2025-2026学年第一学期期末质量监测高三数学试题

高三数学参考答案 一、单选题（每小题5分，共40分） 1-4 BAAC 5-8 DADC 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.ACD 10.ACD 11.BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.240 13.5-1 14.( 四、解答题（共5小题，共77分) 15.(本题满分13分) (1)零假设为H。：认为学生周末体育锻炼时长与性别无关联. 2×2列联表如下： 性 别 时长 锻炼时长超过2小时 锻炼时长不超过2小时 合计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 则x2-100×(40×20-10x30y100 4.762<6.635， …5分 50×50×30×70 21 依据a=0.01的独立性检验，接受H,成立，因此认为该校学生的周末体育锻炼时长与性别 无关.… …7分 (2)由(1)知，该校学生周末体育锻炼时长超过两小时的样本频率为70 =0.7. 100 设抽取的10名学生中体育锻炼时长超过两小时的人数为X, 由题意知，随机变量X心B(10,0.7）,…11分 故E(X)=10×0.7=7,D(X)=10×0.7×（1-0.7）=2.1.…13分 16.(本题满分15分) (1)取PA的中点为E,连接DE,由PD=AD,则DE⊥PA, 又平面PAD⊥平面PAB,且平面PAD∩平面PAB=PA,DEC平面PAD 则DE⊥平面PAB,且ABC平面PAB,故DE⊥AB,…4分 高三数学参考答案第1页共4页 由PD⊥平面ABCD,且ABC平面ABCD,则PD⊥AB,且DE∩PD=D, 故AB⊥平面PAD.…6分 (2)由(1)知，AB⊥AD,故四边形ABCD为矩形，且PD⊥平面ABCD 故三棱锥P-ABC与四棱锥P-ABCD的外接球相同， 即9=4R2=DA+Dp2+DC2,故DC=1.…9分 以D为坐标原点，分别以DA,DB,DP为x,y,z轴建立坐标系，则 A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,10),E1,0,1),P(0,0,2),PB=(2,1,-2),PC=(0,1,-2). 由(1)知，DE⊥平面PAB,记平面PAB的一个法向量为2=DE=(L,0,1), 设平面PBC的一个法向量为2=化，，则2+y-2z=0,取2=0,2，)， y-2z=0 则cos<h,h2= 2 V10 …14分 10 故平面PBC与平面PAB的夹角的余弦值为10 …15分 10 17.(本题满分15分) (1)由已知得{4+引前三项分别为}，1+ 2 2 ，22+2+3」 2 。+1为等比数列，则(2+)= 假设{a+2 323 3 (22+1+)，解得1=0或1=3.…5分 当2=0时， a,+】是每一项均为1的常数列，也是等比数列 当1=3时， (1以4+22 an+2=3,则{a+2 1 +1=3为首项，3为公比的等比数列.…8分 a+2 1 (2)由(1)知，当{a}为递增数列时，1=3，可得a=二(3”-1)，…10分 2 1 当n>1时， 3”-13 …12分 则上+1+1+1 11 +…+<1+ 11 1 3”3 1、3 41a2a3 a 3032++ 3-1 (1 …………15分 2 3 18.(本题满分17分) 高三数学参考答案第2页共4页 c_v2 (1)由题意知 a2, 解得a=2,b=2,故椭圆方程为号+上=1.…4分 42 ab=2√2 (2)依题意，设1的方程为m(x-2)+y=1(,n为参数，且n≠0)， (1)联立方程)42 ，得2y2+4(x-2)y+(4m+10(x-2)2=0(x≠2)， (x-2)+y=1 即2'2'+4M'2+4+)=00（可令K='2入 x-2 x-2 设C5,y)Dxy),则k=片，k,=上，显然k,k为（倒方程两根， x-2 x2-2 则k+k=-2,由k=-”及k(k+k)=-2,得m=-1,满足)中△>0， 即直线1的方程为x=y+1,显然恒过定点P(1,0).…10分 (i)联立方程 g+号=1，得匹2+2y2+2-3=0,且△>0.☐ x=0y+1 则y+2= 2n -3 m+2’y+2 由题意知， 8=oP=3:8=4-川=0-⅓） …13分 故g=片1，令1=2<0，则5+以-n 为-为1-业 yy 3(n2+2) 香02（号0，解得1(3-0l- 整理得1+1+2=4 3 …17分 19.(本题满分17分) 己知得f'(w)=e*+a,g'(x)=cosx,f'(0)=1+a,g'(0)=1,f(0)=g(0)=0, 由y=f(x)和y=g(x)在原点处的切线相同，则1+a=1,即a=0,f(x)=e-1.3分 (1)F(x)=f(x)-g(x)=e*-1-sinx,F(x)=e'-cosx. 当x>0时，e>1,cosx≤1，得'(x)>0,则F(x)在(0，+o)单调递增， 故F(x)>F(0)=0,即证f(y)>g(W).…5分 高三数学参考答案第3页共4页 (2)整理得h(x)=k(e-1)-sinx,则h(x)=ke-cos.x 当x∈(0，)时，由k>0,则H(x)=e-cosx单调递增，故h()>M(O)=k-1. ①i)当k≥1时，则h(x)>k-1≥0， 则)在(0，上单调递增，没有极值点，不满足愿意。 …7分 i)当0<k<1时，得(0)=k-1<0,h(=c>0, 令9=e-cosx,当xe(0,时，恒有p()=e+sim>0, 所以在(0，上递增，即1(y在(0，上递增， 由零点存在定理知，存在唯一零点me(0,孕，使得1=0，即e=c0sm, 当x∈(0，m时，h()<0,函数h()单调递减当x∈m,)时，(e)>0,函数h(x)单调 递增，故()在区间(0，牙)内有唯一的极值点m,综上，k的取值范围（0，》.…10分 ②证明：当x∈[写)时，且k>0,则h(=ke-c0sx>0, 由①知，当x∈(O,m)时，(x)<0,则函数h(x)单调递减： 所以当xe(0,m时，h(m)<(x)<h(O)=0,即hm)<0, 当xe(m,)时，h(x)>0,函数h(x)单调递增， 而h(π)=k(-1)>0,故由零点存在定理，存在唯一的零点n∈(m,),使得h(m=0, 即h(x)在(0，元)上有唯一零点n.…13分 接下来，比较2m与n的大小. 因为h(2m=k(e2m-1)-sin2m,由①知e”=cosm, 则M20-ces"esn2m=coan(-÷-2snm:mc0孕， 设u(9=e-e-2sinr,xe0,月则u(=e+e*-2c0s>2-2c0s0, 故4)在(0，)为单调递增，所以4(>(0=0，即（四>0， 又x∈(0，时，cosm>0,所以h(2=cosmu0(m>0. 所以h(2m>(m)=0.由前面两个零点存在定理知，2m∈(m,π)，n∈(m,π)， 且h(x)在(m,π)单调递增，所以n<2m.…17分 高三数学参考答案第4页共4页2025~2026学年度第一学期期末质量监测 高三数学试题 本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟， 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或 碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效， 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={x1x2≤1}，B={x12*<1},则A∩B= A.(0,1] B.[-1,0) c.(-1,0] D.[-1,1] 2已知复致：满足十】，则： 5 C.5 D.5 3已知幂运数y=九0的图象过点（受，2），则g): A.16 B.7 Q、1 D.8 16 4“p=km+分，k后公是“数了=c0s(2x+p)关于直线=耳对称~的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高三数学第1页（共4页) 5.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那 么这个数列称为等和数列，这个常数称为等和数列的公和.已知等和数列{an}的 前n项和为Sn,若a1=-2,S205=2022,则a206= A.-2 B.1 C.2 D.4 6.甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左 端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为 A动 8、3 20 39 7.已知0为坐标原点，△0AB是边长为3的等边三角形，设C(3,4),则12CB+BA1 的最小值为 A.6 B.2 7 C.√61 D.7 8四面体ABCD中，直线AC与BD所成的角为写，BD=2,AC=3,∠BCD=2 3,则四 面体ABCD的体积的最大值为 13 4 2 03 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.正方体ABCD-A1B,C,D1中，P为BC的中点，则下列条件中，能使PQ∥平面 ABD的有 A.Q为A,B1的中点 B.Q为CC,的中点 C.Q为DD1的中点 D.Q为A,D1的中点 10.已知函数f(x)的定义域为R,且f(1+x)=f-x)-f1-x),f0)=4,则 A.f(x)为偶函数 B.f(2x)的最小正周期为6 1314 C.x=6是f(x)的一条对称轴 D.∑f2k-1)=2 k=0 11.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,在抛物线C上一点P处的切线l与 圆E:x2+（y+1)2=1相切于点N,且与x轴正半轴交于点M,则 A.当p=1时，l的方程为3x-y-3=0 B.MF⊥MP C.当p=2时，△FMP的面积为23 D.IPN|的最小值为33 高三数学第2页（共4页） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 1 的展开式中x3的系数为 13.已知F,R分别为双曲线E:云=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M在E 的一条渐近线上（第一象限内），且MF,·MF,=0,线段MF2与E交于点N,且N 为MF2的中点，则E的离心率为 14.锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若(a2-b2)sinA =2S,则0的取值范围为 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本题13分)随着双休政策落实，高中生有更多的时间进行体育锻炼.为了解高 中生周末体育锻炼时长，在某高中三个年级中随机抽取50名男生和50名女生， 其中男生体育锻炼时长超过两小时的有40名，女生体育锻炼时长不超过两小时 的有20名： (1)依据x=0.01的独立性检验，判断周末体育锻炼时长与性别是否有关联； (2)用样本频率作为概率，从该校学生中随机抽取10人进行调查，记周末体育 锻炼时长超过两小时的人数为X,求X的数学期望和方差 参考公式及数据：X2= n(ad -bc)2 (a+6(@+d)(a+c)(6+d其中n=a+6+c+d Q 0.05 0.01 0.005 0.001 水0 3.841 6.635 7.879 10.828 16.（本题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，PD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB, AD =PD=2. (1)证明：AB⊥平面PAD: (2)当三棱锥P-ABC的外接球的表面积为9π时，求平 面PBC与平面PAB的夹角的余弦值. 高三数学第3页（共4页） 17.(本题15分)已知数列{an}满足a1=1,a+1=入a.+1(入为常数). (1)是否存在常数入，使得口，+分 为等比数列？若存在，求出入的值，若不存 在，请说明理由； (2)在(1)的结论下，当{a,}为递增数列时，证明：1+1+1+…+ 1 3 +…+ a a2 a3 12 a 题17分)已知椭圆飞+=a>6>0)的右顶点为A,上顶点为 心率为，0为坐标原点，且△A0B的面积为2. (1)求椭圆E的方程； (2)不过点A的直线U与椭圆E相交于C,D两点，点C在x轴上方，点D在x轴 下方，记直线l,AC,AD的斜率分别为k,k1,k2,且k(1+2)=-2 (1)证明：直线l过定点； (i)记(i)中定点为P,4C0P的面积为S,44CD的面积为S,求的取 值范围。 19.(本题17分)已知函数f(x)=e+ax-1,g(x)=sinx,且y=f(x)和y=g(x)在 原点处的切线相同， (1)当x>0时，证明：f(x)>g(x); (2)令(x)=f(x)-g(x)(k>0),已知函数h()在区间(0,7)内有唯一的 极值点m, (1)求实数k的取值范围； (i)求证：h(x)在区间(0，π)内有唯一的零点n,并比较2m与n的大小 高三数学第4页（共4页)