3.6 三元一次方程组及其解法（课件）--2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组的概念、解法及应用，通过《九章算术》中的上等谷问题导入，衔接二元一次方程组知识，搭建“二元到三元”的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于融合数学文化与分层练习，以古代问题培养抽象能力，通过基础定义辨析、常规消元到进阶整体消元的习题设计，发展推理意识与运算能力。应用实例如幼儿营养配餐问题强化模型意识，学生能提升解决实际问题的能力，教师可直接利用系统资料提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学七年级上册教学课件 第3章 一次方程与方程组 3.6 三元一次方程组及其解法 2026年8月5日 沪科版七年级上册数学3.6 三元一次方程组及其解法练习题 本次练习题紧扣沪科版3.6核心考点，围绕三元一次方程（组）定义、解的判定、三元一次方程组的基本解法展开训练。核心解题思想为消元思想：三元化二元、二元化一元，延续之前消元解题逻辑，衔接二元一次方程组知识。重点考查定义辨析、代入消元、加减消元、灵活消元选元、规范解题步骤，攻克学生易错点：概念判断失误、消元选错未知数、多次消元符号出错、步骤混乱、回代求值遗漏等。题型由基础概念、简单计算、常规求解到综合拔高层层递进，贴合单元测试与期末考点，配套完整分步解析。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，属于三元一次方程的是（） A. $$x+y+2z=5$$ B.$$x+2y^2+z=3$$ C. $$xy+z=4$$ D. $$x+y=6$$ 2. 下列属于三元一次方程组的是（） A. $$\begin{cases}x+y=3\\y+z=4\\x+z=5\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y+z=2\\xy=1\\x+z=3\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x+y=2\\y+z=3\end{cases}$$ D.$$\begin{cases}x+y+z=5\\x^2=1\\y=2\end{cases}$$ 3. 解三元一次方程组的基本思想是（） A. 直接求值 B. 消元（三元→二元→一元） C. 合并同类项 D. 估算求解 4. 解三元一次方程组时，选择优先消去的未知数原则是（） A. 随意选择 B. 优先消去系数简单、易计算的未知数 C. 固定消去x D. 固定消去z 5. 已知$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$，是方程组$$\begin{cases}x+y+z=6\\x-y+z=2\\2x+y-z=1\end{cases}$$的解，下列说法正确的是（） A. 只满足第一个方程 B. 满足任意两个方程即可 C. 需同时满足三个方程 D. 均不满足 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 含有______个未知数，并且含未知数的项的次数都是______的整式方程，叫做三元一次方程。 2. 由______个三元一次方程组成，且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解三元一次方程组的核心步骤：先消元转化为________方程组，再进一步消元化为一元一次方程。 4. 方程组$$\begin{cases}x+y+z=10\\x=y\\z=2y\end{cases}$$，优先消去未知数________计算最简便。 5. 求出未知数的值后，需要________所有方程，保证解的正确性。 三、解答题（共60分） 1.（18分）基础定义与简单消元求解： 判断下列方程组是否为三元一次方程组，并说明理由： （1）$$\begin{cases}x+y-z=5\\2x-y=3\\y+z=4\end{cases}$$ （2）$$\begin{cases}x+2y+3z=1\\xyz=2\\x-y=5\end{cases}$$ 2.（20分）常规三元一次方程组求解（基础消元）： （1）$$\begin{cases}x+y+z=6\\x-y=1\\2x+z=5\end{cases}$$ （2）$$\begin{cases}x+y=3\\y+z=5\\x+z=4\end{cases}$$ 3.（22分）进阶三元一次方程组加减消元求解： $$\begin{cases}2x+y+z=7\\x+2y+z=8\\x+y+2z=9\end{cases}$$ 参考答案及解析 一、选择题 1.A 解析：三元一次方程三要素：三个未知数、次数为1、整式方程。B含二次项、C含乘积项、D只有两个未知数，均不符合。 2.A 解析：三元一次方程组需满足三个未知数、所有项次数为1、整式方程组。B含乘积项、C只有两个方程、D含二次项，均不符合。 3.B 解析：消元思想是多元方程组的核心，逐步减少未知数个数，化繁为简。 4.B 解析：优先消去系数为±1、常数简单的未知数，大幅简化计算，减少出错。 5.C 解析：方程组的解必须同时满足方程组中所有方程。 二、填空题 1. 三、1 2. 三 3. 二元一次 4.$$x、z$$ 5. 代入检验 三、解答题 1.（1）解：是三元一次方程组。方程组含有x、y、z三个未知数，所有含未知数的项次数均为1，且均为整式方程，符合定义。 （2）解：不是三元一次方程组。第二个方程含$$xyz$$三次乘积项，未知数次数不为1，属于高次方程。 2.（1）解：$$\begin{cases}x+y+z=6&①\\x-y=1&②\\2x+z=5&③\end{cases}$$ 由②得：$$y=x-1$$，由③得：$$z=5-2x$$。 将y、z代入①：$$x+(x-1)+(5-2x)=6$$，化简得$$4=6$$，此方程组无解。 （2）解：$$\begin{cases}x+y=3&①\\y+z=5&②\\x+z=4&③\end{cases}$$ ①+②+③得：$$2x+2y+2z=12$$，化简得$$x+y+z=6&④$$。 ④-②得：$$x=1$$，④-③得：$$y=2$$，④-①得：$$z=3$$。 方程组的解：$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$。 3. 解：$$\begin{cases}2x+y+z=7&①\\x+2y+z=8&②\\x+y+2z=9&③\end{cases}$$ ①+②+③得：$$4x+4y+4z=24$$，化简得：$$x+y+z=6&④$$。 ①-④得：$$x=1$$，②-④得：$$y=2$$，③-④得：$$z=3$$。 方程组的解：$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$。 核心解题总结 1. 三元一次方程组判定：三未知数、次数为1、整式方程； 2. 解题核心：三元消为二元，二元消为一元； 3. 技巧：对称型方程组优先整体相加求和，快速求单个未知数，简化运算。 5x + 4y = 18， 15x + 10y = 50. 3x + 2y + z = 39， 2x + 3y + z = 34， x + 2y + 3z = 26. 二元一次方程组 ？ 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组. 1 三元一次方程（组）的概念 问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？ 现在有上等稻子 3 捆、中等稻子 2 捆、下等稻子 1 捆，总共可以打出 39 斗谷子； 上等稻子 2 捆、中等稻子 3 捆、下等稻子 1 捆，总共可以打出 34 斗谷子； 上等稻子 1 捆、中等稻子 2 捆、下等稻子 3 捆，总共可以打出 26 斗米. 问上等稻子、中等稻子和下等稻子每一秉各能打出多少斗米？” 未知量： 每一个未知量都用一个字母表示 等量关系： (1) 3上禾＋2中禾＋下禾＝39 (2) 2上禾＋3中禾＋下禾＝34 (3) 上禾＋2中禾＋3下禾＝26 用方程表示等量关系. x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 设上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)可出谷子(实)分别为 x，y，z (斗)， 1星题 基础练 知识点1 三元一次方程组的概念 1.下列方程组是三元一次方程组的是( ) B A. B. C. D. 举一反三 5 问题2：观察下列方程，你有什么发现？ 二元一次方程 含三个未知数 未知数的次数都是 1 含两个未知数 未知数的次数都是 1 三元一次方程 x－y＝1 x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 因这三个数必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起. 这种由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组. 总结 x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 1. 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) C 判断关键：①整式方程；②共含三个未知数；③含有未知数的项的系数都是1. 总结 练一练 知识点2 三元一次方程组的解法 2.解方程组 最简便的消元方法是( ) B A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常数项 举一反三 9 3.解方程组： 举一反三 10 解：由,得，由 ,得 ，由,得，所以 ， 把代入①,得，把代入③,得 ，所以 方程组的解为 举一反三 问题3：如何解这个方程呢？ 合作探究 可以消元求解！ 解三元一次方程组 2 x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 解：先用加减法消去 z， ① - ②，得 x＝5＋y ④ ⑤ - ⑥，得 4y＝17. 把④分别代入②③得 5y＋z＝24. ⑤ y＋z＝ 7. ⑥ 所以 例1 解方程组 典例精析 x＋2y－4z＝－5. x＋y＋2z＝－15， －2x－y＋z＝－3， ① ② ③ 解：先用加减消元法消去 x. ②＋①×2，得 y＋5z＝3. ④ ③－①，得 y－6z＝－8. ⑤ ④－⑤，得 11z＝11. 下面解由④⑤联立成的二元一次方程组. z＝1. ⑥ 将⑥代入④，得 y＝－2. 将 y，z 的值代入①，得 x＝3. 所以 z＝1. x＝3， y＝－2， 例2 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含 A、B、C 三种食物，下表给出的是每份(50g)食物 A、B、C 分别所含的铁、钙和维生素的量(单位). 食物 铁 钙 维生素 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 三元一次方程组的应用 3 （1）设配餐中 A、B、C 三种食物各有 x、y、z 份，请根据题意列出方程组； （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A、B、C 的份数. 解：(1)设配餐中 A，B，C 三种食物各 x，y，z 份，由题意得 ③ ① ② 由①，得 x＝7－y－2z. ④ 将④代入②③，得 解这个方程组，得 x＝2. 所以 z＝2. x＝2， y＝1， y＋3z＝7， ⑤ 2y－z＝0. ⑥ y＝1， z＝2. 将 的值代入④，得 y＝1， z＝2. 答： A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份. 例3 已知甲、乙两数之和为 3，乙、丙两数之和为 6，甲、丙两数之和为7. 求这三个数. x＋z＝7 ③ x＋y＝3 ① y＋z＝6 ② 解：设甲，乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得 ①+②+③，两边同除以 2，得 x＋y＋z＝8 ④ ④－① 得 z＝5， ④－② 得 x＝2， ④－③ 得 y＝1. 答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5. 知识点3 三元一次方程组的简单应用 4.(数学文化)在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一 个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实 39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗； 上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、 下三等谷每束各得实几斗？ 举一反三 19 举一反三 20 2星题 中档练 5.［合肥月考］已知，， 满足 ，则 ___, __, ___. 3 1 举一反三 21 6.已知方程组 与方程组 有相同的解，则___,___, ____. 2 3 举一反三 22 7.整 体 思 想 [南京期末]某商场出售甲、乙、丙三种型号 的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲 3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲、乙、丙各1件， 则需________元． 55 举一反三 23 解法 三元一次方程组 概念 含有___个未知数 3 每个方程中含未知数的项的次数______ 都是 1 一共含有____个方程 三 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 消元 消元 课堂小结 谢谢观看 THANKS 解：设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗，依题意，得解得 答：上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗． $