21.4.3 二次函数应用中的其他问题 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

课题

第3课时　二次函数应用中的其他问题

授课人

教

学

目

标

1.能根据具体数据建立数学模型,应用二次函数的知识求解,并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

2.学会从多个角度思考问题,逐步提高解决问题的能力.

3.通过对实际问题的研究,体会建模的数学思想.

4.经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会转化和数形结合的思想.

5.通过问题的设计、解答,使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法,获得解决问题的经验.

6.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神.

7.通过用二次函数的知识解决实际问题,体会数学与现实生活的紧密联系,提高学习数学的兴趣,增强应用数学的意识.

教学

重点

探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.

教学

难点

如何从实际问题中抽象出数学问题,建立数学模型.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

1.二次函数表达式常见的形式有哪几种?说明其特征.

2.二次函数的最值规律:a<0时,抛物线开口向下,顶点为最高点;a>0时,抛物线开口向上,顶点为最低点.

师生活动:教师引导学生回忆知识,学生进行解答,教师做好点评.

　　在已有知识的基础上提出新的问题,能为学生营造一个主动思考、探索的氛围,激发学生的学习兴趣.

活动

一:

【课堂引入】

前面我们学习了二次函数的图象、配方、顶点与最值,知道二次函

　　通过引用日常生活中的实际问题,激发学生

创设

情境

导入

新课

数可以解决拱桥、喷泉、投篮等最值问题.生活中竖直向上抛的物体,高度和时间之间也是二次函数关系.今天结合排球比赛场景,一起探究:

①上抛物体最高能到多少米?

②特定高度对应的运动时间是多少?

用二次函数解决运动类实际应用题.

的学习兴趣,培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.

活动

二:

探究

与

应用

1.探究新知

问题:在一次排球比赛中,球员奋力救球,球从靠近地面处被垫起,这时排球离地面的高度h m与垫起后的时间t s满足关系式h=-5t2+10t+0.2.

(1)排球离地面的最大高度是多少? (2)已知某运动员在2.6 m高度时扣球效果最佳,如果她要打快攻,那么球被垫起后多长时间扣球最佳(结果精确到0.1 s)?

①要解答二次函数的问题,必须求出抛物线的最高点;

②结合二次函数性质与题意、背景寻找最佳答案.

师生活动:学生先独立进行解答,然后小组内交流讨论,教师适时点拨,指导学生写出解题过程.

解:(1)h=-5t2+10t+0.2=-5(t-1)2+5.2.

当t=1时,h取得最大值,最大值为5.2.

答:排球离地面的最大高度是5.2 m.

(2)由(1)知,h=-5(t-1)2+5.2.

当h=2.6时,有-5(t-1)2+5.2=2.6.

整理,得(t-1)2=0.52.

解方程,得t1≈0.3,t2≈1.7.

排球在上升和下落中,各有一次经过2.6 m的高度,但第一次经过此高度时,离排球被垫起后仅0.3 s,如果要打快攻,选择此时扣球,可令对方措手不及,易获成功.

答:该运动员应在排球被垫起后0.3 s时扣球最佳.

反思:如果这位运动员来不及在0.3 s时扣球,她还可在何时扣球?

1.7 s时也可以.

2.归纳总结

(1)竖直上抛→二次函数模型;

(2)最大高度→顶点纵坐标;

(3)已知高度求时间→解一元二次方程+实际取舍.

【应用举例】

例　综合与实践

【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图21-4-25,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系.

【研究条件】

条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场人数;

条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.

【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检,经研究发现,现场总人数y与安检时间t(分)之间满足关系式:y=-2t2+60t+180(0≤t≤30).

结合上述信息,请完成下列问题:

(1)当开通2条安检通道时,安检时间t分钟时,已入场人数为　　　　,排队人数w与安检时间t之间的函数关系式为　　　　　　　　　　; 

【模型应用】

(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值,最大值为多少?

(3)已知该演出主办方要求:

①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少;

②尽量少安排安检通道,以节省开支.

若开放k条安检通道时恰好同时满足以上两个要求,直接写出k的

激发学生的学习欲望和兴趣,让学生切实感受到数学就在身边.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移,并让学生体验数学建模思想,增强应用意识.