4 24.2.3 列举所有机会均等的结果（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“用列表法和树状图法求随机事件概率”，通过知识链接回顾有限等可能与无限或不等可能结果的概率求法，搭建新旧知识桥梁，为学生学习提供支架。 以摸球、转盘、游戏公平性等情境案例为载体，引导学生用列表或树状图有序列举结果，培养抽象能力与推理意识，典例解析与分层检测结合，助力学生掌握重点突破难点，发展应用意识。

第24章 随机事件的概率 24.2 随机事件的概率 3.列举所有机会均等的结果 学习目标： 1.会用列表法和树状图法求随机事件的概率（重点）. 2.当问题较复杂时，简洁的用列表或树状图法求出所有可能结果（难点）. 自主学习 一、知识链接 1.一般的当试验结果是有限个，而且各种结果发生的可能性相等时，怎么得出事件发生的概率？ 2.当试验的所有可能结果是无限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是怎么得出事件发生的概率的？ 合作探究 一、探究过程 探究点：用树状图或列表法求概率 【类型一】摸球问题 【典例精析】 例1 一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：先列表列举出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表分析如下： 1 2 1 (1，1) (1，2) 2 (2，1) (2，2) 由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有4种等可能的情况，号码之积为偶数共有3种：(1，2)，(2，1)，(2, 2). 【针对训练】 1.在一个不透明的袋子里装有5个完全相同的乒乓球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出两个小球，标号均为单数的概率为　　． 【类型二】转盘问题 【典例精析】 例2 有两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？ 【方法总结】树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【针对训练】 2.如图，甲、乙两个转盘分别被平均分成4份与3份，每个转盘分别标有不同的数字．转动两个转盘，当转盘停止后，甲转盘指针指向的数字作为m，乙转盘指针指向的数字作为n，则为非负整数的概率为　　． 【类型三】游戏公平性的判断 【典例精析】 例3 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔(不放回)，若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜． (1)请用树状图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果； (2)请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利？ 解析：(1)设红笔为A1，A2, A3, 黑笔为B1，B2, 根据抽取过程不放回，可列表或作树状图，表示出所有可能结果；(2)根据树状图或列表得出两人所取笔颜色相同的情况，求出小明和小军获胜的概率，比较概率大小判断是否公平，概率越大对谁就有利． 画树状图如下： 【方法总结】用列表法或树状图法分别求出两个人获胜的概率，进行比较．若相等，则游戏对双方公平；若不相等，则谁胜的概率越大，对谁越有利． 【针对训练】 3. 甲、乙两同学手中各有分别标注1，2，3三个数字的纸牌，甲制定了游戏规则：两人同时各出一张牌，当两纸牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢．你认为此规则公平吗？并说明理由． 二、课堂小结 当求概率需要两步时 列表法或画树状图法都可，但是如果出现的结果很多时，用列表法比较好． 当求概率需要三步或三步以上时 只能用树状图法 当堂检测 1．掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面朝上的概率等于（　　） A．1 B． C．0 D． 2．小明将分别标有“爱”“我”“中”“华”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球记下汉字后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的概率是（　　） A． B． C． D． 3．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于7”的概率是　 　． 4．合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，求学生B坐在2号座位且C坐3号座位的概率是　 　． 第4题图 第5题图 5．小明和小亮用如图所示两个转盘（每个转盘被分成四个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜，否则，小亮胜，这个游戏公平吗？答：　 　（填“公平”或“不公平”）． 6．有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1，2，3，另有一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4（如图所示），小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一个人转动圆盘，另一人从口袋中摸出一个小球，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去． （1）用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为该游戏公平吗？请说明理由． 7．现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组，他们三人之间进行互相传球练习，篮球从一个人手中随机传到另外一个人手中计作传球一次，共连续传球三次． （1）若开始时篮球在甲手中，则经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率是　　； （2）若开始时篮球在甲手中，求经过连续三次传球后，篮球传到乙的手中的概率（请用画树状图或列表等方法求解）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.若事件的结果有n种可能，记事件为A,则P（A）=. 2.通过统计频率估计 合作探究 一、探究过程 【典例精析】 例1 D 【针对训练】 1. 【典例精析】 例1 解：选择A转盘．画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况， ∴P(A大于B)＝，P(A小于B)＝，∴选择A转盘． 【针对训练】 2. 【典例精析】 例2 解：(1)根据题意，设红笔为A1，A2, A3, 黑笔为B1，B2, 作树状图如下： 一共有20种可能． (2) 从树状图可以看出，两次抽取笔的颜色相同的有8种情况，则小明获胜的概率为＝，小军获胜的概率大小为，显然本游戏规则不公平，对小军有利． 【针对训练】 3.　不公平．因为出现偶数的概率为，而出现奇数的概率为　． 当堂检测 1.D 2.B 3. 4. 5. 公平 6.解：（1）画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，∴P（和小于4）＝＝，∴小颖参加比赛的概率为. （2）不公平，∵P（和小于4）＝，P（和不小于4）＝．∴P（和小于4）≠P（和不小于4），∴游戏不公平． 7.解：（1） （2）画树状图如图所示： 由树形图可知三次传球共有8种等可能结果，三次传球后，篮球传到乙的手中的结果有3种，∴篮球传到乙的手中的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $