2.3 一元二次方程的根与系数的关系(基本功通关本)（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”，通过梳理不同形式方程（x²+px+q=0与ax²+bx+c=0）的根和、根积公式及应用前提（Δ≥0），搭建从方程解法到规律探究的学习支架，衔接前后知识脉络。 其特色在于以结构化表格归纳公式，结合分层当堂检测（含基础计算、变式应用及高频易错题型），通过具体实例（如已知方程根的关系求参数时强调Δ≥0）培养学生运算能力与推理意识，助力学生夯实基础、突破难点，也为教师提供清晰的教学脉络和易错点指导。

《学练优》·九年级数学上·BS 第二章　一元二次方程 3　一元二次方程的根与系数的关系 目 录 CONTENTS 01 要点归纳 02 当堂检测 根与系数的关系 公 式 x2＋px＋q＝0 x1＋x2＝ ⁠ ⁠ x1x2＝ ⁠ ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0) x1＋x2＝ ⁠ ⁠ x1x2＝ ⁠ 应 用 应用 前提 方程必须有实数解，即Δ＝b2－4ac≥0. －p　 q　 　 　 根与系数的关系 应 用 应用 形式 (1)已知一根，利用两根之和或积求另一根和未知参数；(2)求变形式 ＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1等值；(3)已知两根，求方程；(4)已知两根的数量关系，求未知参数的值时，要注意选取使Δ ⁠0的值. ≥　 1. 设下列方程的两个根均为α，β，不解方程，直接 写出两根的和与积. (1)x2＋4x－1＝0； α＋β＝ ；α·β＝ ⁠. (2)2x2＋4x＋1＝0； α＋β＝ ；α·β＝ ⁠. (3)6x2－x＝2x2＋3. α＋β＝ 　 　；α·β＝ 　－ 　. －4　 －1　 －2　 　 　 － 　 2 3 1 2. 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用 根与系数的关系，求下列各式的值： (1) ＋ ； 解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝ － . (1) ＋ ＝ ＝ ＝ . 解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2， x1x2＝－ . (1) ＋ ＝ ＝ ＝ . 2 3 1 (2) ＋ . 解： ＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－ ) ＝7. 解： ＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－ ) ＝7. 2. 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用 根与系数的关系，求下列各式的值： 2 3 1 3. [高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2 －k＋1＝0有两个实数根. (1)求k的取值范围； 解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0， 解得k≥ . 解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0， 解得k≥ . 2 3 1 3. [高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2 －k＋1＝0有两个实数根. (2)若该方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1) ＝11，求k的值. 　　　 易错通关：需考虑k的值满足Δ≥0. 2 3 1 解：∵x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k2－k＋1，(x1＋ 1)(x2＋1)＝11， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝11， 即k2－k＋1－2k－1＋1＝11. 整理得k2－3k－10＝0， 解得k1＝－2，k2＝5. ∵k≥ ，∴k＝5. 解：∵x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k2－k＋1， (x1＋1)(x2＋1)＝11， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝11， 即k2－k＋1－2k－1＋1＝11. 整理得k2－3k－10＝0， 解得k1＝－2，k2＝5. ∵k≥ ， ∴k＝5. 2 3 1 $