第二十三章 数据分析与统计估计（复习课件）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了数据分析与统计估计的核心内容，涵盖数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）、离散程度（方差）、百分位数与箱线图及用样本估计总体，通过知识图谱将各统计量的概念、计算方法及应用场景有机串联，构建完整的统计知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”的分层复习策略，如通过例5四分位数计算、例9用样本估计总体等实例，培养学生的数据意识和数学思维，针对训练中设计基础达标与能力提升题，满足不同学生需求。这种设计帮助学生巩固统计知识，也为教师提供系统复习框架，提升教学效率。

第二十三章 数据分析与统计估计 复习课件 冀教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 识别算术平均数、加权平均数、中位数、众数；理解权重的意义。理解方差刻画数据波动、离散程度。认识四分位数、百分位数；读懂箱线图，了解它反映数据分布特征。理解组内离差平方和最小的分类原则。分清总体、样本；理解抽样随机性； 02 工具掌握 计算算术平均数、加权平均数。计算中位数、众数。求四分位数、百分位数，能读懂、绘制箱线图。会计算离差平方和、方差。会按 “组内离差平方和最小” 原则对数据分层分组。用样本估计总体；能从表格、统计图提取数据计算统计量。 深化理解 平均数受极端值影响大；中位数、众数受极端值影响小。权重直接改变加权平均数结果。方差越大，数据波动越大。组内数据差异尽可能小，组与组之间差异尽可能大。样本具有随机性；样本容量越大，越接近总体真实参数。 思想与应用 样本估计总体思想；理解抽样的随机性，会辨析抽样是否合理。实际场景合理选用平均数、中位数、众数做评判决策。合理设置权重。方差做稳定性对比，用于选拔、方案对比。利用组内离差平方和最小做数据分层分类。综合分析，做出合理决策。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.理解加权平均数中权重对结果的影响，以及方差在衡量数据波动性中的作用； 2.掌握中位数和众数在不同数据分布中的适用性； 3.理解样本代表性对推断结果的影响； 4.能根据数据分析情况，选择合适的统计量进行决策。 1.熟练运用平均数、加权平均数、中位数、众数和方差分析数据的集中趋势和离散程度； 2.能利用四分位数和箱线图分析数据； 3.掌握用样本估计总体的方法，体会统计推断的基本思想。 4 知识图谱 数据分析与统计估计 数据的代表值 百分位数 四分位数 箱线图 数据的离散程度 方差 数据的分类 平均数 中位数 众数 用样本估计总体 用样本平均数估计总体平均数 用样本方差估计总体方差 描述数据的集中趋势 刻画数据的取值特征 反映数据的位置分布 刻画数据的离散程度 按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类 5 考点串讲 ——1：平均数与加权平均数 1.算术平均数：一组数据之和，除以这组数据的个数。，各数据的重要程度相同。 2.加权平均数：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。 一般地，若个数的权分别是， 则，叫做这个数的加权平均数。 平均数可以刻画一组数据的平均水平. 6 考点串讲 ——1：平均数与加权平均数 ①一般情况下，可以选择用平均数代表一组数据，但当数据中出现极端值时，或者说数据的波动比较大时，平均数不再适合作为数据的代表. ②在一组数据中，平均数是唯一的，平均数不一定是这组数据中的一个数. 归纳总结 7 考点串讲 ——2：中位数与众数 1.中位数：将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 2.众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同。因此中位数反映一组数据取值的中间水平。 众数是刻画数据集中趋势的一种统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能较好地反映其集中趋势。 8 考点串讲 ——2：中位数与众数 ①确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定。中位数不一定是该组数据中的数； ②一组数据中众数不一定只有一个。众数一定是该组数据中的数； ③当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来分析 归纳总结 9 考点串讲 ——2：中位数与众数 　　3.平均数、中位数、众数的对比 平均数 中位数 众数 代表 反映“平均水平” 反映“中等水平”，代表相对位置。如果知道一组数据的中位数,则可以知道,小于或大于这个中位数的数据约各占一半. 反映“多数水平” 众数往往是人们所关心的一个量. 特点 ①与每个数据有关 ②易受极端值影响 ①与排列位置有关 ②不受数据极端值影响 ①与出现次数有关 ②不受极端值影响 作用 常用的数据代表，比较可靠稳定。因为与每个数据都有关，反映出来的信息最充分. 平均数可描述数据整体平均水平，也可以作为不同组数据比较的标准，应用广泛。 可靠性较差，只利用了部分数据，当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数描述数据的集中趋势较合适. 可靠性较差，只利用了部分数据。当一组数据中的个别数据变动较大，且某个数据出现次数最多，用众数描述数据的集中趋势较合适. 10 考点串讲 ——3：四分位数与箱线图 1.四分位数:第一四分位数（）、第二四分位数（）、第三四分位数（）这三个数把一组数据分为个数相等的四个部分，因此称为四分位数. 第一四分位数 第三四分位数 11 考点串讲 ——3：四分位数与箱线图 求四分位数的一般方法： （1）先将数据按照从小到大的顺序进行排序. （2）计算这组数据的中位数，即. （3）求这组数据的第一四分位数和第三四分位数： ①：计算，当结果为整数时，为这个数与下一个数的平均数.不为整数时，将的结果向上取整，得到的那个数为 . ②：计算当结果为整数时，为这个数与下一个数的平均数.不为整数时，将的结果向上取整，得到的那个数为. 归纳总结 12 考点串讲 ——3：四分位数与箱线图 2.箱线图:由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这5个数绘制而成的图是这组数据的箱线图，它直观地表示了这组数据的分布状态. 箱体 最小值 最大值 第一四分位数 中位数 第三四分位数 说明：①箱体越短，实线越短，说明数据更集中，波动小. ②若中位数位于箱体中间，说明数据分布对称. 13 考点串讲 ——4：方差与数据的分类 1.方差:一组数据为 ，各个数据与平均数 之差的平方和的平均值，称为这组数据的方差，记作. 方差可以刻画一组数据的平均离散程度， 方差越小，说明数据的波动越小（即离散程度越小），越稳定。 14 考点串讲 ——4：方差与数据的分类 2.数据的分类: “组内离差平方和最小”分类原则。 其中，设 称为组内离差平方和(简称组内差)，反映两个组内数据的离散程度； 称为组间离差平方和(简称组间差)，反映两组数据之间的差异程度. 15 考点串讲 ——5：用样本推断总体 1.基本思想:用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征． 2.统计的决策依据:利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响． 用样本估计总体时应注意： ①样本容量要足够大： ②抽取样本要具有代表性，才能保证估计的结果可信、可靠. 归纳总结 16 题型全解 题型01 算术平均数和加权平均数 例1 某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则_____． 【解析】解：依题意， ∴， ∴， 17 题型全解 题型01 算术平均数和加权平均数 例2 校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 【解析】解：设演唱技巧的权重为，则舞台表现的权重为， 根据题意得： 解得， 则， ∵，演唱技巧的权重更大， ∴评委更看重演唱技巧． 演唱技巧 18 题型全解 方法总结 总结1：算术平均数计算 ①公式：总和=平均数×数据个数； ②已知平均数求某一个数：某数=平均数×总个数−其余数的和； ③注意：平均数容易受极端偏大、偏小数据影响。 总结2：加权平均数题型 解题规则：①总数量 = 各组数量相加，总数据和 = 每组平均数 × 本组个数，加权平均数 = 总数据和 ÷ 总数量；②两组混合求人数比，列等式后整体变形，不必单独求出未知数；③归纳：混合后的平均数，一定介于两组数据平均数的中间。 题型01 算术平均数和加权平均数 题型全解 题型02 中位数与众数 例3 某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【解析】解：∵7是这一天加工零件数的中位数， 由题意可知：将数据排序，第个数据为7， ∴当第29个数据为中位数时，x的值最小，此时数据总数为：，∴的最小值是：，故选C． C 20 题型全解 题型02 中位数与众数 例4 一组数据，，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：∵一组数据，，，，，，的众数是， ∴， ∴这一组数据从小到大排序为，，，，，，， ∴这组数据的中位数是， 故选：． C 21 题型全解 方法总结 总结1：求中位数的解题步骤 ①先把一组数据按照从小到大（或从大到小）顺序排序； ②数据个数为奇数：取中间位置的数为中位数； ③数据个数为偶数：取中间两个数的平均数为中位数。 总结2：众数题型注意要点 解题规则：统计一组数据中出现次数最多的数据； ①一组数据可以有多个众数； ②一组数据也可以没有众数； ③归纳：众数只看出现频次，不受极端数值影响。 题型02 中位数与众数 题型全解 题型03 四分位数与箱线图 例5 一家汽车零售店的名销售人员月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：、、、、、、、、，则汽车销售数量的四分位数依次是：________，________，________． 【解析】解：将销售数量从小到大排序，得， ∵排在最中间的数为10，∴； ∵， ∴为排序后的第3个数据，即， 为排序后的第7个数据，即， 综上所述，，． 6 10 12 23 题型全解 题型03 四分位数与箱线图 例6 2026年美加墨世界杯于2026年6月12日开幕，某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两组竞赛成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．甲组成员的平均成绩为80分 B．乙组有同学的成绩超过96分 C．甲组成绩的第三四分位数是70分 D．甲乙两组成绩的中位数都是90分 D 【解析】解：从图中可知，甲组成绩的中位数是90分．平均值和中位数不一定相等，我们无法仅根据箱线图计算出平均值．因此，选项A说法不一定正确． 乙组成绩的最大值是96分．因此，选项B说法错误． 甲组箱体的上边缘对应的分数是95分．即甲组成绩的第三四分位数是分．因此，选项C说法错误． 观察甲组和乙组的箱线图，两组箱体内部的横线都指向纵轴上的分．这表明甲、乙两组成绩的中位数都是分．故选项D说法正确． 24 题型全解 方法总结 总结1：求四分位数的解题步骤 ①先将数据按从小到大的顺序排序； ②计算数据总个数，确定中位数（第二四分位数）； ③中位数左侧数据求中位数得到第一四分位数，中位数右侧数据求中位数得到第三四分位数。 总结2：箱线图读图与应用 读图规则：箱线图由最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值五部分组成； 箱线图可直观对比多组数据的分布、集中水平，识别极端值。 题型03 四分位数与箱线图 题型全解 题型04 方差 例7 某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，他们的平均成绩及方差如下表所示： 射击队想要选择一名成绩优秀，且稳定性较好的队员，那么被选中的运动员应该是 ． 【解析】解：， ∴甲、乙、丙三人中甲和乙的平均数最大且相等， ∵ ∴甲、乙两人中乙的方差最小，乙的成绩最稳定， 综合平均数和方差两个方面说明乙成绩既高又稳定， 最合适的人选是乙， 故答案为：乙． 乙 26 题型全解 题型04 方差 方法总结 总结1：方差的计算与意义 ①先求这组数据的平均数； ②再计算每一个数据与平均数差的平方，求平方的平均数，得到方差； ③方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据波动越小，稳定性越好。 总结2：利用方差做决策的解题要点 决策规则：结合平均数、方差综合分析； ①平均数相同时，方差越小，成绩越稳定，优先选择； ②平均数不同时，优先参考平均数，再结合方差看波动； ③归纳：方差只衡量波动大小，不能反映整体平均水平。 题型全解 题型05 数据的分类 例8 某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 上述三种分组方案中， 较为合理的是__________． 【解析】解：比较三种方案的组内离差平方和可得：， ∴方案B的组内离差平方和最小，分组最为合理． B 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 28 题型全解 题型06 用样本推断总体 例9 小颖为了解家里的用电量，在月初连续天同一时刻观察家里的电表显示的数字，记录如下，估计小颖家5月份的总用电量是______千瓦时． 【解析】解：根据题意，得：（千瓦时）， ∴小颖家月份的总用电量是千瓦时． 故答案为：． 124 日期（号） 电表显示的数字（千瓦时） 29 题型全解 方法总结 总结1：数据的分类区分 ①按收集方式分：普查（全面调查）、抽样调查； ②普查：调查全部对象，结果准确，但工作量大； ③抽样调查：只调查部分样本，省时省力，样本要具有代表性、广泛性。 总结2：用样本推断总体解题要点 推断规则：用样本特征去估计总体特征； ①样本容量越大，估计结果越接近总体真实情况； ②样本必须随机抽取，不能选取特殊、片面样本； ③归纳：样本的平均数、方差可以用来估计总体的平均数、方差。 题型06 用样本推断总体 1．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示．对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么的值为________． 针对训练 7 解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 针对训练 2．4月23日是世界读书日，某校组织了以“书香润心，阅读致远”为主题的读书大赛．本次大赛包含“阅享心得”“经典诵读”“创意书签”这三项比赛，每项比赛的满分均为100分．其中“阅享心得”以10位评委打分的平均分作为最终分数；“经典诵读”以8位评委去掉最高分和最低分后的平均分作为最终分数；“创意书签”以满分乘投票率作为最终分数．小赵和小李两名同学参加了本次读书大赛． 数据收集与整理 a．“阅享心得”10位评委打分的折线统计图： b．“经典诵读”8位评委打分数据： 小赵：83，88，90，95，83，76，80，86． 小李：90，85，95，88，96，94，99，95． 针对训练 c．小赵和小李三项比赛的最终分数的统计表如下： 请根据以上信息，回答下列问题． (1)计算统计表中的值． (2)有人认为“小赵和小李两名同学‘阅享心得’这项比赛的最终分数一致，所以这两名同学这项比赛的水平一样”．请你从“中位数”“众数”的角度任选一个说明你的看法． (3)若本次大赛将“阅享心得”“经典诵读”“创意书签”这三项比赛的最终分数按的比例计算最终成绩，请通过计算说明小赵和小李两名同学谁的最终成绩更好． 同学 分数/分 阅享心得 经典诵读 创意书签 小赵 92 86 小李 92 73 针对训练 （1）解：根据题意得：； （2）解：把“阅享心得”10位评委打分从小到大排列： 小赵：88，89，90，92，93，93，93，93，94，95； 小李：85，88，88，88，94，94，95，95，96，97； ∴小赵得分的中位数为分，小李得分的中位数为分， ∴中位数角度看，小李得分高于小赵得分； ∵小赵得分中93出现次数最多，小李得分中88出现次数最多， ∴小赵得分的众数为93，小李得分的众数为88， ∴众数角度看，小赵得分高于小李得分； （3）解：小赵的得分为：分， 小李的得分为：分， ∵， ∴小赵的最终成绩更好． 针对训练 3．为了解学生体质健康测试项目中的立定跳远成绩情况，某校对八年级男生的立定跳远成绩进行调查与分析，过程如下： 【收集数据】从八年级男生中随机抽取40名学生，测试他们的立定跳远成绩（单位：），数据收集如下： 163，165，171，176，182，187，190，194，199，204， 207，210，213，214，215，216，217，217，218，219， 220，220，221，222，223，225，226，227，229，230， 232，233，235，236，237，238，240，244，247，250． 【整理与描述数据】按成绩等级进行分组，绘制了如下的统计图表： 各组学生成绩的频数分布及平均数表 针对训练 (1)这40名学生成绩中，最大值与最小值的差为__________，优良等级人数所占的百分比为__________；并计算成绩的四分位数（，，）； (2)计算这40名八年级男生立定跳远成绩的平均数（结果保留一位小数）； 【推断结论】 (3)请结合以上的样本数据，估计这所学校全体八年级男生立定跳远成绩的特点． 等级组别 成绩 人数（频数） 平均数 优秀 14 236 良好 15 218 及格 9 190 不及格 2 164 针对训练 解：（1）解：这40名学生成绩中，最大值与最小值的差为，优良等级人数所占的百分比为； 方法一（四分位数取百分比）： 成绩的下四分位数：，则， 中位数：，则； 上四分位数：，则； 方法二（四分位数取中位数）: 从小到大排列前半部分为前20个数，第10个和第11个数分别为和，则； 针对训练 全部40个数从小到大排列，第20个和第21个数分别为和，则； 从小到大排列后半部分为后20个数，第10个和第11个数分别为和，则； （2）解：平均数为：； （3）基于以上样本数据，估计这所学校全体八年级男生立定跳远成绩整体良好，中间学生成绩相对集中；受低分段成绩影响，最高分与最低分差距较大，平均数低于中位数，整体成绩呈左偏分布. 针对训练 4．学校想了解初二年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从801、802两个班中各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 801班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82． 802班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92． 通过数据分析，列表如表： 801班、802班抽取的学生竞赛成绩统计表： 802班学生成绩扇形统计图: 年级 平均数 中位数 众数 方差 801班 802班 针对训练 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述、、的值：______，______，______． (2)学校欲选成绩更稳定的班级参加相关活动，根据表格中的数据，学校会选哪一个班级？说明理由． (3)这两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（）的学生总人数是多少？ 针对训练 解：（1）解：801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100， ∴． ∵成绩为96分的学生有2名，最多， ∴． 802班C组有3人， ∴扇形统计图中C组所占百分比为， ∴扇形统计图中D组所占百分比为， ∴． 故答案为：40，94，96； 针对训练 （2）解：选派802班，理由如下： ∵两个班的平均成绩相同，而801班的方差为52，802班的方差为， ∴802班成绩更平衡，更稳定， ∴学校会选派802班． （3）解：802班D组的人数为人， ∴802班10名学生的成绩为优秀的有人． ∴估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是人． 单元总结/易错复盘 ·分类规则 ①求中位数、四分位数，必须先对数据从小到大排序； ②多解问题要分类讨论，算出结果后检验，舍去不符合实际的答案； ③区分普查与抽样调查，抽样调查样本要保证代表性、广泛性。 ·核心概念 ①集中趋势统计量：平均数、中位数、众数，描述数据整体水平； ②离散程度统计量：四分位数、箱线图、方差，刻画数据波动大小； ③统计思想：用样本的平均数、方差，估计对应总体的特征。 ·答题注意事项 ①求中位数不排序直接取值，是高频错误； ②方差只反映波动，不能代表平均水平，做决策要平均数与方差结合分析； ③众数可以多个，也可以不存在，不要误认为只有一个众数； ④看清题干问的是样本还是总体，仔细审题，不要遗漏条件。 43 冀教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $