专题3.1.3 直线与椭圆的位置关系（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线与椭圆的位置关系核心知识点，从点与椭圆的位置关系判定切入，延伸至直线与椭圆的相离、相切、相交三种位置关系，再通过弦长公式、中点弦问题（根与系数关系法、点差法），拓展至面积、向量、参数范围及定点定值定直线等综合应用，构建从基础到复杂的知识支架。 本资料以“举一反三”为设计亮点，10个题型覆盖全维度问题，例题与变式选自各地真实检测题。通过分类讲解培养数学思维（如推理与运算能力），借助问题探究发展数学眼光（如抽象几何关系），课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用。

专题3.1.3 直线与椭圆的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 点与椭圆的位置关系】 2 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 3 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 5 【题型4 椭圆的弦长问题】 8 【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 11 【题型6 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 14 【题型7 椭圆中的参数范围及最值】 19 【题型8 椭圆中的向量问题】 23 【题型9 椭圆中的定点、定值问题】 28 【题型10 椭圆中的定直线问题】 34 考点1 直线与椭圆的位置关系 知识点1 点与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【题型1 点与椭圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【解题思路】将点代入椭圆即可求解. 【解答过程】由于，所以在内， 故选：B. 【变式1.1】（25-26高二上·四川广安·阶段检测）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果. 【解答过程】因为点在椭圆的外部， 所以,解得, 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·吉林四平·阶段检测）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案. 【解答过程】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. 【变式1.3】（2026·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【解答过程】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 【例2】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【解题思路】分析直线的特点，联立直线与椭圆的方程，根据判别式确定位置关系 【解答过程】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. 【变式2.1】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【解答过程】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A. 【变式2.2】（2026高二上·河南安阳·专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【解题思路】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【解答过程】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 【变式2.3】（25-26高二·全国·课后作业）已知，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能 【答案】A 【解题思路】结合题意得直线过定点，再结合点在椭圆内部即可判断. 【解答过程】解：因为，所以直线可化为， 所以，直线过定点， 因为点在椭圆内部， 所以，直线与椭圆的位置关系是相交. 故选：A. 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 【例3】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程的特点，可得且，将直线方程与椭圆方程联立，令即可求出答案. 【解答过程】根据椭圆方程的特点，可得且， 将直线与椭圆联立得， 即， 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得或， 又且，所以的取值范围是. 故选：D. 【变式3.1】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【解答过程】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆上或椭圆内，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【解答过程】直线方程可化为，则该直线过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3.3】（25-26高二上·上海·期末）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解题思路】化简曲线为和直线为，得到直线恒过定点，结合题意，利用斜率公式，即可求解. 【解答过程】如图所示，由曲线， 可得，则， 又由直线，可化为，可得直线恒过定点， 则， 要使得直线与曲线有两个不同的交点，则满足或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：.    考点2 弦长与“中点弦”问题 知识点3 椭圆的弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点，则或. 2．“中点弦”问题 (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型4 椭圆的弦长问题】 【例4】（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立直线与椭圆，根据弦长公式即可. 【解答过程】联立直线与椭圆方程， 消可得：，， 设， 则，，根据弦长公式有： . 故选：B. 【变式4.1】（25-26高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【解答过程】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 【变式4.2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的离心率为，焦距为2． (1)求的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题直接求得，从而求得椭圆的方程； （2）写出直线的方程，联立椭圆方程，表示出，根据弦长公式求得. 【解答过程】（1）设椭圆的焦距为，由题可知，，解得. 所以椭圆的方程为. （2）易知， 因为，所以直线的方程为. 由，得， 设，则. 所以.    【变式4.3】（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，进而利用弦长公式求得弦长. 【解答过程】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线的方程为， 联立椭圆方程，得， 设，所以， 则. 【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 【例5】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用点差法即可求解. 【解答过程】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 【变式5.1】（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于点，弦被点平分，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用点差法求出，设，由弦被点平分得到，，将代入椭圆方程得到，这两个等式相减，经过整理结合斜率公式得到直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【解答过程】椭圆，设过点的直线与椭圆交于点， 弦被点平分，，， ，这两个等式相减得到， ， ，， ，， ， 设直线的斜率为，， . 直线的方程为，整理得. 故选：A. 【变式5.2】（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设半焦距为，根据题意，再待定系数求解即可； （2）设，，根据点差法求解即可. 【解答过程】（1）解：设半焦距为， 因为椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上， 所以，解得． 所以的方程为. （2）解：设，，    代入椭圆方程得， 两式相减可得，即. 由点为线段的中点得， 则的斜率， 所以的方程为，即. 所以直线的方程为. 【变式5.3】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆：的右顶点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，点是线段的中点，求直线的方程和线段的长. 【答案】(1) (2)，5 【解题思路】（1）根据题意和椭圆的性质求出，的值，写出椭圆方程； （2）用点差法求直线斜率，再结合韦达定理求弦长. 【解答过程】（1）由题意：，所以. 又因为椭圆：的右顶点为，所以，， 所以的标准方程为. （2）设交点坐标，， 因为弦被点 平分，所以，.    又，两式相减得：， 所以直线的斜率， 故直线的方程为. 因为：，与椭圆方程联立， 所以，， 由弦长公式可知. 【题型6 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（25-26高二上·江西抚州·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用点差法求得的值，进而求得的值，结合求解即可. 【解答过程】如图所示， 由直线可知，直线斜率， 设，，则①，②， 又因为为线段的中点，则，， 由①②可得，即， 又因为，所以解得， 所以椭圆方程为，经检验点C在椭圆内， 所以，解得，则， 所以. 故选：C. 【变式6.1】（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】讨论直线的斜率，设联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式及四边形面积公式得，求出对应面积，比较大小即可得. 【解答过程】当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 由，消去得，， ，，， 用代替可得，则， 令，故，则，当且仅当时取等号； 当直线的斜率不存在时，将代入椭圆得，则，，故， 同理，当直线的斜率为零时，，，故， 所以四边形面积的最小值为. 故选：C. 【变式6.2】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. (1)求的方程； (2)过点的直线交C于A，B两点，为坐标原点.若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据离心率以及短轴长，由的关系式，建立方程，可得答案； （2）设直线：，联立椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得参数，再根据三角形面积公式计算可得答案. 【解答过程】（1）因为短轴长为，故， 而离心率为，故， 故椭圆方程为. （2）由题知直线的斜率不为0，故设直线：， ，，如图，    由可得， 故，即， 且，， 故， 化简得，解得， 故. 【变式6.3】（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）结合代入法，焦点的坐标进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线互相垂直斜率的关系进行求解即可； （3）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【解答过程】（1）椭圆的左右焦点分别为， 设，则， 因为点是椭圆上一点， 则 ， 所以，从而. 所以椭圆的方程为：. （2）证明：直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，则， 由已知，所以的斜率分别为， ， 故，所以； （3）设直线，显然，由，解得或， ∴，则， 由上可知，直线， 则， 由，得，解得或， ，则， 由上可知，直线，， 由（2）知，， 则. ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 【题型7 椭圆中的参数范围及最值】 【例7】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点，联立直线与的方程求出，同理求出，代入并借助基本不等式求出最大值. 【解答过程】椭圆的焦点，设， 直线的方程为：，由消去， 得，则，同理， 因此. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式7.1】（2026·江西萍乡·一模）已知椭圆，点，其中，过作直线交椭圆于，两点，过作直线交椭圆于，两点，若，，则直线在轴上的截距的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，，由题坐标化可得点坐标，代入椭圆方程可得，同理由可得，进而求得直线的方程，求出直线的纵截距，利用函数单调性求出值域，得解. 【解答过程】设，，由，，易得， 所以，， 所以，代入， 得：，即①， 同理得：②， 由①②得，直线的方程为：， 令，直线纵截距为：， 又，可得， 因为在上单调递增，可得. 故选：A. 【变式7.2】（25-26高二上·天津和平·期末）已知椭圆C：的左，右顶点分别为，，左焦点为F，且，. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线，与y轴交于点，求直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件先求出，进而求出，从而得到椭圆的方程. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为c， 由已知可得解得，， 由有， 所以椭圆C的方程为. （2）设直线的方程为，，，的中点，如下图： 由联立得， 由题意有，即，整理得①， 由韦达定理可得，故，， 所以， 因为线段的垂直平分线与y轴交于点，所以， 整理得②， 因为，由②式有，所以， 将②式代入①式得， 解得，所以. 易知， 综上可得. 【变式7.3】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解题思路】（1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，解出的值，求得椭圆的方程. （2）（ⅰ）设出两点的坐标，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （ⅱ）设出的坐标，分别联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【解答过程】（1）根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）设，，因为M为AB中点，所以， 根据题意直线AB与OM的斜率都存在， 所以直线AB与OM的斜率乘积为， 因为A，B在椭圆上，所以，， 两式相减可得， 化简得，可得， 因此直线AB与OM的斜率乘积为． （ⅱ）设，，，由（1）可知，， 因为点P在椭圆上，所以， 由题意PA：，PB：， 将直线PA与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 同理，将直线PB与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 所以OP的斜率为，的斜率为， 故， 因为点P在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号． 【题型8 椭圆中的向量问题】 【例8】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据，用表示点B的坐标，代入椭圆C的方程结合，利用椭圆的离心率求解即可. 【解答过程】设椭圆C的焦距为2c，，则，， 所以，， 因为，所以，即，即， 因为点B在椭圆C上，所以 ， 则，得到C的离心率为．    故选：B． 【变式8.1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据和长轴是短轴长的2倍可设椭圆方程，再联立直线和椭圆方程通过韦达定理可求解出斜率，从而求得. 【解答过程】因为长轴长是短轴长的2倍，所以，而，则. 设， 直线的方程为 代入椭圆方程可得，整理得， 即. ，. ，， 所以，则，即，化简得，解得， 因为，所以. 故选：A. 【变式8.2】（25-26高二下·甘肃武威·开学考试）在直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意求出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为以及两点坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用判别式求出的取值范围，列出韦达定理，再结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可求出的值. 【解答过程】（1）由已知椭圆的长轴长为，即， 又椭圆的离心率，则， 所以， 故椭圆方程为. （2）如图所示：    由已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为， 设， 联立直线与椭圆，得， 则，即， 且，， 则， 则， 解得. 【变式8.3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左顶点作斜率不等于零的直线与椭圆的另一个交点为，若点是线段AB垂直平分线上一点，且满足，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆上，把代入椭圆求出，即可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆联立并利用韦达定理求得的坐标，继而得的中点的坐标.再利用及列式求解即得解. 【解答过程】（1）∵椭圆， 根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上， 又的横坐标为1，所以椭圆必不过， 则、、在椭圆上， 所以，，解得， ∴椭圆的方程为． （2）由（1）得，设，令是的中点. 由题意知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 联立，得， 且，， ∴，， ， 由，得，，即， 所以，， 由，得，化简得 解得，所以.    考点3 椭圆的定点、定值、定直线问题 知识点4 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．椭圆中的定点、定值问题 椭圆中的定点、定值问题一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．椭圆中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型9 椭圆中的定点、定值问题】 【例9】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据椭圆的性质，结合已知条件求出的值，进而得出椭圆的方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系得到的表达式，再根据斜率公式和已知条件建立等式，化简等式后求出直线所过的定点. 【解答过程】（1）因为椭圆C过点  ， 又离心率为 ， 所以椭圆C的方程为； （2）证明：由条件可得直线的斜率不为，故设直线l方程为，，， 由  消去x，得， 方程的判别式， ，， 又因为，， 点在椭圆C上，则， 由，得， 所以， 所以， 所以， 即：或（舍去）， 故直线l方程为，所以直线l过定点. 【变式9.1】（25-26高二上·山东济宁·期末）椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，且． ①证明：直线过定点； ②设点关于原点的对称点为，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为．证明：为定值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析； ②证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率和椭圆性质建立关于的方程求解即可； （2）①直线的方程为．联立直线和椭圆方程得，求解，，进而结合韦达定理化简求解即可； ②连接，由椭圆的对称性可得为的重心，进而求得，即得，再求解即可. 【解答过程】（1）依题意：因为，所以， 因为，所以， 则， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：①当直线的斜率不存在时，，此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由，消得， 由，得 所以 由（1）可知，， 则， 同理， 所以， 化简得， 代入（式得：，即， ，所以或． 当时，直线过定点，与直线斜率不存在时为相矛盾，不合题意． 当时，直线过定点，满足，符合题意． 所以，直线过定点； ②连接，由椭圆的对称性，为的中点， 因为， 所以为的重心， 所以为的中点，即 ， 所以， 由， 所以． 所以为定值． 【变式9.2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 【答案】(1)； (2)过定点，定点坐标为. 【解题思路】（1）利用椭圆的性质计算参数即可； （2）设直线l方程及M，N坐标，先推导椭圆的第三定义，将斜率关系转化，再构造齐次化方程计算参数即可. 【解答过程】（1）设椭圆的焦距为，则， 当P为椭圆上顶点时，此时，所以， 即该椭圆方程为：； （2）过定点， 易知，由于直线l不过A点，可设， 设， 则， 所以，则， 椭圆方程可化为 ， 则， 易知，则是上述方程的两个根， 即，所以， 即，过定点. 【变式9.3】（25-26高二上·广西·阶段检测）已知是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，斜率不为0的直线经过点且与椭圆交于两点.当直线与轴垂直时，弦的长为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，设直线的斜率分别为，求； (3)轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）由的长为得到，由离心率得到，结合计算出的值，从而得到椭圆的方程； （2）设直线的方程为设，直线和椭圆联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系写出，利用已知两点的斜率公式求出，计算得解. （3）假设轴上存在满足条件的定点，设其坐标为，求出，利用数量积的坐标公式求出，利用为定值，得到关于的等式，计算出，求出定值，从而得解. 【解答过程】（1）由题可知，， 所以， 故椭圆的方程为； （2）设直线的方程为设， 由得，， 故， ， ， 注意到，即， 故 . （3）假设轴上存在满足条件的定点， 设其坐标为，则， ， 因为为定值，故， 得，定值为， 故轴上存在定点，使得为定值. 【题型10 椭圆中的定直线问题】 【例10】（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题设结合椭圆中的几何意义及其关系即可求解； （2）先由题设直线，与椭圆联立得韦达定理，将韦达定理代入转换化简后的代数式求出点T的横坐标为定值即可得证. 【解答过程】（1）由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上.    【变式10.1】（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1). (2) (3)点Q在定直线上 【解题思路】（1）利用正方形对角线相等且面积为8计算出b，c，进而求出椭圆C的方程. （2）根据点设出直线斜截式后联立化简即可求解. （3）根据已知条件对和的关系进行先猜后证，再联立两直线方程后即可求解. 【解答过程】（1）由四边形是面积为8的正方形得：，解得， 由，解得. 综上，椭圆C的方程为：. （2）由直线MN过点，故设直线MN：，，，且有， 联立，化简得，其中， 由（1）得，则，， 则. 综上，的值为. （3）由（2）中韦达定理得，，，    根据形式先猜后证：，即，进而得，证明成立. 设过P平行于BM的直线方程为，直线AN的方程为， 联立，得，代入，得，代入直线AN的方程得. 综上，点Q在定直线上. 【变式10.2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】(1)利用已知条件列方程组求参数即可； (2)利用直线与椭圆联立方程组，结合弦长公式求解即可； (3)利用直线与椭圆联立，再用坐标去表示两直线方程，然后消，去求解交点的横坐标，再由根与系数关系，即可求得，从而问题得证. 【解答过程】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 【变式10.3】（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值． (3)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在定直线上 【解题思路】（1）根据斜率之积求出即可得出椭圆的方程； （2）根据面积最大时点所处的位置，利用求椭圆的切线后，得三角形的高求解； （3）设直线，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，再联立直线方程求的横坐标，化简即可. 【解答过程】（1）由题意，， 设,，， 则， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）如图，    由，可得, 直线的方程为：，即， 当面积的最大时，点在与直线平行且与椭圆相切的直线上， 设切线为， 则可得， 由，解得（舍去）， 此时三角形的高为， 所以. （3）设直线，，， ，可得， 所以． 直线AE的方程：① 直线BF的方程：② 联立①②可得． 因为， 所以 所以点G在直线上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.3 直线与椭圆的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 点与椭圆的位置关系】 2 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 2 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 3 【题型4 椭圆的弦长问题】 4 【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 5 【题型6 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 6 【题型7 椭圆中的参数范围及最值】 7 【题型8 椭圆中的向量问题】 8 【题型9 椭圆中的定点、定值问题】 10 【题型10 椭圆中的定直线问题】 11 考点1 直线与椭圆的位置关系 知识点1 点与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【题型1 点与椭圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【变式1.1】（25-26高二上·四川广安·阶段检测）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·吉林四平·阶段检测）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2026·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 【例2】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【变式2.1】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【变式2.2】（2026高二上·河南安阳·专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【变式2.3】（25-26高二·全国·课后作业）已知，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 【例3】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为____________. 【变式3.3】（25-26高二上·上海·期末）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_______. 考点2 弦长与“中点弦”问题 知识点3 椭圆的弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点，则或. 2．“中点弦”问题 (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型4 椭圆的弦长问题】 【例4】（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的离心率为，焦距为2． (1)求的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为直线与交于两点，求． 【变式4.3】（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 【例5】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于点，弦被点平分，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 【变式5.3】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆：的右顶点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，点是线段的中点，求直线的方程和线段的长. 【题型6 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（25-26高二上·江西抚州·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. (1)求的方程； (2)过点的直线交C于A，B两点，为坐标原点.若，求的面积. 【变式6.3】（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 【题型7 椭圆中的参数范围及最值】 【例7】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（2026·江西萍乡·一模）已知椭圆，点，其中，过作直线交椭圆于，两点，过作直线交椭圆于，两点，若，，则直线在轴上的截距的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·天津和平·期末）已知椭圆C：的左，右顶点分别为，，左焦点为F，且，. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线，与y轴交于点，求直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 【变式7.3】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 【题型8 椭圆中的向量问题】 【例8】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二下·甘肃武威·开学考试）在直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值. 【变式8.3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左顶点作斜率不等于零的直线与椭圆的另一个交点为，若点是线段AB垂直平分线上一点，且满足，求实数的值. 考点3 椭圆的定点、定值、定直线问题 知识点4 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．椭圆中的定点、定值问题 椭圆中的定点、定值问题一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．椭圆中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型9 椭圆中的定点、定值问题】 【例9】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点. 【变式9.1】（25-26高二上·山东济宁·期末）椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，且． ①证明：直线过定点； ②设点关于原点的对称点为，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为．证明：为定值． 【变式9.2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 【变式9.3】（25-26高二上·广西·阶段检测）已知是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，斜率不为0的直线经过点且与椭圆交于两点.当直线与轴垂直时，弦的长为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，设直线的斜率分别为，求； (3)轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由. 【题型10 椭圆中的定直线问题】 【例10】（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【变式10.1】（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【变式10.2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【变式10.3】（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值． (3)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $