第5课《13.3三角形的外角》课件2026-2027学年人教版数学八年级上册 -

该初中数学课件聚焦“三角形的外角”，涵盖外角概念、性质（等于不相邻两内角和）及外角和360°等核心知识点。通过灰太狼拦截懒羊羊的情境问题，利用已学的三角形内角和求角度，自然引出外角概念，搭建从内角到外角的知识支架。 其亮点在于情境化导入激发学习兴趣，探究过程采用内角和推导、平行线证明等多方法培养推理意识，课堂小结以“定义 - 性质 - 定理 - 思想方法”结构化梳理知识，体现数学思维与数学语言的核心素养。例题一题多解和分层练习助力学生掌握，教师可直接用于教学提升效率。

第十三章 三角形 13.3 三角形的角 第2课时 三角形的外角 学习目标： 1.理解并掌握三角形的外角的概念； 重点 2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的外角和； 3.会利用三角形的外角性质解决问题；4.通过探索三角形的外角的性质及其应用，培养主动探索、勇于发现及合作交流的习惯. 愿你保持对知识的渴望，在探索中不断前行 B D C A O ● 40 ° 70 ° 问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ 情境导入 ● ● ● ？ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 所以∠BCD=180°－∠BCA=110° B D C A O ● 40 ° 70 ° ● ● ● ？ 由三角形内角和易得 ∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70° 思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 探究新知1 三角形的外角的概念 定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 C B A D 探究新知1 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？ ∠DCE是不是△ABC的一个外角？ 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； ∠BCE是△ABC的一个外角， ∠DCE不是△ABC的一个外角. C B A D E 探究新知1 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？ ∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. A B C D E F 同步练习1 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? A B C △ABC共有6个外角。每一个顶点相对应的外角有2个，且这两个角为对顶角。 探究新知1 A C B D 三角形的外角的性质 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 三角形的外角 不相邻的内角 相邻的内角 探究新知2 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B) 有什么关系？ A C B D ∵∠A+∠B+∠ACB=180° ∠BCD+∠ACB=180° ∴∠A+∠B=∠BCD 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 探究新知2 三角形内角和定理的推论 D 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∴∠ACD=∠A+∠B A B C 探究新知2 证明：过C作CE平行于AB， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠A （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. A C B D E 1 2 探究新知2 三角形的外角和 例3 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它 们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和，得 ∠BAE=∠2+∠3 ∠CBF=∠1+∠3 ∠ACD=∠1+∠2 又∵∠1+∠2+∠3=180 ° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD =2(∠1+∠2+∠3)=360 ° 探索新知3 A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法二 如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ∠CBF +∠2=180 ° ② ∠ACD +∠3=180 ° ③ 又知∠1+∠2+∠3=180 ° ①+②+③得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540 ° 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 °-180°=360° 探索新知3 4 过A作AM∥BC， ∴∠3＝∠4 B C 1 2 3 A ∵∠2＝∠BAM ∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360° M ∴∠2＋∠3＝∠4＋∠BAM， D E F 解法三 结论：三角形的外角和等于360°. 探索新知3 例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角 ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 例题分析 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°， 求∠BDC的度数. A B C D ( 51 ° ( 20 ° ( 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. E 解法一 连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3 1 2 3 4 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4 ∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2 ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51°+20°+30°=101° 例题分析 例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°， ∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． A B C P E 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角 ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE ∠PEC＝∠ABE＋∠A ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120° ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100° 例题分析 A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 解法二 延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51°+20°+30°=101° 解法三 例题分析 如图，试比较∠2 、∠1的大小； 如图，试比较∠3 、∠2、∠1的大小. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. 图 B A C D 1 2 图 A B C D E 1 2 3 解：∵∠2=∠1+∠B ∴∠2＞∠1 解：∵∠2=∠1+∠B ∠3=∠2+∠D ∴∠3＞∠2＞∠1 拓展研究 01 一个定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。它是连接内角与外部角度关系的桥梁。 02 两个性质 ① 外角等于与它不相邻的两个内角之和； ② 外角大于任何一个与它不相邻的内角。这是解决角度计算的关键依据。 03 一个定理 三角形的外角和等于 360°。这揭示了平面几何中多边形外角和的恒定规律，不受边数影响。 数学思想方法应用 转化思想 将未知的角度问题，巧妙转化为已知的内角和或外角性质模型，化繁为简。 数形结合 通过图形直观分析角的位置与数量关系，让抽象的角度计算变得直观易懂。 分类讨论 面对角度关系不明确的情况时，需全面考虑不同可能性，确保答案无遗漏。 课堂小结 1.7.2013 好了，我们来总结一下今天所学的内容。我们学习了一个定义，两个性质和一个定理。一个定义是外角的定义，两个性质是外角等于不相邻两内角和，以及外角大于任何一个不相邻内角，一个定理是外角和等于360度。同时，我们还运用了转化、数形结合和分类讨论等重要的数学思想方法。 ‹#› 1.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角度数为（ ） A.90° B.110° C.100° D.120° 2.判断下列观点是否正确. （1）三角形的外角都是钝角. （ ） （2）三角形的外角大于任何一个内角. （ ） （3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ） （4）三角形的外角和等于360°. （ ） × × × √ C 分层练习 3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=44°,∠1=57°,则∠2=　 . 4.在“三角尺拼角”试验中,小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置,则∠1=　 . 101° 120° 分层练习 第3题图 第4题图 解：∵∠1是△FBE的外角 ∴∠1=∠B+ ∠E ∴∠2=∠A+∠D 在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º. 5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. A B C D E 1 2 F G ∵∠2是△GAD的外角 分层练习 B A C P N M D E F 6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________. 360° 1 2 3 分层练习 $