近距离是多少？0(x－4)2＋90， ∴当x＝4时(两人还未到达B地)，s取得最小值， 时s＝90. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 新情境 生活应用 如图是一款抛物线形落地灯筒 示意图，防滑螺母所在点C为抛物线支架的最高 点，距离地面2.5m，灯罩D距离地面2.25m，最高 点C距灯柱的水平距离为1.5m，灯柱AB为1.5m.若 茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE 为 m. 2.25　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. [研究课题]为班级年度优秀学生设计奖杯. 素材1：如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部 分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，点A与点B 均为最高点，且A，B两点之间的距离为16cm，点A 到杯底EF的竖直高度为24cm；下半部分是一个等 腰三角形底座CEF，CD⊥EF于点D，图中所有的点 都在同一平面内. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 素材2：以杯底EF所在直线为x轴，过点A且垂直于 EF的直线为y轴建立平面直角坐标系.如图，抛物线 部分满足函数关系式y＝x2＋bx＋c. 素材3：在距离杯底的竖直高度为12cm的点M，N处 贴上装饰图案(点M在点N的左侧，图案大小忽略不 计). [任务解决] 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (1)求该奖杯抛物线部分的函数表达式； 解：(1)根据题意可得A(0，24)，∴c＝24. ∵A，B两点之间的距离为16cm， ∴抛物线的对称轴为直线x＝8.∴－＝8，解得b ＝－4. ∴抛物线部分的函数表达式为y＝x2－4x＋24. 解：(1)根据题意可得A(0，24)，∴c＝24. ∵A，B两点之间的距离为16cm， ∴抛物线的对称轴为直线x＝8. ∴－＝8，解得b＝－4. ∴抛物线部分的函数表达式为y＝x2－4x＋24. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)求M，N两点之间的水平距离. 解：(2)在y＝x2－4x＋24中，令y＝12，得x2－4x＋ 24＝12， 解得x1＝4，x2＝12.∴M(4，12)，N(12，12). ∴MN＝12－4＝8，即M，N两点之间的水平距离为 8cm. 解：(2)在y＝x2－4x＋24中，令y＝12， 得x2－4x＋24＝12， 解得x1＝4，x2＝12.∴M(4，12)，N(12，12). ∴MN＝12－4＝8，即M，N两点之间的水平距离为8cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 新情境 新能源 汽车近期，全国多地新能源汽 车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施， 为车主提供更舒适、安全的充电环境.图①是某 弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面 可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该 抛物线的最高点，点B到地面的距离为3米，棚顶 与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点 B的水平距离为6米. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (1)按如图①所示的平面直角坐标系，求抛物线的解 析式. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)由题可得抛物线的顶点B的坐标为(6，3). 设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋3.易知点A的坐 标为(0，2)， 代入函数解析式中，得2＝a(0－6)2＋3，解得a＝－ . ∴抛物线的解析式为y＝－(x－6)2＋3(0≤x≤6). 解：(1)由题可得抛物线的顶点B的坐标为(6，3). 设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋3. 易知点A的坐标为(0，2)， 代入函数解析式中，得2＝a(0－6)2＋3，解得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－(x－6)2＋3(0≤x≤6). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳 棚内侧安装钢架.如图②所示，钢架分两段，其中一 段连接点A与点B，然后在棚顶上某处取点C，在钢 架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD. 求出第二 段钢架CD长度的最大值. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋2(k≠0). 将点B(6，3)代入y＝kx＋2中，得k＝，∴y＝x＋2. ∵抛物线y＝－(x－6)2＋3的一般式为y＝－x2＋ x＋2， 且C是抛物线上的点，∴设点C(x，－x2＋x＋2). 则D(x，x＋2). 解：(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋2(k≠0). 将点B(6，3)代入y＝kx＋2中，得k＝，∴y＝x＋2. ∵抛物线y＝－(x－6)2＋3的一般式为y＝－x2＋ x＋2， 且C是抛物线上的点，∴设点C(x，－x2＋x＋2). 则D(x，x＋2). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴CD＝－x2＋x＋2－x－2＝－x2＋x＝－(x －3)2＋. ∴当x＝3时，CD取最大值，最大值为. ∴钢架CD长度的最大值是米. ∴CD＝－x2＋x＋2－x－2＝－x2＋x＝－ (x－3)2＋. ∴当x＝3时，CD取最大值，最大值为. ∴钢架CD长度的最大值是米. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $