21.4.1 利用二次函数的最值解决实际问题 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦利用二次函数最值解决实际问题，通过矩形篱笆围场地的情境导入，回顾二次函数最值求法（一般式化顶点式、顶点坐标公式），搭建旧知到新知的学习支架。 这份资料特色在于结合生活实例（靠墙围菜园、正方形内接正方形），引导学生用数学眼光抽象面积关系，以数学思维推理列函数表达式，用数学语言构建模型，培养抽象能力与推理意识，助力学生掌握解题方法，教师可通过反思优化教学。

第1课时　利用二次函数的最值解决实际问题 课题 第1课时　利用二次函数的最值 解决实际问题　　 授课人 教 学 目 标 1.通过图形的面积关系列出函数表达式. 2.用二次函数的知识分析解决有最值问题的实际问题. 3.通过对实际问题的探究,体会数学知识的现实意义,进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题. 4.通过实际问题与二次函数的关系的探究,让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)的方法. 5.体会数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学 重点 　　利用二次函数的知识分析解决有关最值问题的实际问题. 教学 难点 　　通过图形的面积关系列出函数表达式. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标: (1)y=6x2+12x;(2)y=-4x2+8x-10. 2.以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少. 师生活动:学生自主进行解答,教师做好指导和点评. 提示:求解二次函数的最值可以选择两种方法: 一是把一般式化为顶点式;二是利用顶点坐标公式求解. (1)y=6(x+1)2-6,所以抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-6),当x=-1时,y有最小值-6. (2)y=-4(x-1)2-6,所以抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-6),当x=1时,y有最大值-6. 　　通过回顾二次函数的最值问题,为讲解新课做铺垫,两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,当l是多少米时,场地的面积S最大? 师生活动: 1.教师引导学生分析与矩形面积相关的量; 2.教师设问,如何用含l的代数式表示邻边的长度; 3.学生自主列函数表达式,并进行整理,讨论问题解答的正确性; 4.针对问题要求进行求解,并回答问题. 教师关注: 1.学生能否根据矩形的面积公式列函数表达式; 2.学生能否根据以前所学知识准确求出函数的最大值. 　　通过典型的实际问题,激发学生解答的欲望,让学生在合作中学习,共同解答问题,培养学生的探究能力和合作意识. 活动 二: 探究 与 应用 1.探究新知 针对[课堂引入]的问题进行探究,教师总结解题过程. 师生活动: (1)确定解题的步骤:先表示矩形的长和宽,再利用面积公式列表达式,最后求最值. (2)解答过程:矩形的一边长为l m,则邻边长为(30-l)m, 所以场地的面积S=l(30-l)=-l2+30l(0<l<30). 当l=-=15时,S有最大值=225. 也就是说,当l是15 m时,场地的面积S最大. 2.师生总结 教师指导学生总结解答问题的步骤和方法,学生代表进行说明,全班互相交流,师生共同确定解题思路: ①表示与面积相关的量; ②利用面积公式列函数表达式,并进行整理; ③确定自变量的取值范围; ④利用公式求出最值. 　　通过典型问题的设计和解答,让学生体会函数模型在解决实际问题中的作用. 【应用举例】 图21-4-4 例1　如图21-4-4,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD.设AB边的长为x米,则菜园的面积y(米2)与x(米)之间的函数表达式为　y=-x2+15x　(不要求写出自变量x的取值范围).  师生活动:学生自主进行解答,教师巡视、指导、点评. 教师引导学生阐述解答过程: (1)用含x的代数式表示出AD的长; (2)利用矩形的面积公式列出函数表达式. 　　应用举例是对于课题学习的针对性练习. 【拓展提升】 图21-4-5 例2　如图21-4-5,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小? 师生活动:学生小组内讨论、交流,教师参与小组合作,并引导学生厘清解题思路. 教师做好总结和展示: 解:设AE=x,AB=1,正方形EFGH的面积为y. 根据题意,得y=1-2x(1-x). 整理,得y=2x2-2x+1,所以当x=0.5时,正方形EFGH的面积最小为0.5.即当点E在AB的中点处时,正方形EFGH的面积最小. 　　拓展提升是对于基础知识的提高和应用,培养学生实际应用能力,提升思维能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.给你一根长为8 m的铁丝,用它围成一个矩形框,当这个矩形的长为　2 m　时,矩形的面积最大.  2.某产品的进货单价为90元/个,按100元/个出售时,能售500个.如果这种商品每个每涨价1元,其销售量就减少10个,那么为获得最大利润,其单价应定为 (B) A.130元/个　　B.120元/个　　C.110元/个　　D.100元/个 3.某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大? [答案:房价定为每天350元时,宾馆利润最大] 4.如图21-4-6所示,要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(足够长),计划用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔开的养鸡场,设养鸡场的长为x m. (1)要使养鸡场的面积最大,养鸡场的长应为多少米? (2)如果中间有n道篱笆隔开,要使养鸡场的面积最大,养鸡场的长应为多少米? (3)比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论? 图21-4-6 [答案:(1)养鸡场的长应为 25 m　(2)养鸡场的长应为25 m　(3)结论:无论养鸡场中间有多少道篱笆隔开,要使养鸡场面积最大,其长都是25 m] 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【课堂总结】 谈一谈你在本节课中有哪些收获,有哪些进步,还有哪些困惑. 教师强调:利用面积公式列函数表达式是解答问题的主要方法. 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境和探究新知环节中,利用实际问题激发学生的求知欲,渗透转化思想,把知识回归生活,又从生活走出来,使学生乐学、好学;通过层层设疑、由易到难,符合学生的认知水平和认知规律,引导学生不断思考、积极探索. ②[讲授效果反思] 教师提醒学生注意:(1)一般地,面积问题中常把面积作为函数,边长作为自变量;(2)确定自变量的取值范围是解答问题的注意点;(3)求最值问题可选用顶点坐标公式或将函数表达式由一般式化为顶点式. ③[师生互动反思] 从课堂发言和检测来看,学生能够积极发言、小组讨论富有实效,能够把知识进行化归,建立函数模型. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $