8 21.3 第1课时 图形变换和面积问题（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程解决图形变换和面积问题，通过自主学习的镜框宽度计算问题导入，结合合作探究的钢片截正方形做盒子、矩形地面修路等实例，搭建从具体几何问题到抽象方程模型的学习支架，衔接方程解法与实际应用。 特色在于注重图形转化策略，如平移拼接不规则图形为规则图形，培养几何直观和空间观念。通过问题探究归纳解题步骤，强化列方程、检验解的合理性，发展推理意识和运算能力。题型分层且当堂检测巩固模型应用，提升模型意识，助力学生自主学习与教师教学评估。

第21章 一元二次方程 21.3 实践与探索 第1课时 图形变换和面积问题 学习目标： 1.学会用一元二次方程解决几何图形的实际问题（重点）; 2.从实际结合问题中抽象出数学模型（难点）. 自主学习 一、新知预习 【问题】如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的，镜框的宽度应该多少厘米？ 解：设镜框的宽度为xcm，根据题意，得 （___________）（____________）-30×20=30×20×. 整理，得 _________________. 解这个方程，得x1= ，x2= ．（不合题意，舍去） 答：镜框的宽度为_______cm. 合作探究 一、探究过程 探究点：列一元二次方程解几何图形问题 【问题1】 如图，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长. 解：设截去的小正方形的边长x cm. 则长和宽分别为（____________）cm、（____________）cm. 根据题意，得_______________________. 整理，得：__________________. 解这个方程，得x1=__________，x2=__________． 当x1＝______时,60-2x=-30＜0，_____题意，舍去. 当x2＝______时, 60-2x=30，长为______cm，宽为______cm._____题意. 答：截取的小正方形的边长是15 cm. 【归纳总结】利用一元二次方程解决几何问题的一般步骤：①审清题意，依据几何图形的性质或数量关系找到等量关系；②设合适的未知数，并依据等量关系列出一元二次方程；③解方程；④检验解的合理性. 【问题2】 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 思路提示：通过平移将小路平移到如图2所示的位置，再设未知数，列一元二次方程求解. 【归纳总结】把分散的图形拼接成一个完整的、规则的图形是解决图形问题中的常用方法，也是较为简便有效的方法. 【针对训练】 1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ） A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0 2. 如图，有一矩形空地ABCD，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段总长度为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长BC和宽AB． 二、课堂小结 一元二次方程的应用 内容 运用策略 面积问题 2 等积变形； ②把不规图形转换为规则图形，通常用到______进行转化. 熟记常见几何图形的面积公式 当堂检测 1. 一个矩形的周长为28cm，若它的面积为40cm2，则这个矩形的长为_______cm，宽为 _______cm. 2.如图，一块镶有宽度相等的花边的长方形十字绣，它的长为120cm，宽为80cm.若十字绣中央长方形的面积是6000cm2，则花边的宽为_____. 3. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比 为2:1.若使得彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条的宽度为( ) A .1cm B .2cm C.19cm D.1cm或19cm 4.如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张矩形铁皮共花了多少元钱？ 参考答案 自主学习 一、新知预习 30+2x 20+2x x2+25x-54=0 2 -27 2 合作探究 1、 探究过程 探究点： 【问题1】 80-2x 60-2x （80-2x）（60-2x）=1500 x2-70x+825=0 55 不符合 15 50 30 符合 【问题2】 解：设道路的宽是x米，由题意，得（32-x）（20-x）=540，解得x1=48（舍）x2=2． 答：道路的宽是2米. 【针对训练】 1.B 2. 解：设矩形边长BC为x m，则AB的长为m，可得方程x·=125，解得x1=10，x2=25．当x1=10时，=12.5；当x2=25时，=5． 故矩形空地的长BC是12.5m、宽AB是10m，或长BC是25m、宽AB是5m． 二、课堂小结 分割拼接 当堂检测 1.10 4 2.10 cm 3.A 4.解：设长方体箱子的宽为xm，则长为(x＋2)m，根据题意得 x(x＋2)×1＝15，解之得x1＝－5，x2＝3. 因为宽为正数， 所以x＝3，即宽为3m，长为5m. 则原来长方形铁皮的宽为5m，长为7m. 费用为5×7×20＝700(元)． 答：张大叔购买这张矩形铁皮共花了700元钱． 学科网（北京）股份有限公司 $