3.1 列代数式表示数量关系 第2课时 教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“列代数式表示数量关系”核心知识点，通过生活实例（橡皮擦与钢笔定价）从具体数字过渡到字母表示，衔接上节课代数式概念，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以“分层分析法”和“先读先写”原则突破难点，结合购物、行程等实际问题及数列规律探索，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，助力学生规范书写代数式，提升教师教学效率与学生问题解决能力。

3.1 列代数式表示数量关系 第2课时 课题 3.1 列代数式表示数量关系 第2课时 课型 新授课 备课人 授课班级 核心素养目标：1. 数学抽象：通过列代数式的学习，将文字语言转化为符号语言，培养符号意识 2. 逻辑推理：通过分析数量关系和探索规律，培养归纳推理能力 3. 数学运算：能正确列出代数式表示数量关系，规范书写格式 4. 数学建模：用代数式表示实际问题中的数量关系，初步建立模型意识 教学重难点：重点：列代数式表示数量关系，列代数式表示规律 难点：正确理解题意，厘清运算顺序，规范列出代数式 突破策略：通过"先读先写"原则和分层分析法，将复杂问题分解为简单步骤 一、情境导入 【过渡语】同学们，上节课我们学习了代数式的概念。在实际问题中，经常需要把数量关系用代数式表示出来。今天我们就来学习如何列代数式表示数量关系。 教师引导：请大家看一个生活中的例子。橡皮擦的单价是3元，钢笔的单价比橡皮擦的2倍还多2.5元，则钢笔的单价为多少元？ 学生回答：钢笔的单价是 + 2.5 = 8.5元。 即： 教师追问：如果橡皮擦的单价是x元呢？钢笔的单价是多少？ 学生回答：钢笔的单价是元。 教师引导：当橡皮擦的单价用一个字母x表示时，钢笔的单价就变成了一个含有字母的式子。像这样，把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。 【知识点】本节课的研究思路：从实际问题出发→理解列代数式的方法→通过例题掌握列代数式的技巧→探索用代数式表示规律→巩固练习。 设计意图：通过生活实例（橡皮擦和钢笔的定价问题）引入，从具体的数字过渡到字母表示，让学生自然理解列代数式的必要性。对比数字算式和字母代数式，体会字母表示数的一般性。 二、探究新知 1. 探究一：列代数式的方法 【过渡语】我们首先来学习如何根据文字描述列出代数式。关键是要弄清楚运算顺序。 教师引导：如何用代数式表示a，b两数的和与差的积？请同学们思考。 教师分析：这个问题可以分为几个层次。第一层，先分别求出a与b的和、a与b的差。第二层，再将和与差相乘。 第一层——求和与差：， 第二层——求积： 教师强调：在本套书中，如无特别说明，"a，b两数的差""a与b的差"都指"a − b"。列代数式时要厘清运算顺序，一般按"先读先写"的原则确定先后顺序。 教师追问：如果把问题改为"a，b两数的差与和的积"，列出的代数式是否相同？学生思考后回答：相同。因为"差与和的积"仍然是(a−b)(a+b)，乘法满足交换律，所以结果一样。 教师进一步引导：如果问题改为"a，b两数的和与a，b两数的差的商"呢？学生回答：那就是(a+b)÷(a−b)，也就是。注意分母要加括号。 教师总结：列代数式的关键步骤是：第一步，审题——弄清题目中涉及哪些数量和运算；第二步，转化——将文字语言转化为数学符号；第三步，排序——确定运算的先后顺序；第四步，列式——写出完整的代数式。 学生活动：请同学们尝试用上述方法，用代数式表示"a与b的2倍的和"。学生回答：先确定""和""两个部分，b的2倍是，再求和得。 【知识点】列代数式的方法：①认真审题，将表示数量关系的词语转化为运算（"和"→加，"差"→减，"积"→乘，"商"→除等）；②注意运算顺序，一般"先读先写"；③将句子分层，逐层分析。 设计意图：通过"和与差的积"这个经典例子，让学生学会分层分析的方法。先分解再组合，是列代数式的核心思维。 2. 探究二：用代数式表示 【过渡语】掌握了列代数式的方法后，我们来练习几道题目。 教师引导：请同学们用代数式表示下列各式。 (1) a与b的积的5倍； 学生回答： (2) a与b的5%的差； 学生回答： (3) x与y的和的平方； 学生回答： (4) x，y两数的平方和。 学生回答： 教师提问：(3)和(4)有什么区别？学生回答：(3)是先求x与y的和，再平方，即(x+。(4)是先分别求和，再相加，即+。运算顺序不同，结果也不同。 易错提示 "和的平方"与"平方和"不同： 和的平方：先求和再平方，如(x+。 平方和：先平方再求和，如+。 "积的倍数"与"倍的积"要注意运算顺序。 "a与b的差"统一指a−b，不是b−a。 【知识点】列代数式的关键：①分清"和的平方"与"平方和"等易混淆表述；②注意"的"字分层，"的"前是运算对象，"的"后是运算结果；③"先读先写"确定运算顺序。 设计意图：通过四道对比练习，让学生掌握列代数式的基本方法。特别是(3)和(4)的对比，直击"运算顺序"这一易错点。彩色提示框强化对易混淆表述的认识。 3. 探究三：例题精讲——实际问题中的代数式 【过渡语】下面我们来看几道实际问题，学习如何从实际问题中列出代数式。 例3 用代数式表示 (1) 购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数。 审题分析 本题是购物问题。2个面包的钱数是2a元，3瓶饮料的钱数是3b元，总钱数是两者之和。 解题过程 解：所需的钱数为 元。 教师追问：如果购买5个面包和2瓶饮料呢？学生回答：所需的钱数为元。方法是一样的，只要把数量改变即可。 教师强调：当结果含有两项以上的加法时，需要用括号把整个代数式括起来，再写单位。如(2a+3b)元，不能写成2a+3b元。 (2) 把a元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多少元？ 审题分析 利息=本金×年利率×存期。本金是a元，年利率是2.75%，存期是3年。 解题过程 解：根据题意，得 到期时的利息为 元。 (3) 某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元？ 审题分析 标价=进价×1.1=元。售价=标价−80=元。注意运算顺序：先乘后减。 解题过程 解：现在的售价为 元。 方法总结 解题技巧 列代数式解决实际问题的步骤： ① 认真审题，找出已知量和未知量； ② 明确各量之间的关系（如：利息=本金×利率×存期）； ③ 用字母表示未知量，按运算顺序列出代数式； ④ 注意单位和括号的正确使用。 设计意图：通过三道实际问题（购物、储蓄、定价），让学生学会从实际情境中提取数量关系并列出代数式。每题按照"审题分析→解题过程"的流程展开，培养规范的解题习惯。 4. 探究四：行程问题中的代数式 【过渡语】行程问题是常见的实际问题类型，我们来看例4。 例4 甲、乙两地之间公路全长240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为v km/h。 (1) 汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ 审题分析 时间=路程÷速度。路程是240 km，速度是v km/h。 解题过程 解：汽车从甲地到乙地需要行驶 小时。 (2) 如果汽车的行驶速度增加3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 审题分析 加快后的速度是 km/h，新的行驶时间是小时。早到的时间=原时间−新时间。 解题过程 解：加快速度后需要行驶 小时。 可以早到 小时。 教师强调：列代数式时，分式中的分母如果含有加减运算，需要加括号。如中的要加括号，表示整体作为分母。 教师追问：如果v=60，那么原来的时间和加快后的时间分别是多少？学生回答：原时间==4小时，加快后时间=≈3.81小时，早到约0.19小时（约11.4分钟）。 教师进一步引导：如果把速度增加 km/h呢？学生回答：加快后的速度是 km/h，新的时间是小时，早到小时。方法完全一样。 学生活动：请同学们再想一个行程问题的例子，用代数式表示。学生举例：甲乙两地相距s km，一人步行速度为a km/h，另一人骑车速度为b km/h（b>a），两人同时从甲地出发，骑车的人比步行的人早到多少小时？ 学生回答：步行时间=小时，骑车时间=小时，骑车的人早到小时。 教师点评：很好！这个例子很好地运用了行程问题的基本公式。注意分式的书写——当分母是单个字母时不需要括号，当分母含有加减运算时需要括号。 【知识点】行程问题基本公式：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。列代数式时注意：①分母含加减运算时要加括号；②结果要带单位；③当结果是分式时，单位写在分式后面。 设计意图：行程问题是代数式应用的重要场景。通过例4让学生掌握路程、速度、时间三者关系在代数式中的表达。特别注意分式中分母加括号的书写规范。 5. 探究五：列代数式表示规律 【过渡语】除了表示数量关系，代数式还可以用来表示规律。我们来看一个数列规律的问题。 教师引导：有一组按规律排列的数：1, −2, 3, −4, 5, −6, ...。请同学们观察这组数，找出规律。 (1) 这组数的第100个数是多少？ (2) 用代数式表示第n个数。 (3) 2026在这组数中吗？ 教师引导：我们从两个方面来分析——符号规律和绝对值规律。 学生活动：请同学们先独立观察，再小组讨论。 学生回答：符号规律——奇数位上的数符号为正，偶数位上的数符号为负。第1个数是+1，第2个数是−2，第3个数是+3，第4个数是−4。所以第n个数的符号为。 学生回答：绝对值规律——第n个数的绝对值就是n。 综合两个规律，第n个数为： 教师讲解：第100个数是偶数位，符号为负，绝对值为100，所以第100个数是−100。 第(1)题答案： 第(2)题答案： 教师追问：第(3)题，2026在这组数中吗？学生回答：2026是正数，如果在这组数中，它的位置n必须是奇数，且n=2026。但2026是偶数，所以第2026个数的符号为负，即−2026≠2026。因此2026不在这组数中。 教师追问：那−2026在这组数中吗？学生回答：−2026是负数，如果在这组数中，它的位置n必须是偶数，且n=2026。第2026个数确实是−2026，所以−2026在这组数中。 教师追问：我们验证一下n=1,2,3时的结果。学生回答：n=1时，(−×1=1，正确。n=2时，(−×2=−2，正确。n=3时，(−×3=3，正确。验证通过。 教师引导：如果数列变为−1, 2, −3, 4, −5, 6, ...，第n个数是什么？学生思考后回答：符号规律相反——奇数项负、偶数项正，所以符号为(−。绝对值仍然是n。所以第n个数为(−·n。 教师总结：符号规律是规律探索的核心。当符号正负交替时，可以用的幂来表示。奇数项正用，奇数项负用。关键是先确定第一项的符号，再确定幂的形式。 【知识点】列代数式表示规律的方法：①观察数列的符号规律（正负交替用的幂表示）；②观察数列的绝对值规律；③综合符号和绝对值，写出第n个数的代数式。常见模式：表示奇数项正、偶数项负。 解题技巧 探索数列规律的步骤： ① 观察符号：正负交替时用(−1)的幂表示； ② 观察绝对值：看绝对值与序号n的关系； ③ 综合写出：第n个数 = 符号×绝对值； ④ 验证：代入n=1,2,3验证是否正确。 设计意图：规律探索是培养归纳推理能力的重要途径。通过"先分析符号、再分析绝对值"的方法，让学生掌握探索数列规律的基本策略。第(3)题的判断进一步加深对规律的理解。 三、课堂小结 【过渡语】今天这节课我们学习了列代数式表示数量关系和规律，让我们一起来回顾本节课的主要内容。 1. 列代数式的方法 认真审题，将表示数量关系的词语转化为运算。注意运算顺序，一般"先读先写"。将句子分层，逐层分析。 2. 列代数式的注意事项 分清"和的平方"与"平方和"、"差的平方"与"平方差"等易混淆表述。分母含加减运算时要加括号。结果要带单位。 3. 列代数式表示规律 观察数列的符号规律和绝对值规律，综合写出第n个数的代数式。常见模式：(−1)的幂表示符号交替，n表示绝对值递增。 【知识点】本节课核心知识：1. 列代数式的方法——审题、转化、分层、列式；2. 注意事项——运算顺序、括号使用、单位标注；3. 规律探索——符号规律+绝对值规律→综合表示。 归纳总结 列代数式口诀： 审题转化是关键，词语运算要对应； 先读先写定顺序，分层分析步步清； 和的平方平方和，差的平方平方差； 分母加减加括号，结果千万别忘单位； 规律探索看符号，绝对值也要分析； 综合写出n的式，代入验证保准确。 4. 易错点提醒 易错提示 ① "和的平方"与"平方和"不同。② "差的平方"与"平方差"不同。③ 分母含加减运算时要加括号，如。④ "a与b的差"统一指，不是。⑤ 列代数式时注意运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号。 学科网（北京）股份有限公司 $