8 21.3 第1课时 图形变换和面积问题（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

第21章  一元二次方程

21.3 实践与探索

第1课时  图形变换和面积问题

学习目标：

1.学会用一元二次方程解决几何图形的实际问题（重点）;

2.从实际结合问题中抽象出数学模型（难点）.
 

自主学习

一、新知预习

【问题】如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的，镜框的宽度应该多少厘米？

 

解：设镜框的宽度为xcm，根据题意，得

（___________）（____________）-30×20=30×20×.

整理，得 _________________.

解这个方程，得x1=      ，x2=      ．（不合题意，舍去）

答：镜框的宽度为_______cm.
 

合作探究

一、探究过程

探究点：列一元二次方程解几何图形问题

【问题1】  如图，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.

解：设截去的小正方形的边长x cm.

则长和宽分别为（____________）cm、（____________）cm.

根据题意，得_______________________.

整理，得：__________________.

解这个方程，得x1=__________，x2=__________．

当x1＝______时,60-2x=-30＜0，_____题意，舍去.

      当x2＝______时, 60-2x=30，长为______cm，宽为______cm._____题意.

答：截取的小正方形的边长是15 cm.

 

【归纳总结】利用一元二次方程解决几何问题的一般步骤：①审清题意，依据几何图形的性质或数量关系找到等量关系；②设合适的未知数，并依据等量关系列出一元二次方程；③解方程；④检验解的合理性.

【问题2】  如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.

 

思路提示：通过平移将小路平移到如图2所示的位置，再设未知数，列一元二次方程求解.

 

 

 

【归纳总结】把分散的图形拼接成一个完整的、规则的图形是解决图形问题中的常用方法，也是较为简便有效的方法.

【针对训练】

1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（     ）

A．x2+130x-1400=0            

B．x2+65x-350=0  

C．x2-130x-1400=0            

D．x2-65x-350=0

 

2. 如图，有一矩形空地ABCD，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段总长度为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长BC和宽AB．