21.2 二次函数y=ax²的图象和性质（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过回顾一次函数图象画法及性质研究方法，以画y=x²图象为例，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生掌握抛物线概念及开口方向、对称轴等性质。 其亮点在于结合“列表—描点—连线”操作和交互动画，培养几何直观与推理意识，通过对比a>0与a<0的图象性质，用表格系统归纳知识。典例和真题强化应用意识，助力学生提升观察归纳能力，教师可借助完整教学流程高效开展教学。

21.2 二次函数y=ax2的图象和性质 第二十一章 二次函数与反比例函数 沪科版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 1.使学生会描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念，掌握抛物线的基本性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。 通过画图象的操作活动，经历 “列表 — 描点 — 连线” 画函数图象的完整过程，体会数形结合思想。通过观察抛物线的图象，自主归纳图象特征与函数性质，提升识图、观察、归纳推理能力。 使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考归纳的良好思维习惯。 知识回顾 1.用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 2. 我们学过的一次函数的图象是什么图形？ 一条直线 可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质;应先研究二次函数的图象 3.同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? ①列表； ②描点； ③连线 情景导入 导入新课 问题1：二次函数 y = x2 图象的画法 分析 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. 类比一次函数的图像画法步骤： 列表 描点 连线 5 探究新知 问题1：二次函数 y = x2 图象的画法 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 6 新知探究 问题1：二次函数 y = x2 图象的画法 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. 3. 连线： 如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象． 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 2. 描点： 根据表中 x，y 的数值在坐标平面内描点 (x，y)； 双击演示操作 7 探究新知 问题1：二次函数 y = x2 图象的画法 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数 y = x2 的图象如下： x y 描点后，相邻两点间 能用线段连接吗? 8 探究新知 问题1：二次函数 y = x2 图象的画法 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数 y = x2 的图象如下： x y 不能用线段连接！ 理由： 1.二次函数y = x2 中，自变量x可以取全体实数，在标的两个红点之间，还存在无数个对应的点。 2.如果用直线段连接相邻两点，画出的图形是折线，无法真实反映函数变化规律； 3.我们需要用平滑、连续的曲线顺次连接各点。 9 探究新知 问题1：二次函数 y = x2 图象的画法 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. -3 3 o 3 6 9 x y 观察并思考： 观察二次函数 y = x2 的图象，回答下列问题: (1)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么? (2)图象有最低点吗?如果有，最低点的坐标是什么? (3)当x<0时，随着的增大，如何变化?当x>0时呢?？ 10 探究新知 问题1：二次函数 y = x2 图象的画法 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. -3 3 o 3 6 9 x y 从上述观察中，我们可以看出： ①函数y = x2 的图象是一条曲线， 它的形状类似于斜抛物体的运动路线， ②只是这个图象的开口向上， 我们把这条曲线叫作抛物线、 函数y = x2 的图象称为抛物线y = x2 实际上，二次函数的图象都是抛物线， 一般地，二次函数y=ax²+bx+c的图象称为抛物线y=ax²+bx+c. 11 探究新知 问题1：二次函数 y = x2 图象的画法 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. 3 6 9 y O -3 3 x 函数 y = x2 的图象开口______. 向上 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴. 顶点坐标是________. 顶点是图象的最____点. （0，0） 低 在抛物线 y = x2上 任取一点（ m，m2），因为 它关于y轴的对称点（-m，m2 ） 也在抛物线 y = x2上，所以抛 物线 y = x2关于y轴对称。 特征 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点． 12 探究新知 问题1：二次函数 y = x2 图象的画法 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. 3 6 9 y O -3 3 x 在y轴左侧，抛物线 y = x2 自左向右是下降的， 当x<0 时， y随着x的增大而减小。 在y轴右侧，抛物线 y = x2自左向右是上升的， 当x>0 时， y随着x的增大而增大。 单调性 13 探究新知 问题2：二次函数 y = x2 、y = 2x2图象的画法 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y = x2， y = 2x2的图象. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 解：分别列表、描点、连线，再画出它们的图象，如图. x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y = 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· y=2x2 14 探究新知 问题2：二次函数 y = x2 、y = 2x2图象的画法 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y = x2， y = 2x2的图象. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 观察并思考： 1.观察二次函数 y = x2 、y = x2和 y = 2x2的图象， 分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 图象有最高点还是有最低点? 当x在什么范围内，图象自左向右上升或下降? 15 探究新知 问题2：二次函数 y = x2 、y = 2x2图象的画法 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y = x2， y = 2x2的图象. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最低点； 开口都向上； 对称轴都是y轴； 16 探究新知 问题2：二次函数 y = x2 、y = 2x2图象的画法 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y = x2， y = 2x2的图象. 增减性都相同： 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 17 探究新知 问题2：二次函数 y = x2 、y = 2x2图象的画法 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y = x2， y = 2x2的图象. 观察并思考： 2.点击图片进入交互动画软件， 改变二次函数 y = ax2 (a>0)的二次项系数a(a>0)的值，如图，观察图象， 总结二次函数 y = ax2(a>0)的图象特点和函数性质 18 探究新知 问题2：二次函数 y = x2 、y = 2x2图象的画法 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y = x2， y = 2x2的图象. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 当 a＞0 时，a 越大，开口越小. 19 探究新知 问题2：二次函数 y = x2 、y = 2x2图象的画法 二次函数 图象的形状 图象的特点 函数的性质 抛物线 (1) 开口向上，向x轴左右方向无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 (2) 是轴对称图形，对称轴是y轴 对于x和-x可得到相同的函数值y (3) 在y轴左侧，自左向右下降， 在y轴右侧，自左向右上升 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大 (4) 顶点就是原点（0,0），顶点是图象的最低点，图象向上无限延伸 当x=0时，函数取得最小值， y最小值=0，且y没有最大值， 函数y的取值范围是y≥0 总结：二次函数的图象特点和函数性质. 20 探究新知 问题3：二次函数 y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. 仿前面例题在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 o x y y = -x2 21 探究新知 问题3：二次函数 y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. 仿前面例题在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 22 探究新知 问题3：二次函数 y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. 仿前面例题在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. 思考 共同点和不同点 x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 23 探究新知 问题3：二次函数 y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. y=-2x2 y=-x2 -3 -6 -9 y O -3 3 x 开口都向下； 对称轴都是y轴； 顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最高点； 增减性相同： 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小. 24 探究新知 问题3：二次函数 y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. 仿前面例题在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. 观察并思考： 3.点击图片进入交互动画软件， 改变二次函数 y = ax2 (a<0)的二次项系数a(a<0)的值，如图，观察图象， 总结二次函数 y = ax2(a<0)的图象特点和函数性质 y=-2x2 y=-x2 -3 -6 -9 y O -3 3 x 25 探究新知 问题3：二次函数 y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. 总结：二次函数的图象特点和函数性质. 二次函数 图象的形状 图象的特点 函数的性质 抛物线 (1) 开口向下，向x轴左右方向 无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 (2) 是轴对称图形，对称轴是y轴 对于x和-x可得到相同的函数值y (3) 在y轴左侧，自左向右上升， 在y轴右侧，自左向右下降 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小 (4) 顶点就是原点（0,0）， 顶点是图象的最高点， 图象向上无限延伸 当x=0时，函数取得最大值， y最大值=0，且y没有最小值， 函数y的取值范围是y≤0 26 探究新知 观察 分别比较函数y=x²与y=–x²，x2与 x2， y=2x²与y=–2x²的图象，指出它们之间相同与不同之处. y=-2x2 y=-x2 2 6 8 y 4 y=2x2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 27 探究新知 观察 分别比较函数y=x²与y=–x²，x2与 x2， y=2x²与y=–2x²的图象，指出它们之间相同与不同之处. 函数 y=x²，x2，y=2x² y=-x²，x2，y=-2x² 相同点 (1) 都是轴对称图形，且对称轴是y轴； (2) 顶点坐标都是(0,0) 不同点 开口向上 开口向下 在y轴左侧，y随x的增大而减小； 在y轴右侧，y随x的增大而增大 在y轴左侧，y随x的增大而增大； 在y轴右侧，y随x的增大而减小 x=0时，y最小值=0 x=0时，y最大值=0 28 新知探究 比较总结 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 |a|越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 知识要点 典例分析 例1：已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标， 关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？ 在二次函数y=－x2的图象上吗？ 典例分析 （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ 解：（1）当x=2时，y = x2=4， 所以A（2，4）在二次函数图象上； （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标， 关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）； 典例分析 （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？ 在二次函数y=－x2的图象上吗？ 当x=－2时，y=x2=4， 所以C点在二次函数y=x2的图象上； 当x=2时，y=－x2=－4， 所以B点在二次函数y=－x2的图象上； 当x=－2时，y=－x2=－4， 所以D点在二次函数y=－x2的图象上． 典例分析 例2：已知 是二次函数，且当 x＞0 时， y 随 x 增大而增大，则 k = . 分析： 是二次函数，即二次项的系数不为 0，x 的指数等于 2. 又因当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，即说明二次项的系数大于 0. 因此， 解得 k = 2. 2 新知巩固 教材第7页 1. 已知二次函数 y = x2. （1）判断点 A (2，4) 是否在该二次函数图象上； 解：当 x = 2 时，y = x2 = 4， 所以 A (2，4) 在该二次函数图象上. 新知巩固 教材第7页 1.点 A (-4，16) 是否在二次函数y = x2.图象上； 为什么?请分别写出点A关于x轴、y轴的对称点B，C的坐标， 点B，C在二次函数y=的图象上吗? 解：将点 A的横坐标 x = -4 代入函数解析式y = x2， y = （-4）2 = 16， 所以 A 在该二次函数图象上. 新知巩固 教材第7页 1.点 A (-4，16) 是否在二次函数y = x2.图象上； 为什么?请分别写出点A关于x轴、y轴的对称点B，C的坐标， 点B，C在二次函数y=的图象上吗? 关于 x轴的对称点 B。 规律：横坐标不变，纵坐标取相反数。 B(−4,−16) 关于 y轴的对称点 C。 规律：纵坐标不变，横坐标取相反数。 C(4,16) 新知巩固 教材第7页 1.点 A (-4，16) 是否在二次函数y = x2.图象上； 为什么?请分别写出点A关于x轴、y轴的对称点B，C的坐标， 点B，C在二次函数y=的图象上吗? 判断点 B(−4,−16)： 将 x=−4代入y = x2，得 y=（-4）2 = 16。 因为 16≠−16，所以点 B不在二次函数y = x2 的图象上。 判断点 C(4,16)： 将 x=4代入y = x2，得 y=（4）2 = 16。 因为 16=−16，所以点 C不在二次函数y = x2 的图象上。 新知巩固 教材第7页 2. 已知正方形的边长为a，面积为S ，请写出S与a之间的函数关系式，并画出图像。 解： 正方形的面积 = 边长 × 边长 S = a2 自变量取值范围： a>0（边长为正数） 新知巩固 教材第7页 2. 已知正方形的边长为a，面积为S ，请写出S与a之间的函数关系式，并画出图像。 a 0.5 1 1.5 2 2.5 3 S 0.25 1 2.25 4 6.25 9 新知巩固 教材第7页 3. 若点(a、b)是抛物线y = x2上任意一点，试说明其关于y轴的对称点也在抛物线y = x2上。 证明过程: 已知点(a,b)在抛物线 y = x2上， 将坐标代入解析式可得：b=a2 点(a,b)关于y轴的对称点坐标为(−a,b)。 将坐标代入解析式可得：b=(-a)2 所以 y = b ， 因此点(−a,b)在抛物线 y = x2 上。 拓展提升 已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 真题感知 1.(2024广东中山期中)对于二次函数y=-2x2,下列结论正确的是(　    ) A.y随x的增大而增大 B.图象关于直线x=0对称 C.图象开口向上 D.无论x取何值,y的值总是负数 B 解析　二次函数y=-2x2图象的开口向下,对称轴为直线x=0, 函数有最大值0,当x<0时,y随x的增大而增大.故选B. 真题感知 2.（2026・广东佛山中考・填空题） 若抛物线 y=(m−4)x2开口向下，则m的取值范围为________。 解析： 抛物线 y=ax2， 开口向下要求 a<0， m−4<0⟹ m<4 m<4 知识与技能 （1）会用列表、描点、连线三步法画出y=𝒂𝒙² 的抛物线图象， 掌握画图规范：使用平滑曲线连接各点，不能用线段连接。 （2）知识总结表： （2） 课堂小结 抛物线 y = ax2（a>0） y = ax2（a＜0） 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外） 向上 向下 当x = 0时，最小值为0. 当x = 0时，最大值为0. 当x<0时，y随着x的增大而减小. 当x>0时，y随着x的增大而增大. 当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小. 思想方法 课堂小结 （1）分类讨论思想：按照 a>0、a<0两种情况分类研究抛物线性质， 对比归纳异同。 （2）数形结合思想：借助抛物线图象直观分析函数增减性、最值、对称性， 建立解析式与图像之间的联系。 （3）从特殊到一般：y=𝒙²再推广总结一般形式 y=𝒂𝒙² 的图象与性质 易 错 提 醒 课堂小结 （1）混淆增减区间：a>0时，x>0，y 随x增大而增大；a<0时恰好相反， 增减性必须以对称轴x=0划分。 （2）最值判断出错：a>0有最小值0，无最大值；a<0有最大值0，无最小值， 容易写反最大值、最小值。 （3）概念误区：描点绘图时，相邻点必须用平滑曲线连接，不可用直线段； 课后练习 习题 21.2 教材p13页 1. 按要求完成下列各题. (1)在同一坐标系中画出函数 ; ; ; 的图象. (2)观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴. (3)说出各图象中的最高点或最高点坐标. (4)说明各函数图象在对称轴两侧部分， 函数y随x增大而变化的情况. 课后练习 习题 21.2 教材p13页 顶点坐标都是(0,0); 和 开口向上， 和 开口向下. 对称轴都是y轴; 和 开口向上， 所以都有最低点(0,0). 和 开口向上， 所以都有最高点(0,0). 课后练习 习题 21.2 教材p13页 和 ，在对称轴的左侧，函数y随x增大而减小; 在右侧，函数y随x增大而减小. 和 ， 在对称轴的左侧，函数y随x的增大而增大; 在右侧，函数y随x的增大而减小. 课后练习 习题 21.2 教材p13页 2.在同一平面直角坐标系中，下列各组中两条抛物线有怎样的位置关系? (1)y =-2 x2与y =2 x2 ; (2)y =3 x2与y =-3 x2; (3)y =ax2与y =-a x2 . (1)y =-2 x2与y =2 x2 关于 x 轴对称； (2)y =3 x2与y =-3 x2关于 x 轴对称 (3)y =ax2与y =-a x2 .关于 x 轴对称 课后练习 习题 21.2 教材p13页 3.二次函数 y =ax2的图象经过点(2，-2). (1)求这个函数的表达式; (2)x在什么范围内，y随x的增大而增大? (1) 求函数表达式 把点 (2,−2) 代入 y =ax2： （2）y =ax2， a>0，开口向上： x>0时递增； a<0，开口向下： x<0时递增。 谢谢聆听 $