2026年九年级数学秋季开学学情自测卷（北京专用，范围：新教材北京版）

**基本信息** 2026年秋季九年级开学数学学情自测卷，精准衔接北京版八年级下册与九年级前两章内容，通过文化（祈年殿测量）、科技（机器人购买）等真实情境，梯度检测数学抽象、推理、模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|比例式、抛物线平移、函数图像综合|第5题结合离差平方和考查数据分析，第8题多结论判断体现逻辑推理| |填空题|8/24|相似比、反比例函数性质、折叠变换|第14题正方形折叠融合几何直观，第16题二次函数翻折考查空间观念| |计算题|10/72|方程求解、相似证明、函数应用、新定义|21题以祈年殿为背景渗透文化传承，26题“t相关函数”新定义培养创新意识，23题机器人购买问题构建数学模型|

2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C B D B D D 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 10.8 11.> 12. 13. 14.2 15.或 16. 三、解答题：共10小题，共72分． 17．（5分） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 解得，．·······························2分 （2）解： 移项得 开平方得 解得，．······························5分 18．（5分） 【答案】(1) 证明：，，， ， ， ， ， (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）略······························2分 （2）解：△△， ， ， ．······························5分 19．（6分） 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，即可作答． （2）先描点，再连线，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解： ；······························2分 （2）解：由（1）得， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示： ······························4分 （3）解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或；······························5分 （4）解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为．······························6分 20．（6分） 【答案】(1)； (2)当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【分析】（1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据图象，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵反比例的图象过点，即， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 又∵点在函数的图象上， ∴，， ∴ 又∵一次函数过、两点， 即， 解之得． ∴一次函数的解析式为；······························4分 （2）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．······························6分 21．（6分） 【答案】(1) 即为所求： (2)38米 【分析】本题考查三角形相似的实际应用： （1）过A作，交于C，即为所求； （2）根据写出比例关系即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交于C．······························2分 （2）解：， ， ，， ， ， ，即， （米）， 祈年殿的实际高度为38米．······························6分 22．（8分） 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； (2)． 【分析】由可得，然后证明，所以，得四边形为平行四边形，又，故有四边形为菱形； 由得四边形为菱形，则，，，由勾股定理得，所以，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略；······························3分 （2）解：如图， 由得四边形为菱形， ∴，，， ∴，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即的长为．······························8分 23．（8分） 【答案】(1)（为正整数，） (2)购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元 (3)当时，购买甲型机器人5台；当时，购买甲种型号机器人台或台或台或台或台，台；当时，购买甲型机器人10台 【分析】（1）设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台，根据费用=单价×数量，列式求解即可； （2）根据题意，得，确定x的取值范围，再利用一次函数的性质，求解即可； （3）设购买甲种型号机器人台，则超出数量为台，超出的机器每台单价为万元，根据题意，得，分，，三种情况，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台， 根据题意，得， 每种型号都要买，且机器台数是正整数， 故； 故且x为正整数；······························2分 （2）解：设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台， 根据题意，所花的总费用不超过130万元，并且使这20台机器人每小时分拣快递量的总和不少于21000件． ， 解得， ， ，， 故y随x的增大而增大， 故时，y取得最小值，且为， 故购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元；······························5分 （3）解：设购买甲种型号机器人台，则超出数量为台，超出的机器每台单价为万元，总费用为y万元， 根据题意，得， ， 当时，， 故时，y取得最小值，且为， 故购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元； 当时，，与x的值无关， 故购买甲种型号机器人台或台或台或台或台或台； 当时，， 故y随x的增大而减小， 故时，y取得最小值， 故购买甲种型号机器人10台，费用最低；······························8分 24．（8分） 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点分别代入反比例函数和正比例函数，可求得，，从而得到函数表达式． （2）直线向下平移个单位长度得，与反比例函数联立，解得第一象限交点，再过点作轴，交于，由计算 的面积， 【详解】（1）解：由题意，将代入，得，解得 将 代入 ，得，解得， ∴ 反比例函数表达式为，正比例函数表达式为．······························4分 （2）由（1）得直线的解析式为． 向下平移3个单位后，新直线的解析式为． 该直线与轴相交于点，即直线的解析式为． 联立直线与反比例函数：， 消去得，化简得 解得或． 点在第一象限，， ，代入得 ， 点的坐标为． 如图，过点作轴，交于， 直线的函数解析式为： ， 点与点的横坐标相等， 点的坐标为，即， ．······························8分 25．（10分） 【答案】(1) 证明：， ，，， ∵点，分别是线段，上的中点时， ∴ ∴， ， ， ∴ ； (2)8 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）先证明，即可证明； （2）根据相似三角形性质可得，结合的面积为，得到，从而得到； （3）当时，得，整理得，因为，得，整理得，即，故当时，，即可得，即可作答． 【详解】（1）略······························2分 （2）解：， ∴，， 由（1）得， ∴ ∵ ∴， ∴ 的面积为， 设边上的高为， ， ， ， 故答案为：；······························5分 （3）解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 则 ∴ 则 故当时，， 此时．······························10分 26．（10分） 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，；······························2分 ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得；······························4分 （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为；······························6分 ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或．······························10分 ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学•全解全析 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．已知，下列比例式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 2．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 3．如图，在中，平分交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（     ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，再根据线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， . 4．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察函数图象，确定两直线交点的横坐标，根据不等式的几何意义，找出直线在直线下方时对应的的取值范围即可求解． 【详解】解：由图象可知，一次函数与的交点的横坐标为 ∵不等式表示直线的图象在直线的图象下方 ∴观察图象可知，当时，直线在直线的下方 关于的不等式的解集是 故选：B． 5．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，18，7，9，11．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的各组离差平方和（其中有一处数据丢失）： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第1个间隔 0 44.75 第2个间隔 2 26 第3个间隔 a 12.5 第4个间隔 20 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】先将5个数据从小到大排序，根据间隔对应得到各选项分组，计算每组的总组内离差平方和，根据组内离差平方和最小原则选出正确分组． 【详解】解：首先将5名同学完成个数从小到大排序，得 ，四个间隔分别对应四个选项的分组， 计算总组内离差平方和： 第1个间隔对应选项A，总组内离差平方和为 ； 第2个间隔对应选项B，总组内离差平方和为 ； 第3个间隔对应选项C，第一组为 ， ∵平均数 ， ∴第一组离差平方和 ， 总组内离差平方和为 ； 第4个间隔对应选项D，总组内离差平方和为； 比较得， 选项D的组内离差平方和最小，符合要求． 6．若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可． 【详解】解：实数，满足， ，且， 整理第二个等式得， 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ． 7．如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】通过表示,,,, 进行比较，在表示，,的面积进行比较． 【详解】当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 联立方程组得，整理得， 设，， ∴，， 当时，方程为即， ∴， 解得，， ∴，， ∴,,， 此时，所以①说法错误；②正确； ， 当时，即时，， 所以③正确； ， ∴， ∴④正确． 【点睛】本题主要考查直线与横纵坐标轴的交点，直线和反比例函数的交点，以及三角形相关的面积计算，熟练掌握函数相关的知识点是解决本题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9．若，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，设，（），代入代数式进行化简求值． 【详解】∵， ∴设，（）， ∴． 故答案为：． 10．如图，，与相交于点G，且，，，，则的值为___． 【答案】8 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 首先求出，再根据平行线分线段成比例定理求出． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：8． 11．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，当时，________（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】> 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再结合两点横坐标的范围判断两点所在象限，得到两个函数值的正负后比较大小即可． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， ∴该函数的图象位于第二、四象限， ， 点在第二象限，可得， ， 点在第四象限，可得， ． 12．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，利用换元法将新方程转化为与原方程形式相同的方程，结合原方程的根与系数的关系求出换元后变量的根，再回代得到新方程的根． 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 13．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，先求出A、B两点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进一步求出直线与直线的交点坐标，即得答案． 【详解】解：把代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， ，， 由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将C、B两点的坐标代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，． 点P的坐标为． 14．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________． 【答案】2 【分析】设，连接，，求出，然后在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：设， 连接，，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴. ，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 解得：， 即． 故答案为：2． 15．如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大． 求出、点，分平行x轴、不平行x轴两种情况，作出图形，结合图形分别求解即可． 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即点； ①如图，当平行x轴时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当不平行x轴时，如下图所示，，    ∵， ∴， ∴， ∴轴，且， ∴， 故答案为：或． 16．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 三、计算题：共10小题，共72分． 17．（5分）用适当方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 解得，．·······························2分 （2）解： 移项得 开平方得 解得，．······························5分 18．（5分）如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：，，， ， ， ， ， (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）略······························2分 （2）解：△△， ， ， ．······························5分 19．（6分）已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，即可作答． （2）先描点，再连线，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解： ；······························2分 （2）解：由（1）得， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示： ······························4分 （3）解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或；······························5分 （4）解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为．······························6分 20．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点． (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 【答案】(1)； (2)当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【分析】（1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据图象，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵反比例的图象过点，即， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 又∵点在函数的图象上， ∴，， ∴ 又∵一次函数过、两点， 即， 解之得． ∴一次函数的解析式为；······························4分 （2）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．······························6分 21．（6分）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 【答案】(1) 即为所求： (2)38米 【分析】本题考查三角形相似的实际应用： （1）过A作，交于C，即为所求； （2）根据写出比例关系即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交于C．······························2分 （2）解：， ， ，， ， ， ，即， （米）， 祈年殿的实际高度为38米．······························6分 22．（8分）如图，在四边形中，，，为的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； (2)． 【分析】由可得，然后证明，所以，得四边形为平行四边形，又，故有四边形为菱形； 由得四边形为菱形，则，，，由勾股定理得，所以，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略；······························3分 （2）解：如图， 由得四边形为菱形， ∴，，， ∴，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即的长为．······························8分 23．（8分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表所示． 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量/件 每台机器人价格/万元 甲 1500 8 乙 900 5 这个公司计划购买这两种型号的机器人共20台（每种型号都要买），所花的总费用不超过130万元，并且使这20台机器人每小时分拣快递量的总和不少于21000件． (1)设购买甲种型号的机器人x台，购买这20台机器人所花的总费用为y万元，求y关于x的函数解析式； (2)在购买的20台机器人中，购买几台甲种型号的机器人能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ (3)厂家推出促销活动：若购买甲型机器人超过5台，则超出部分每台优惠a万元．请根据促销活动写出购买总费用最低的购买方案（写出甲型机器人的购买数量即可）． 【答案】(1)（为正整数，） (2)购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元 (3)当时，购买甲型机器人5台；当时，购买甲种型号机器人台或台或台或台或台，台；当时，购买甲型机器人10台 【分析】（1）设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台，根据费用=单价×数量，列式求解即可； （2）根据题意，得，确定x的取值范围，再利用一次函数的性质，求解即可； （3）设购买甲种型号机器人台，则超出数量为台，超出的机器每台单价为万元，根据题意，得，分，，三种情况，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台， 根据题意，得， 每种型号都要买，且机器台数是正整数， 故； 故且x为正整数；······························2分 （2）解：设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台， 根据题意，所花的总费用不超过130万元，并且使这20台机器人每小时分拣快递量的总和不少于21000件． ， 解得， ， ，， 故y随x的增大而增大， 故时，y取得最小值，且为， 故购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元；······························5分 （3）解：设购买甲种型号机器人台，则超出数量为台，超出的机器每台单价为万元，总费用为y万元， 根据题意，得， ， 当时，， 故时，y取得最小值，且为， 故购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元； 当时，，与x的值无关， 故购买甲种型号机器人台或台或台或台或台或台； 当时，， 故y随x的增大而减小， 故时，y取得最小值， 故购买甲种型号机器人10台，费用最低；······························8分 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和正比例函数的图象都经过点． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位长度后与轴相交于点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为，连接，求点的坐标及的面积． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点分别代入反比例函数和正比例函数，可求得，，从而得到函数表达式． （2）直线向下平移个单位长度得，与反比例函数联立，解得第一象限交点，再过点作轴，交于，由计算 的面积， 【详解】（1）解：由题意，将代入，得，解得 将 代入 ，得，解得， ∴ 反比例函数表达式为，正比例函数表达式为．······························4分 （2）由（1）得直线的解析式为． 向下平移3个单位后，新直线的解析式为． 该直线与轴相交于点，即直线的解析式为． 联立直线与反比例函数：， 消去得，化简得 解得或． 点在第一象限，， ，代入得 ， 点的坐标为． 如图，过点作轴，交于， 直线的函数解析式为： ， 点与点的横坐标相等， 点的坐标为，即， ．······························8分 25．（10分）【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题． 如图，已知，，点，分别是线段，上的动点，连接，． (1)若点，分别是线段，的中点时，求证：． 证明： ，，． …… 请完成以上证明过程． (2)在（1）的前提下，如图，当的面积为时，则的面积为______； (3)点，分别在线段，上运动时，当______时，，并求出的值． 【答案】(1) 证明：， ，，， ∵点，分别是线段，上的中点时， ∴ ∴， ， ， ∴ ； (2)8 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）先证明，即可证明； （2）根据相似三角形性质可得，结合的面积为，得到，从而得到； （3）当时，得，整理得，因为，得，整理得，即，故当时，，即可得，即可作答． 【详解】（1）略······························2分 （2）解：， ∴，， 由（1）得， ∴ ∵ ∴， ∴ 的面积为， 设边上的高为， ， ， ， 故答案为：；······························5分 （3）解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 则 ∴ 则 故当时，， 此时．······························10分 26．（10分）在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，；······························2分 ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得；······························4分 （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为；······························6分 ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或．······························10分 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 填空题 （ 每小题 3 分，共 24 分 ） 9 _________ 10 _________ 11 _________ 12 _________ 13 _________ 14 _________ 15 _________ 16 _________ 三、 解答题 ：本题共 10 小题，共 72 分． 17 ．（ 5 分）           ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 5 分） 19 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 6 分） 21 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 8 分） 23 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ．（ 8 分） 25 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4. 5 5 破。 5. 正确填涂 7 6789 6789 5678q 123456789 123456789 0123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 89 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][C]D] 5[A][B][C]D] 2[A][B][C]D] 6[A1B1[C][D1 效弼 3[A]B][CD] 7[A]B][C]D] 4[A][B][C]D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题 （每小题3分，共24分) 0 10 11 12 13 14 15 16 三、解答题： 本题共10小题，共72分. 17.(5分) 警 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) A B D 19.(6分) y 32 1 -5-4-3-2-10 12345x 2 3 4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) A(-2,1》 0 B(1,n) 21.(6分) A D B EF 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) lo B E 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 0 25.(10分) B B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) D 2 3 A 65432-034 -6-内4-3-2101234元 -2 -4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材北京版八年级下册全部+九年级前两章 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．已知，下列比例式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 3．如图，在中，平分交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（     ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 4．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，18，7，9，11．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的各组离差平方和（其中有一处数据丢失）： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第1个间隔 0 44.75 第2个间隔 2 26 第3个间隔 a 12.5 第4个间隔 20 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 7．如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9．若，则代数式的值是________． 10．如图，，与相交于点G，且，，，，则的值为___． 11．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，当时，________（填“＞”“＝”或“＜”）． 12．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 13．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 14．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________． 15．如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为_______． 16．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 三、计算题：共10小题，共72分． 17．（5分）用适当方法解下列方程 (1) (2) 18．（5分）如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．（6分）已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 20．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点． (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 21．（6分）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 22．（8分）如图，在四边形中，，，为的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，，求的长． 23．（8分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表所示． 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量/件 每台机器人价格/万元 甲 1500 8 乙 900 5 这个公司计划购买这两种型号的机器人共20台（每种型号都要买），所花的总费用不超过130万元，并且使这20台机器人每小时分拣快递量的总和不少于21000件． (1)设购买甲种型号的机器人x台，购买这20台机器人所花的总费用为y万元，求y关于x的函数解析式； (2)在购买的20台机器人中，购买几台甲种型号的机器人能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ (3)厂家推出促销活动：若购买甲型机器人超过5台，则超出部分每台优惠a万元．请根据促销活动写出购买总费用最低的购买方案（写出甲型机器人的购买数量即可）． 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和正比例函数的图象都经过点． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位长度后与轴相交于点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为，连接，求点的坐标及的面积． 25．（10分）【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题． 如图，已知，，点，分别是线段，上的动点，连接，． (1)若点，分别是线段，的中点时，求证：． 证明： ，，． …… 请完成以上证明过程． (2)在（1）的前提下，如图，当的面积为时，则的面积为______； (3)点，分别在线段，上运动时，当______时，，并求出的值． 26．（10分）在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材北京版八年级下册全部+九年级前两章 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．已知，下列比例式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 3．如图，在中，平分交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（     ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 4．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，18，7，9，11．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的各组离差平方和（其中有一处数据丢失）： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第1个间隔 0 44.75 第2个间隔 2 26 第3个间隔 a 12.5 第4个间隔 20 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 7．如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9．若，则代数式的值是________． 10．如图，，与相交于点G，且，，，，则的值为___． 11．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，当时，________（填“＞”“＝”或“＜”）． 12．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 13．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 14．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________． 15．如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为_______． 16．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 三、计算题：共10小题，共72分． 17．（5分）用适当方法解下列方程 (1) (2) 18．（5分）如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．（6分）已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 20．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点． (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 21．（6分）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 22．（8分）如图，在四边形中，，，为的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，，求的长． 23．（8分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表所示． 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量/件 每台机器人价格/万元 甲 1500 8 乙 900 5 这个公司计划购买这两种型号的机器人共20台（每种型号都要买），所花的总费用不超过130万元，并且使这20台机器人每小时分拣快递量的总和不少于21000件． (1)设购买甲种型号的机器人x台，购买这20台机器人所花的总费用为y万元，求y关于x的函数解析式； (2)在购买的20台机器人中，购买几台甲种型号的机器人能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ (3)厂家推出促销活动：若购买甲型机器人超过5台，则超出部分每台优惠a万元．请根据促销活动写出购买总费用最低的购买方案（写出甲型机器人的购买数量即可）． 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和正比例函数的图象都经过点． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位长度后与轴相交于点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为，连接，求点的坐标及的面积． 25．（10分）【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题． 如图，已知，，点，分别是线段，上的动点，连接，． (1)若点，分别是线段，的中点时，求证：． 证明： ，，． …… 请完成以上证明过程． (2)在（1）的前提下，如图，当的面积为时，则的面积为______； (3)点，分别在线段，上运动时，当______时，，并求出的值． 26．（10分）在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 0 4.考试范围：新教材北京版八年级下册全部+九年级前两章 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 .: 题目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1.已知2a=3b(b≠0)，下列比例式中，正确的是() A. 86 23 c日8 08 : 2. 将抛物线y=2x2平移，得到抛物线y=2(x+3)+5,下列平移方式中，正确的是() : A.向左平移3个单位，向上平移5个单位 B.向右平移3个单位，向上平移5个单位 O C.向左平移5个单位，向下平移3个单位 D.向右平移5个单位，向上平移3个单位 3,如图，在ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E,交CD的延长线于点F.若BC=5,AB=3,则DF 的长为() : : : O A.3 B.2.5 C.2 D.1.5 : 4.如图，一次函数y=-3x+6与y=x+b(k≠0)的图象交于点P,则关于x的不等式-3x+6<+b的解 集是() y=kx+b : 6 : -3x+6 试题第1页（共10页） : : : 6学科网·上好课 A.x<1 B.x>1 C.x<3 D.x>3 5.在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13,18,7,9,11.要使个数相差较小的同学分在一 组，下表是4种分法的各组离差平方和（其中有一处数据丢失）： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第1个间隔 0 44.75 第2个间隔 26 第3个间隔 Q 12.5 第4个间隔 20 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是() A.{7}和9,11,13,18} B.{7,9}和11,13,18} C.{7,9,11}和{13,18 D.{7,9,11,13}和18} 6.若实数m、n满足m-3m+1=0,=3-1且m≠n,则上+上的值是() n A.-3 B.3 C.1 D.-1 7.如图，D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点，且DE‖AB,连接AE,BD相交于点F,若 SDEF:SABF=4:25,则SADC:S△ADE的值为() E A.2:5 B.4:9 C.4:21 D.2:3 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=r+3的图象与函数y=2(x>0)的图象存在两个交 1 点A,B(A,B不重合，点A在点B的左侧)，与x轴交于点C,与y轴交于点D,连接OA,OB.给出 下面四个结论： ①AB一定大于AD: 试题第2页（共10页） 6学科网·上好课 ②OA可能等于OB: ③△AOB的面积可能小于△BOC的面积； ④△AOD的面积一定等于△BOC的面积. 上述结论中，所有正确结论的序号为() A.①② B.②③ c.①③④ D.②③④ 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 9.若立子则，代藏式做是 x+2V 10.如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且CG=4,FG=2,AC=3,BD=4,则DE的值 为一 A B F 11.在平面直角坐标系x0y中，点（名，y),(x,y)在反比例函数y=-】的图象上，当x<0<,时， 片y2（填“>"“=”或"<"). 12.若2是关于x的一元二次方程2+4x-2=0(a≠0)的一个根，则一元二次方程 a(x-1)+4a(x-1)-2=0的根为· 13.已知抛物线y=-x+x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)，点P是抛 物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，点P的坐标为· B 14.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A 的对应点为点A',且B'C=3,则AM的长为 试题第3页（共10页） D 15.如图，直线AB的解析式为y=-x+b分别与x,y轴交于A,B两点，点A的坐标为(3，O),过点B的 兵 直线交x轴负半轴于点C,且OB:OC=3:1.在x轴上方存在点D,使以点A,B,D为顶点的三角形与 △ABC全等，则点D的坐标为 张 河 游 16.将二次函数y=-x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直 线y=2x+b与新函数的图象恰有4个公共点时，b的取值范围为· 时 三、计算题：共10小题，共72分 17.(5分)用适当方法解下列方程 些 (1)x2-5.x+6=0 (2)(x-2)2-27=0 试题第4页（共10页） 18.(5分)如图，在△ABC中，AB=2,BC=4,D是BC上一点，且BD=1. O B (1)求证：△ABC△DBA; (2)若AC=3,求AD的长. i的 19.(6分)己知二次函数y=x2-4x+3. y 4 3 O 2 5-4-3-2-10 12345x 2 3 (1)将函数解析式化为y=a(x-)+k的形式； (2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象： (3)当y>0时，x的取值范围是 (4)当1<x<4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围为 ···········2 O .… 试题第5页（共10页） 学科网·上好课 20.(6分)如图，一次函数y=+b的图象与反比例函数y=的图象相交于4、B两点. A(-2,1) B(1,n) (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式： (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围. 21.(6分)祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）.晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学 综合实践活动.由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度.如 图2所示，祈年殿的高为AB,测得其在地面上的影长BC为37米.同一时刻，竖一根高度为1.9米的标 杆DE,测得标杆的影长EF为1.85米。 A D B 图1 图2 (1)在图中画出此时AB在阳光下的投影BC(提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子EF一致)： (2)根据测量数据，计算祈年殿AB的实际高度. 试题第6页（共10页） 可学科网·上好课 22.(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=CD,O为AC的中点，连接DO并延长，交BC 于点E,连接AE, (1)求证：四边形AECD为菱形： (2)连接BO,若∠ABC=90°，DE=2,AD=V10,求BO的长. 23.(8分)快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作 效率和价格如下表所示。 每台机器人每 每台机器人价 机器人型号 小时分拣快递 格/万元 量/件 甲 1500 乙 900 5 这个公司计划购买这两种型号的机器人共20台（每种型号都要买），所花的总费用不超过130万元，并且 使这20台机器人每小时分拣快递量的总和不少于21000件 (1)设购买甲种型号的机器人x台，购买这20台机器人所花的总费用为y万元，求y关于x的函数解析式： (2)在购买的20台机器人中，购买几台甲种型号的机器人能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ (3)厂家推出促销活动：若购买甲型机器人超过5台，则超出部分每台优惠α万元(0<a<4).请根据促销活 动写出购买总费用最低的购买方案（写出甲型机器人的购买数量即可）. 试题第7页（共10页） 24.(8分)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=上和正比例函数y=x的图象都经过点A(2,2). 兵 B 张 (1)分别求这两个函数的表达式； 河 (2)将直线OA向下平移3个单位长度后与y轴相交于点B,与反比例函数的图象在第一象限内的交点为C, 连接AB,AC,求点C的坐标及△ABC的面积. 游 时 世 试题第8页（共10页） 25.（10分)【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的 比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完 O 成下面的问题 : : 如图，已知△0C△BC,C-,点D,y分别是我段C4,C上的动点，连接B0.BD B'C : : B (1)若点D,D分别是线段CA,CA的中点时，求证： BD 1 B'D'21 证明：：△ABC∽△AB'C % BC AC AB 1 B'C A'C AB'2' ∠C=∠C',∠A=∠A. … 请完成以上证明过程， .… (2)在(1)的前提下，如图，当△ABC的面积为4时，则△A'B'D的面积为一一 : O 6点D,D分别在线段CA,CA上运动时，当C时，△4BD∽△4B,并求出 S△BD的值. S△ABD .: O 试题第9页（共10页） 6学科网·上好课 26.(10分)在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当x<m时， 它们对应的函数值互为相反数；当x≥m时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“m-相关 函数” 3 3 2 2 D A D 1 -6-54-3-2-10 1234 -6-5-4-3-2-10l 1234x C B -2 2 3 -4 -4 (1)①在点(-1，-2)，乃(-1,2)，(1，-2)，(1,2)中， 在正比例函数y=2x的“1-相关函数"图象上的点是 ②若一次函数y=2x+b的“2-相关函数"的图象是轴对称图形，则b的值为： (2)已知A(2,1),B(2,-1),C(4,-1),D(-4,1) ①若二次函数y=(x-)的“m-相关函数"图象与四边形ABCD始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数y=x2+2x+n的“1-相关函数"的图象与线段AD有2个公共点，直接写出n的取值范围. 试题第10页（共10页）