21.4.1 几何图形的面积最值问题（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦二次函数在几何图形面积最值中的应用，通过正方形挖小正方形、矩形篱笆围花圃等基础问题导入，衔接二次函数性质，搭建从函数表达式构建到最值求解的学习支架。 其亮点是分层设计（A学习理解、B应用实践、C迁移创新），以自行车车棚、五边形花坛等实际情境题，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理运算）、数学语言（模型意识）。学生能提升问题解决能力，教师可利用分层练习优化教学。

《学练优》·九年级数学上·HK 第21章　二次函数与反比例函数 21.4　二次函数的应用 第1课时　几何图形的面积最值问题 目 录 CONTENTS 01 A学习理解 02 B应用实践 03 C迁移创新 知识点　几何图形的面积最值问题 1. 在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x(0＜x＜1)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为(　B　) A. y＝x2 B. y＝1－x2 C. y＝x2－1 D. y＝1－2x B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2. 如图，一边靠墙(墙足够长)，其他三边用16m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花圃，该花圃的最大面积是(　A　) A. 32m2 B. 24m2 C. 16m2 D. 8m2 第2题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. 用总长度为12m的不锈钢材料制成如图的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为(　A　) A. 4m2 B. 6m2 C. 8m2 D. 12m2 第3题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4. 【教材题变式】已知一直角三角形的两直角边长之和为6，则该直角三角形的面积的最大值是 　 　. 图形变式 一个菱形的两条对角线长之和为20，则这个菱形的面积最大时，它的两条对角线长分别为 　10 　， 此时菱形的边长为 　 5 　. 10和10 5 　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. 如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH. 设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y. (1)求y关于x的函数表达式； 解：(1)∵正方形纸片ABCD的边长为4， 4个直角三角形全等， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4， BE＝AH＝4－x， ∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF， 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∠AEH＝∠GHD. ∵∠AEH＋∠AHE＝90°， ∴∠AHE＋∠DHG＝90°. ∴∠EHG＝90°. ∴四边形EFGH是正方形. ∴y＝EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16(0＜x＜4). ∴四边形EFGH是正方形. ∴y＝EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋ 16(0＜x＜4). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 解：(2)存在. ∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，2＞0， ∴y有最小值，最小值为8. 即四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为8. 解：(2)存在. ∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，2＞0， ∴y有最小值，最小值为8. 即四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为8. 5. 如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH. 设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. 如图，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽为xcm，要求纸边的宽度不得小于1cm，同时不得超过2cm. (1)求出y关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm，宽 为(50＋2x)cm， ∴y＝(80＋2x)·(50＋2x)＝4x2＋260x＋ 4000(1≤x≤2). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)金色纸边的宽为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积. 解：(2)∵二次函数y＝4x2＋260x＋4000的图象的 对称轴为直线x＝－ ＝－ ， ∴当1≤x≤2时，y随x的增大而增大. 6. 如图，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽为xcm，要求纸边的宽度不得小于1cm，同时不得超过2cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴当x＝2时，y取最大值，最大值为4536. 答：金色纸边的宽为2cm时，这幅挂图的面积最 大，最大面积为4536cm2. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 【经典题】如图，某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形ABCD，已知AC＋BD＝160m，则该四边形公园的最大面积为 　3200　m2. 3200　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. 【新情境·生活应用】如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为60m)，其他的边用总长为70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.(备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8m处，规划有机动车停车位) (1)设自行车车棚面积为Sm2，车棚宽度AB为xm，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)S＝x(72－3x)＝－3x2＋72x. 由 解得4≤x≤8. ∴S与x之间的函数关系式为S＝－3x2＋ 72x(4≤x≤8). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明. 8. 【新情境·生活应用】如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为60m)，其他的边用总长为70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.(备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8m处，规划有机动车停车位) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)S＝－3x2＋72x＝－3(x－12)2＋432， ∵a＜0，4≤x≤8， ∴当x＝8时，y有最大值，为－3×16＋432＝384. ∴自行车车棚面积最大可达到384m2. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH. 已知PH∥AE，PK∥BC，DE＝100m，EA＝60m，BC＝70m，CD＝80m.以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O. (1)求直线AB的表达式； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)由题意知OE＝CD＝80m，OC＝ED＝ 100m，AE＝60m，BC＝70m， ∴OA＝20m，OB＝30m. ∴点A，B的坐标分别为(0，20)，(30，0). 设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则 解得 ∴直线AB的表达式为y＝－ x＋20. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)若设点P的横坐标为x， 矩形PKDH的面积为Sm2. ①用含x的式子表示S；. 9. 如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH. 已知PH∥AE，PK∥BC，DE＝100m，EA＝60m，BC＝70m，CD＝80m.以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)①∵点P的横坐标为x，点P在直线AB上， ∴点P的坐标可以表示为(x，－ x＋20). ∴PK＝100－x，PH＝80－(－ x＋20)＝60＋ x. ∴S＝(100－x)(60＋ x)＝－ x2＋ x＋6000. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ②当x为何值时，S取得最大值？ . 解：②由S＝－ x2＋ x＋6000 ＝－ (x－5)2＋ ， ∴当x＝5时，S取得最大值，最大值为 . 9. 如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH. 已知PH∥AE，PK∥BC，DE＝100m，EA＝60m，BC＝70m，CD＝80m.以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $