专题01 平方根和立方根的综合题型（七大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以四大核心概念和两条底线原则为统领，通过7类题型模版系统构建平方根与立方根的解题方法体系，实现从概念理解到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心方法提炼|四大核心（双重属性等）+两条底线原则|概念本质梳理，抽象平方根与立方根的核心属性| |题型归纳|7题型（含例+变式）|题型特征+解题步骤（如夹逼法、非负性应用）|性质应用深化，从基础计算到规律探究的推理意识培养| |压轴挑战|综合压轴题|多知识点综合应用（如方程与几何结合）|思维能力拔高，体现应用意识与创新意识|

专题01 平方根和立方根的综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 题型二、算术平方根的非负性 题型三、算术平方根整数部分与小数部分求解 题型四、与平方根、立方根有关的规律探究题 题型五、利用平方根、立方根解方程 题型六、平方根与立方根综合计算题型 题型七、平方根与立方根的实际应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 平方根、立方根相关题型是实数章节核心考点，所有题型均围绕平方根双重属性、算术平方根非负特性、立方根唯一性、方根等价变形四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是算术平方根被开方数、结果双重非负，二是平方根结果互为相反数、立方根正负与被开方数保持一致 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 题型模版 1.特征：题干给出整数、小数、分数或带括号式子，要求分别写出它的平方根、算术平方根、立方根，常区分三者符号与结果数量。 2.方法：先化简被开方数，正数平方根有两个且互为相反数，算术平方根只取非负的那个；任意实数仅有一个立方根，符号和被开方数相同，结果书写完成后核对符号、个数。 【例1】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2． (1)求、的值； (2)求的立方根． 【例2】已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【变式1-1】已知和是正数的两个不相等的平方根，，求的算术平方根． 【变式1-2】已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【变式1-3】已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 题型二、算术平方根的非负性 题型模版 1.特征：题干出现两个及以上根号相加等于0，或根号搭配绝对值、平方数相加为0，求解字母取值，再代入代数式求值。 2.方法：依据算术平方根双重非负性，绝对值、平方数同样恒大于等于0；多个非负数相加为0，则每一项单独等于0，列方程组求出未知数，回代验证被开方数≥0。 【例3】若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【例4】已知实数满足，则的值为_____． 【变式2-1】如果，那么___________，___________． 【变式2-2】已知实数a，b满足，则________． 【变式2-3】已知实数和满足，则的值为__________． 题型三、算术平方根整数部分与小数部分求解 题型模版 1.特征：给出带根号无理数，要求拆分整数部分、小数部分，再计算含两部分的代数式数值。 2.方法：用夹逼法锁定根号数相邻两个完全平方数，确定整数部分；用原无理数减去整数部分得到纯小数部分，代入式子化简计算，注意小数部分恒为正数。 【例5】若，为整数，且满足，，则________． 【例6】已知的算术平方根是4，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【变式3-1】观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 【变式3-2】已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)求a，b，m的值； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【变式3-3】已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的值． (2)若的小数部分是x，的整数部分是y，求的算术平方根． 题型四、与平方根、立方根有关的规律探究题 题型模版 1.特征：给出一组含平方根、立方根的等式或数字序列，寻找变化规律，推导第n个式子、填空求值。 2.方法：分开观察被开方数、根的结果的数字变化，区分平方根、立方根各自变化逻辑，用含n代数式总结通用规律，代入序号验证规律是否成立。 【例7】已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【例8】在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【变式4-1】小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【变式4-2】先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【变式4-3】阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 题型五、利用平方根、立方根解方程 题型模版 1.特征：方程含平方项、立方项，整体被根号包裹或可整理成、标准形式，求解未知数x。 2.方法：移项化简，把含未知数的平方/立方整体单独放一侧；平方方程开方取正负两解，立方方程开方仅有一解，最终把解代入原式检验被开方数不为负数。 【例9】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【例10】求的值： (1)； (2)． 【变式5-1】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式5-2】求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式5-3】已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 题型六、平方根与立方根综合计算题型 题型模版 1.特征：同一道计算题同时混合平方根、算术平方根、立方根，搭配加减乘除、括号、绝对值混合运算。 2.方法：遵循运算顺序，先开方、去绝对值，再算乘除最后算加减；平方根只取算术根参与计算，立方根保留原有符号，每一步化简完成后再合并同类实数，核对符号与计算数值。 【例11】如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【例12】已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 【变式6-1】已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【变式6-2】若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【变式6-3】请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 题型七、平方根与立方根的实际应用 【例13】亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（    ）米 x 25.79 25.80 25.81 25.82 25.83 x² 665.1241 665.6400 666.1561 666.6724 667.1889 A． B． C． D． 【例14】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【变式7-1】已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【变式7-2】物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为． (1)物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？ (2)比较物体在哪里自由下落得更快？ 【变式7-3】“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长． (2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明． (3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 2．若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 3．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 4．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 二、填空题 5．已知：，则的四次方根是___________． 6．已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 7．若，则的值为__________． 8．若，，，则______（用、、来表示）． 9．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 10．已知正整数n满足等式． （1）若，则m的整数部分为______． （2）若m为自然数，则n的值为______． 11．当时，的值是__________________． 三、解答题 12．已知正数m的两个平方根分别是a和b． (1)求的值； (2)若，且，求m． 13．学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 14．在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的小长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，求每块大长方形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根和立方根的综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 题型二、算术平方根的非负性 题型三、算术平方根整数部分与小数部分求解 题型四、与平方根、立方根有关的规律探究题 题型五、利用平方根、立方根解方程 题型六、平方根与立方根综合计算题型 题型七、平方根与立方根的实际应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 平方根、立方根相关题型是实数章节核心考点，所有题型均围绕平方根双重属性、算术平方根非负特性、立方根唯一性、方根等价变形四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是算术平方根被开方数、结果双重非负，二是平方根结果互为相反数、立方根正负与被开方数保持一致 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 题型模版 1.特征：题干给出整数、小数、分数或带括号式子，要求分别写出它的平方根、算术平方根、立方根，常区分三者符号与结果数量。 2.方法：先化简被开方数，正数平方根有两个且互为相反数，算术平方根只取非负的那个；任意实数仅有一个立方根，符号和被开方数相同，结果书写完成后核对符号、个数。 【例1】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2． (1)求、的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，即， ∵的算术平方根是2， ∴， 联立可得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （2）解：∵，， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为． 【例2】已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【答案】 【详解】解：根据题意，，， 解得， ∴， ∴的平方根是． 【变式1-1】已知和是正数的两个不相等的平方根，，求的算术平方根． 【答案】8 【详解】解：由已知，得，解得， ． ， ， ， ， 即的算术平方根为8． 【变式1-2】已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是2， ， ， ， 的算术平方根为． 【变式1-3】已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由知，， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 题型二、算术平方根的非负性 题型模版 1.特征：题干出现两个及以上根号相加等于0，或根号搭配绝对值、平方数相加为0，求解字母取值，再代入代数式求值。 2.方法：依据算术平方根双重非负性，绝对值、平方数同样恒大于等于0；多个非负数相加为0，则每一项单独等于0，列方程组求出未知数，回代验证被开方数≥0。 【例3】若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ， 解得， ， ∴ ， ∴ 的平方根为. 【例4】已知实数满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：根据二次根式的定义可得， 解不等式组得． 将代入，得． 则． 【变式2-1】如果，那么___________，___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 【变式2-2】已知实数a，b满足，则________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴． 【变式2-3】已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 题型三、算术平方根整数部分与小数部分求解 题型模版 1.特征：给出带根号无理数，要求拆分整数部分、小数部分，再计算含两部分的代数式数值。 2.方法：用夹逼法锁定根号数相邻两个完全平方数，确定整数部分；用原无理数减去整数部分得到纯小数部分，代入式子化简计算，注意小数部分恒为正数。 【例5】若，为整数，且满足，，则________． 【答案】 【详解】解：， ． 又为整数，且满足， ， 把代入得， ． 当时， ，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， ． 【例6】已知的算术平方根是4，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是4， ， 解得， 的立方根是3， ， 将代入得， 解得， ， ， ， 将代入，得， 的平方根为． 【变式3-1】观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 【答案】 【详解】解：由表格可得，，， 的整数部分为 的立方根为，即的立方根为． 【变式3-2】已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)求a，b，m的值； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是3， ∴． 解得：， ． ∵m是的算术平方根， ． （2）解：∵， ∵，m的整数部分是x，小数部分是y， ∴，， ∴． 【变式3-3】已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的值． (2)若的小数部分是x，的整数部分是y，求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)6 【分析】 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴ 解得， ∵的立方根是2， ∴ 解得， ∴； （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根是6． 题型四、与平方根、立方根有关的规律探究题 题型模版 1.特征：给出一组含平方根、立方根的等式或数字序列，寻找变化规律，推导第n个式子、填空求值。 2.方法：分开观察被开方数、根的结果的数字变化，区分平方根、立方根各自变化逻辑，用含n代数式总结通用规律，代入序号验证规律是否成立。 【例7】已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例8】在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式4-1】小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 【变式4-2】先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解： ． 【变式4-3】阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 题型五、利用平方根、立方根解方程 题型模版 1.特征：方程含平方项、立方项，整体被根号包裹或可整理成、标准形式，求解未知数x。 2.方法：移项化简，把含未知数的平方/立方整体单独放一侧；平方方程开方取正负两解，立方方程开方仅有一解，最终把解代入原式检验被开方数不为负数。 【例9】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 【例10】求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 【变式5-1】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得或． 【变式5-2】求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：， ， ， 或， ∴或； （2）解：， ， ， ∴． 【变式5-3】已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 题型六、平方根与立方根综合计算题型 题型模版 1.特征：同一道计算题同时混合平方根、算术平方根、立方根，搭配加减乘除、括号、绝对值混合运算。 2.方法：遵循运算顺序，先开方、去绝对值，再算乘除最后算加减；平方根只取算术根参与计算，立方根保留原有符号，每一步化简完成后再合并同类实数，核对符号与计算数值。 【例11】如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 【例12】已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）∵的立方根为3，的算术平方根为4， ∴，解得， （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵a和b是连续的整数，且， ∴，， ∴． 【变式6-1】已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【分析】 【详解】解： 由题意得 ， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根为：． 【变式6-2】若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【答案】(1)，或（答案不唯一） (2)，（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 当时，则， ，则， 则符合题意， 故，或（答案不唯一） （2）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 故，（答案不唯一） 【变式6-3】请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 题型七、平方根与立方根的实际应用 【例13】亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（    ）米 x 25.79 25.80 25.81 25.82 25.83 x² 665.1241 665.6400 666.1561 666.6724 667.1889 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：面积为1亩的正方形面积约为平方米， 设正方形边长为，则正方形面积为， 由表格可知：当时，， 当时，， ∵， ∴， 即边长范围是． 【例14】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【答案】小志能裁剪出他需要的圆形布料 【详解】解：设圆形布料的半径为，直径为， 则， ， ， ，， 小志能裁剪出他需要的圆形布料． 【变式7-1】已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 【变式7-2】物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为． (1)物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？ (2)比较物体在哪里自由下落得更快？ 【答案】(1) (2)物体在地球上自由下落得更快 【分析】 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 解得（负值已舍去）． （2）解：设下降的距离都为，（）， 在中，， ， 解得（负值已舍去）． 在中，， ， 解得（负值已舍去）． ， 物体在地球上自由下落得更快． 【变式7-3】“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长． (2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明． (3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2) 解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； (3) 【分析】 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）略 （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 2．若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵，即， ∴，， 解得，， a，b恰好是等腰的两条边长，故分两种情况讨论： ①当腰长为3时，三边长为3，3，4， ∵， ∴三角形存在，周长为， ②当腰长为4时，三边长为4，4，3， ∵， ∴三角形存在，周长为， 综上，的周长为或． 3．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分割图形如下： ∵正方形的面积为， 故这个正方形的边长是：． 4．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是． 二、填空题 5．已知：，则的四次方根是___________． 【答案】 【详解】解：先对原式变形，对配方得， ∴原等式可化为， ∵任意实数的绝对值是非负数，二次根式的值是非负数，平方数是非负数， ∴，，， ∵三个非负数的和为， ∴每个非负数都为，即，，， 解得，，， 将，，代入得， ∴， ∴的四次方根是． 6．已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 【答案】当为偶数时，为；当为奇数时，为 【详解】解：是的立方根， ， 是的相反数， ， 两边立方得：， 又，， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， ， 求的（）次方根：当为偶数时，正数的偶次方根有两个，互为相反数，结果为；当为奇数时，正数的奇次方根只有一个正根，结果为． 7．若，则的值为__________． 【答案】1 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 8．若，，，则______（用、、来表示）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 9．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 10．已知正整数n满足等式． （1）若，则m的整数部分为______． （2）若m为自然数，则n的值为______． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1）若，则， ∵， ∴， ∴， ∴若，则m的整数部分为． （2）∵为自然数， ∴为自然数， ∴为完全平方数， 又∵，， ∴，，， ∴， ∵正整数n， ∴当时，，不是自然数，舍去； 当时，，，此时，不为正整数，舍去； 当时，，此时； 当时，，此时，不为自然数，舍去； 综上，若m为自然数，则n的值为． 11．当时，的值是__________________． 【答案】或或 【详解】解：设 ，则原方程化为 . 两边立方得 ，即 ， 因式分解得 ， 解得 或 或 . 当 时，，则 ; 当 时，，则 ; 当 时，，则 . 验证均满足原方程，故 的值为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了换元法解方程和立方根的性质，解题关键是通过换元将复杂方程转化为简单的一元三次方程，注意不要漏解． 三、解答题 12．已知正数m的两个平方根分别是a和b． (1)求的值； (2)若，且，求m． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：正数m的两个平方根分别是a和b， ， ． （2）解：由（1）得， 把代入，得， 解得，两边平方得，故， 又，而，得，解得， ． 13．学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】 【详解】（1）解：①； ②第1个式子为：， 第2个式子为：， 第3个式子为：， 第4个式子为：， … ∴第个式子是； （2）解： ． 14．在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的小长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，求每块大长方形的面积． 【答案】4 【详解】解：设大长方形纸片的长为a，宽为b（）， ∵小正方形（阴影部分）的面积是9， ∴，即， ∵大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为b， ∴，即， ∴，解得， ∴小长方形的面积是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $