21.4.1 利用二次函数的最值解决实际问题 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

课题

第1课时　利用二次函数的最值

解决实际问题　　

授课人

教

学

目

标

1.通过图形的面积关系列出函数表达式.

2.用二次函数的知识分析解决有最值问题的实际问题.

3.通过对实际问题的探究,体会数学知识的现实意义,进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题.

4.通过实际问题与二次函数的关系的探究,让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)的方法.

5.体会数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

教学

重点

　　利用二次函数的知识分析解决有关最值问题的实际问题.

教学

难点

　　通过图形的面积关系列出函数表达式.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标:

(1)y=6x2+12x;(2)y=-4x2+8x-10.

2.以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.

师生活动:学生自主进行解答,教师做好指导和点评.

提示:求解二次函数的最值可以选择两种方法:

一是把一般式化为顶点式;二是利用顶点坐标公式求解.

　　通过回顾二次函数的最值问题,为讲解新课做铺垫,两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持.

(1)y=6(x+1)2-6,所以抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-6),当x=-1时,y有最小值-6.

(2)y=-4(x-1)2-6,所以抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-6),当x=1时,y有最大值-6.

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

问题:用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,当l是多少米时,场地的面积S最大?

师生活动:

1.教师引导学生分析与矩形面积相关的量;

2.教师设问,如何用含l的代数式表示邻边的长度;

3.学生自主列函数表达式,并进行整理,讨论问题解答的正确性;

4.针对问题要求进行求解,并回答问题.

教师关注:

1.学生能否根据矩形的面积公式列函数表达式;

2.学生能否根据以前所学知识准确求出函数的最大值.

　　通过典型的实际问题,激发学生解答的欲望,让学生在合作中学习,共同解答问题,培养学生的探究能力和合作意识.

活动

二:

探究

与

应用

1.探究新知

针对[课堂引入]的问题进行探究,教师总结解题过程.

师生活动:

(1)确定解题的步骤:先表示矩形的长和宽,再利用面积公式列表达式,最后求最值.

(2)解答过程:矩形的一边长为l m,则邻边长为(30-l)m,

所以场地的面积S=l(30-l)=-l2+30l(0<l<30).

当l=-=15时,S有最大值=225.

也就是说,当l是15 m时,场地的面积S最大.

2.师生总结

教师指导学生总结解答问题的步骤和方法,学生代表进行说明,全班互相交流,师生共同确定解题思路:

①表示与面积相关的量;

②利用面积公式列函数表达式,并进行整理;

　　通过典型问题的设计和解答,让学生体会函数模型在解决实际问题中的作用.