3.2 勾股定理的逆定理 课件 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过古埃及人结绳造直角的历史实例导入，衔接勾股定理性质与逆定理判定的探究，构建“性质-判定”知识支架，引导学生经历从特殊到一般的推理过程。 其亮点在于以历史情境激发数学眼光，通过构造全等三角形证明逆定理培养推理能力，结合勾股数规律探究和判定步骤强化应用意识。例如例1用代数表达式验证直角三角形，例2结合中线性质综合应用，帮助学生发展逻辑推理和模型意识，教师可直接使用结构化探究流程提升教学效率。

3.2 勾股定理的逆定理 第3章 勾股定理 1.经历勾股定理的逆定理的探索过程,掌握勾股定理的逆定理,能够理解勾股定理及其逆定理之间的关系,发展推理能力. 2.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形,发展应用意识. 3.了解勾股数的概念,熟悉常用的勾股数. 教学目标 四千多年前，古埃及人在建造金字塔时，他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4份、5份的长度做边长，用木桩钉成三角形，他们认为其中一个角就是直角，你知道为什么吗？ 新课探究 问题:如图,△ABC的三边a,b,c满足a2+b2=c2,能否证明△ABC为直角三角形? △ABC≌ △ A′B′C′ 　　 ？ ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 构造两直角边分别为a、b的Rt△A′B′C′ 新课探究 我们先作一个Rt△A'B'C',使 ∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b, 再设法证明△A'B'C'与△ABC全等 . 根据勾股定理,得=a2+b2. 因为AB2=a2+b2, 所以A'B'=AB . 根据“SSS”,可知△ABC≌△A'B'C'. 于是∠C=∠C'=90°,即△ABC是直角三角形 . 逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的内容是什么？它的逆命题是什么？ 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 如何判断真假？ 逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 条件 结论 分析：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？ 已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ，且a2＋b2＝c2． 求证：△ ABC是直角三角形． A b a C B c 新课探究 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 . 符号语言： 在 中，因为 ， 所以 是直角三角形，且 . 新课探究 特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对角为直角. 已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ，且a2＋b2＝c2． 求证：△ ABC是直角三角形． 有一个角是直角． 分析：2.直角三角形的判定方法有哪些？ 3. 如何构造一个已知是直角三角形的图形，这个图形的边长与已知三角形的边长有直接关系？ 构造辅助直角三角形与原三角形的边长对应相等． ∟ A′ b a C′ B′ A b a C B c 已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ，且a2＋b2＝c2． 求证：△ ABC是直角三角形． A b a C B c 证明：作一个△A′B′C′，使∠C′＝90°， B′C′＝a， A′C′＝b． 根据勾股定理，得 A′B′ 2＝a2＋b2. ∟ A′ b a C′ B′ 因为 AB2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB 根据“SSS”，可知△ABC ≌△A′ B′ C′ . 于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形． 新课探究 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在中，,, 的对边长分别为,, , . 在中，,, 的对边长分别为,, ,且 . 结 论 . 为直角三角形，且 . 新课探究 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 关 系 C A B a b c 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 符号语言： 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长 分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2． ∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°. 例1 △ABC的三边长分别是a，b，c且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1．△ABC是直角三角形吗？证明你的结论． 最长边 证明：是直角三角形， ∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1． c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1． ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形. 新课探究 四千多年前,古埃及人在建造金字塔时就已经知道如何构造一个直角三角形 .他们在一根绳子上打上距离相等的结,然后由三人拉成一个三角形,使得每条边被结点分成3段、4段、5段 .这样得到的三角形一定是直角三角形 . 如果三个正整数a,b,c满足关系a2+b2=c2,则称a,b,c为勾股数 . 新课探究 讨论:写出几组勾股数,说说勾股数有哪些规律 . ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. ① 5,12,13满足52+122=132, ② 7,24,25满足72+242=252, ③ 8,15,17满足82+152=172. a2+b2=c2 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤： 找：确定三角形的最长边； 算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； 比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； 判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形. (1) a＝8，b＝15，c＝17；(2) a＝13，b＝14，c＝15． 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角． 解：(1) 在△ABC中，∵a2＋b2＝82＋152＝64＋225＝289，c2＝172＝289， ∴ a2＋b2＝c2． ∴△ABC是直角三角形，∠C是直角． (2) 在△ABC中，∵a2＋b2＝132＋142＝365，c2＝152＝225， ∴ a2＋b2≠c2， ∴ △ABC不是直角三角形． 活学活用 新课探究 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 勾股数 常见勾股数： ①3，4，5； ②9，40，41； ③8，15，17； ④7，24，25； ⑤5，12，13； ⑥9，12，15. 正整数:大于0的整数，如1，2，3… 例题精讲 ◁例1 已知:a,b,c为正整数,且a2+b2=c2. 求证:ka,kb,kc (k为正整数)构成勾股数 . 证明：∵a2+b2=c2, ∴(ka)2+(kb)2=k2a2+k2b2 =k2(a2+b2) =k2c2=(kc)2. ∵a,b,c,k为正整数, ∴ka,kb,kc为正整数 . ∴ka,kb,kc构成勾股数 . 如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数． 勾股数必须同时满足两个条件： 1．三个数都是正整数； 2．两个较小数的平方和等于最大数的平方． 例题精讲 ◁例2 如图,AD是△ABC的中线,AD=24,AB=26,BC=20. 求AC的长 . 解：∵AD 是△ABC的中线,BC=20, ∴BD=BC=10. ∵AD=24,AB=26, ∴AD2+BD2=242+102=676,AB2=262=676. ∴AD2+BD2=AB2. ∴∠ADB =90°(勾股定理的逆定理). ∴AD 垂直平分BC . ∴AC=AB=26. 勾股定理与其逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 图形 条件 结论 区别 联系 A b a C B ∟ 在Rt△ABC中，∠C＝90° a2＋b2＝c2 “直角三角形”为条件，数量关系a2＋b2＝c2为结论. 是直角三角形的性质. A b a C B c 都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关 在△ABC中，a2＋b2＝c2 ∠C＝90° 数量关系a2＋b2＝c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定. 形 数 课堂总结 勾股数： 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b ， c满足a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 课堂总结 通过今天的学习有什么收获？还有什么疑问？ 谢谢大家聆听 $