22.3.2 第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似（Word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似

1.掌握相似三角形的判定定理2和判定定理3；（重点）

2.能熟练运用相似三角形的判定定理2和判定定理3.（难点）

 

一、情景导入

画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？

 

 

 

 

二、合作探究

探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（　　）

 

A.AB·CD＝BD·BC

B.AC·CB＝CA·CD

C.BC2＝AC·DC

D.BD2＝CD·DA

解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即＝或BC2＝AC·DC.故选C.

方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.

 

探究点二：三边成比例的两个三角形相似

已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.

解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.

解：因为＝＝，

所以△ABC与△DEF相似.

方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.

 

探究点三：相似三角形的判定定理2及判定定理3的应用

如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？

解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC是否相似.

解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝.

同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2；

同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，；

同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3；

同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，.

∵＝＝＝，

∴图②中的三角形与△ABC相似.

方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.

 

如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC＝OB：OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.

解析：欲求厚度x，而x＝，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于AB的比例式，解之即可.

解：因为OA：OC＝OB：OD，∠AOB＝∠COD，

所以△AOB∽△COD，