1 20.1 认识二次根式（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“二次根式”核心内容，引导学生理解概念、掌握有意义条件及两个性质，解决非负性相关问题。通过知识链接回顾平方根与算术平方根旧知，结合郑州二七纪念塔、海报面积等实际情境问题引入新知，搭建新旧知识过渡的学习支架。 这份资料以情境问题激发学生用数学眼光观察现实世界，通过合作探究中的问题链与议一议活动培养推理意识，典例精析和分层检测助力学生用数学语言解决问题。课堂小结表格化梳理知识，当堂检测与拓展提升结合，有效培养抽象能力与应用意识，适合学生自主学习与教师教学评估。

第20章 二次根式 20.1 认识二次根式 学习目标：1.理解二次根式的概念（重点）； 2. 掌握二次根式有意义的条件（重点）； 3.掌握二次根式的两个性质：（重点）； 4.会利用二次根式的非负性解决相关问题（难点）. 自主学习 一、知识链接 1.什么叫做平方根？ 2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？ 二、新知预习 1. 用带根号的式子填空: （1）如图①是一张郑州“二七纪念塔”的照片，形状为正方形.若其面积为2dm2,则它的边长为 dm；若其面积为S dm2，则它的边长为 dm． 图② 图① （2）如图②的海报为长方形，若宽是长的2倍，面积为6m2，则它的长为 m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t= ． 合作探究 一、探究过程 探究点1：二次根式的意义及有意义的条件 问题1： 分别表示什么？ 问题2： 这些式子有什么共同特征？ 【要点归纳】把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式. “”称为_______. 【典例精析】 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 【方法总结】判断式子是否为二次根式时，抓住二次根式的两个必备特征： ①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0. 例2 （教材P2例题变式题）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 【方法总结】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可. 若二次根式为分式的分母或二次根式为的被开方数为分式时，应同时考虑分母不为零. 【针对训练】 1.下列各式:一定是二次根式的个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 2.（1）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ; （2）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 . 探究点2：的性质 【典例精析】 例3 计算： 【要点归纳】. 【针对训练】 计算： 探究点3：的性质 议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？ 1.计算： ; ; ; . 观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当 . 2.计算： ; ; ; . 观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当 . 3.计算： ;当 . 【要点归纳】将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质： ，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 探究点4：二次根式的双重非负性 问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？ 问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 【要点归纳】二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a______0； （2）表示一个数或式的算术平方根，可知__ __0. 【典例精析】 例4 若，求a-b+c的值. 【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、 偶次幂及二次根式. 例5 已知y=,求3x+2y的算术平方根. 【方法总结】若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 【针对训练】 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 二、课堂小结 二次根式的概念 一般地，我们把形如的式子叫作___________. “”称为二次根号，根指数为_____,可省略. 二次根式有意义的条件 被开方数（式）为_________,即有意义 a≥0. 二次根式的性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于它________，即 二次根式的性质2 一个数的平方的算术平方根等于它的_____,即 二次根式的非负性 双重非负性： 当堂检测 1.下列式子中，不属于二次根式的是（ ） 2.式子有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3. 化简： （1）＝_______ ; （2）＝_______; （3）_____; （4）_______. 4.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为____． 5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________. 6.利用a ＝（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： （1） 9；（2）5；（3）2.5；（4）0.25；（5）；（6）0 . 拓展提升 7. 若二次根式有意义，求m的取值范围． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1. 解：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 2. 解：若一个非负数的平方等于a，即x²=a（a≥0），则这个数x叫做a的算术平方根.非负数才有算术平方根. 二、新知预习 1. （1） （2） （3） 合作探究 一、探究过程 探究点1： 问题1： 解：分别表示2，S,3,的算数平方根. 问题2： 解：①根指数都为2,；②被开方数为非负数. 【要点归纳】 二次根式 【典例精析】 例1 解：（1）（4）（6）是二次根式，（2）（3）（5）（7）不是二次根式. 例2 解：（1）x＞1. （2）x≥-3且x≠1. 【针对训练】 1. B 2.（1） x≥1 （2） _x≥0且x≠2 探究点2：的性质 【典例精析】 例3 解：（1）原式=. （2）原式=. 【针对训练】解：（1）原式=5 . （2）原式=8. 探究点3：的性质 议一议: 1. 4 0.2 20 a 2. 4 0.2 20 -a 3. 0 a 【要点归纳】a -a 探究点4：二次根式的双重非负性 问题1：解：x均可取任意实数 . 问题2：解：a≥0，被开方的数大于等于0 【要点归纳】≥ ≥ 【典例精析】 例4 解：由题意得a-2=0,b-3=0,c-4=0，∴a=2，b=3，c=4.则a-b+c=3. 例5 解： ∵x-3≥0，3-x≥0，∴x=3，y=8.∴3x+2y=25,∴3x+2y的算术平方根为5. 【针对训练】 解：∵|3x-y-1|+=0，∴解得∴x+4y=9，∴x+4y的平方根为±3． 二、课堂小结 二次根式 2 非负数 本身 绝对值 当堂检测 1. C 2. A 3. （1）3 （2）4 （3）7 （4）81 4. 0 5. 1 6.解：（1） 9=（）2；（2）5=（）2；（3）2.5=（）2； （4）0.25=（）2；（5）=（）2；（6）0=（）2 . 7.解 :由题意，得即解得∴m＞2. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $