21.4.3 二次函数应用中的其他问题 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数在实际问题中的应用，通过回顾二次函数表达式及最值规律，结合排球上抛、排队安检等生活实例导入，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理应用思路。 特色在于以生活情境驱动探究，如排球高度与时间关系、排队人数模型，培养数学眼光观察现实，通过建立函数模型解决最值及方程求解问题，体现数学思维，用函数表达式精准描述实际关系，落实数学语言。小组合作与分层训练提升学生应用能力，为教师提供清晰教学流程与实例参考。

第3课时　二次函数应用中的其他问题 课题 第3课时　二次函数应用中的其他问题 授课人 教 学 目 标 1.能根据具体数据建立数学模型,应用二次函数的知识求解,并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 2.学会从多个角度思考问题,逐步提高解决问题的能力. 3.通过对实际问题的研究,体会建模的数学思想. 4.经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会转化和数形结合的思想. 5.通过问题的设计、解答,使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法,获得解决问题的经验. 6.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神. 7.通过用二次函数的知识解决实际问题,体会数学与现实生活的紧密联系,提高学习数学的兴趣,增强应用数学的意识. 教学 重点 探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法. 教学 难点 如何从实际问题中抽象出数学问题,建立数学模型. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.二次函数表达式常见的形式有哪几种?说明其特征. 2.二次函数的最值规律:a<0时,抛物线开口向下,顶点为最高点;a>0时,抛物线开口向上,顶点为最低点. 师生活动:教师引导学生回忆知识,学生进行解答,教师做好点评. 　　在已有知识的基础上提出新的问题,能为学生营造一个主动思考、探索的氛围,激发学生的学习兴趣. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 前面我们学习了二次函数的图象、配方、顶点与最值,知道二次函数可以解决拱桥、喷泉、投篮等最值问题.生活中竖直向上抛的物体,高度和时间之间也是二次函数关系.今天结合排球比赛场景,一起探究: ①上抛物体最高能到多少米? ②特定高度对应的运动时间是多少? 用二次函数解决运动类实际应用题. 　　通过引用日常生活中的实际问题,激发学生的学习兴趣,培养学生的探究意识和解决实际问题的能力. 活动 二: 探究 与 应用 1.探究新知 问题:在一次排球比赛中,球员奋力救球,球从靠近地面处被垫起,这时排球离地面的高度h m与垫起后的时间t s满足关系式h=-5t2+10t+0.2. (1)排球离地面的最大高度是多少? (2)已知某运动员在2.6 m高度时扣球效果最佳,如果她要打快攻,那么球被垫起后多长时间扣球最佳(结果精确到0.1 s)? ①要解答二次函数的问题,必须求出抛物线的最高点; ②结合二次函数性质与题意、背景寻找最佳答案. 师生活动:学生先独立进行解答,然后小组内交流讨论,教师适时点拨,指导学生写出解题过程. 解:(1)h=-5t2+10t+0.2=-5(t-1)2+5.2. 当t=1时,h取得最大值,最大值为5.2. 答:排球离地面的最大高度是5.2 m. (2)由(1)知,h=-5(t-1)2+5.2. 当h=2.6时,有-5(t-1)2+5.2=2.6. 整理,得(t-1)2=0.52. 解方程,得t1≈0.3,t2≈1.7. 排球在上升和下落中,各有一次经过2.6 m的高度,但第一次经过此高度时,离排球被垫起后仅0.3 s,如果要打快攻,选择此时扣球,可令对方措手不及,易获成功. 答:该运动员应在排球被垫起后0.3 s时扣球最佳. 反思:如果这位运动员来不及在0.3 s时扣球,她还可在何时扣球? 1.7 s时也可以. 2.归纳总结 (1)竖直上抛→二次函数模型; (2)最大高度→顶点纵坐标; (3)已知高度求时间→解一元二次方程+实际取舍. 【应用举例】 例　综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图21-4-25,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系. 【研究条件】 条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场人数; 条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人. 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检,经研究发现,现场总人数y与安检时间t(分)之间满足关系式:y=-2t2+60t+180(0≤t≤30). 结合上述信息,请完成下列问题: (1)当开通2条安检通道时,安检时间t分钟时,已入场人数为　　　　,排队人数w与安检时间t之间的函数关系式为　　　　　　　　　　;  【模型应用】 (2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值,最大值为多少? (3)已知该演出主办方要求: ①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少; ②尽量少安排安检通道,以节省开支. 若开放k条安检通道时恰好同时满足以上两个要求,直接写出k的整数值. 图21-4-25 [答案:(1)12t　w=-2t2+48t+180 (2)排队人数在第12分钟达到最大值,最大值为468 (3)4] 师生活动:学生按要求进行解答,教师做好指导、点拨. 教师关注: (1)学生能否熟练地运用二次函数的有关知识解决实际问题; (2)学生是否具有探索精神. 激发学生的学习欲望和兴趣,让学生切实感受到数学就在身边.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移,并让学生体验数学建模思想,增强应用意识. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行时间t(s)的函数表达式为s=60t-1.5t2,下列能反映这一变化过程的图象是(C) 图21-4-26 2.飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数表达式是s=20t-t2,则飞机从着陆滑行到停止,最后6 s滑行的路程是 (D) A.200 m　　　B.182 m　　　C.102 m　　　D.18 m 3.如图21-4-27①,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,CD=,动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发,沿C→B→A的方向匀速运动,到达点A时停止,以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t s,正方形DPEF的面积为S,当点P由点B运动到点A时,经探究发现S是关于t的二次函数,并绘制成如图②所示的图象,则由图象可知线段AC的长为(D) A.7　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4 图21-4-27 图21-4-28 4.为了实时规划路径,卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图21-4-28①,点P是一个固定观测点,运动点Q从A处出发,沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ的长为x(单位:km)(0≤x≤n),PQ2为y(单位:km2).如图②,y关于x的函数图象与y轴交于点C,最低点D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225)两点.下列选项正确的是(D) A.m=12　　　　　　　　　　 B.n=24 C.点C的纵坐标为240　　　 D.点(15,85)在该函数图象上 5.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数所占的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2,则最佳加工时间为　3.75 min　.  学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 【课堂总结】 1.你在本节课中有哪些收获?有哪些进步? 2.学习本节课后,还存在哪些困惑? 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知环节中,充分利用多媒体手段提高课堂效率,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,有效解决了教学的重难点;在课堂训练环节中,教师给予学生充分的自由时间,让学生能够体会建立平面直角坐标系的作用,明确解答问题的步骤,树立建模思想. ②[讲授效果反思] 教师强调重点:(1)明确解决抛物线形问题的步骤;(2)设抛物线的函数表达式时,要根据函数图象选择恰当的形式. ③[师生互动反思] 在开放、多样的教学活动中,培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $