2.2.3两条直线的位置关系（第2课时）（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线垂直的条件及应用，通过“温故知新”回顾相交、平行等位置关系，以问题情境引入垂直这一特殊情形，搭建从已有知识到新知的学习支架。 其亮点在于从倾斜角、法向量多维度推导垂直条件，结合典例（如垂直求参、对称问题）培养数学思维，通过“牛刀小试”“举一反三”巩固应用。助力学生提升数学眼光与表达能力，教师可高效开展系统教学。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第二章 平面解析几何 2.2.3两条直线的位置关系（2） 2.2直线及方程 学 习 目 标 1 2 3 能根据斜率判定两条直线垂直. 理解并掌握两条直线垂的条件. 能利用两条直线垂直进行实际应用. 从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的 件. 教学重点: 两条直线垂直的条件. 教学难点: 利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题. 温故知新 知识讲解 互动探究 新课引入 直线，，则 与相交 与平行 且 与重合 且 在斜截式条件下： 在一般式条件下： 若直线，则 与相交 与平行 与重合 3 问题情境 知识讲解 互动探究 新课引入 平面内的两条相交直线，如果相交所得的角是四个直角，则它们互相垂直. 因此，两条直线垂直是两条直线相交的一种特殊情形， 两直线垂直，则它们的斜率有何关系？依此你能解决哪些问题呢？ 在平面直角坐标系中，如何判断两条直线垂直？能否利用直线的斜率关系来确定两直线垂直的条件？ 4 目标一：用斜率关系表达垂直 斜率与垂直 知识讲解 互动探究 新课引入 如果设 与 的倾斜角分别为 与 ，斜率分别为 与 ，则由下图可以看出， 与 垂直的充要条件是 ，从而 即 ，故 . 又因为 ，所以可知 与 垂直. 6 归纳 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地, 若已知平面直角坐标系中的直线 , 注意的几点 (=-1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②≠0 ≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线垂直. (3)判定两条直线垂直的一般结论：⇔=-1 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零. 7 概念辨析 判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于-1.() (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直. () (3)两条直线的斜率分别为 ，若 ≠-1，则两条直线一定不垂直. () 典例分析 牛刀小试 若两条直线垂直, 则它们的斜率的乘积一定等于-1。（×） 解析: 一条直线斜率为0, 另一条直线斜率不存在时, 两直线也垂直, 此时没有斜率乘积。 若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合, 则这两条直线都与x轴垂直。（√） 解析: 斜率不存在的直线就是垂直于x轴的直线x=a。 两条直线的斜率分别为，若≠-1，则两条直线一定不垂直。（√） 解析: 两条斜率都存在的直线垂直等价于=-1；已知两个斜率都存在, 乘积不等于-1, 就一定不垂直。 答案: (1)×; (2)√; (3)√ 判断是否垂直 判断下列各组直线是否垂直: 典例分析 牛刀小试 。 。 = 5, = 5, = 25， 不垂直。 判断是否垂直 判断下列各对直线是否垂直: 典例分析 牛刀小试 解: (1) 将 的方程化为斜截式为 . 因此 的斜率为 , 又因为 的斜率为 2 , 而且 , 从而可知 与 不垂直. 显然, 的倾斜角为 , 的倾斜角为 , 从而可知 与 垂直. 目标二：用系数表达垂直 向量推导 知识讲解 互动探究 新课引入 前面的讨论中没有包括斜率不存在的直线．为此，可以考虑直线的一般式方程． 设直线 ，．因为 是直线 的一个法向量， 是直线 的一个法向量，如图所示， 与 垂直的充要条件是 与 垂直，即 ，因此 . 即 . 由此也可以看出, 在平面直角坐标系中, 直线 与直线 一定是垂直的, 因为 . 12 用系数判断垂直 判断下面两组直线是否垂直 (1) (2) 典例分析 牛刀小试 解: (1) 满足条件，。 （2） 不满足，两直线不垂直。 归纳总结 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)判断两直线是否垂直的依据:在这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于即可,但应注意有一条直线与轴垂直,另一条直线与轴平行时,两直线也垂直. (2)直接使用判断两条直线是否垂直更有优势. 14 目标三：垂直求参 求参 法一 例1 当 为何值时，直线 与直线 互相垂直？ 典例分析 牛刀小试 [解] 解法一：由题意，直线 . ①若 ，即 时，直线 与直线 显然垂直；②若 ，即 时，直线 与直线 不垂直； ③若 且 ，则直线 的斜率 存在， ，. 求参 例1 法二 当 为何值时，直线 与直线 互相垂直？ 典例分析 牛刀小试 解法二：，，解得 ， 时，. 求参 例2 已知直线 与直线 垂直且垂足为，则 的值为( ) A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 由已知, 得 ，， 的方程为 ，，， 垂足为，，，.故选 B. 目标四：利用垂直求直线方程 垂直求直线方程 例4 求经过两条直线和的交点且与直线垂直的直线的方程. 典例分析 牛刀小试 [解] 解法一: 联立的方程 得交点，设过点与垂直的直线方程为，代入点坐标得，所以. 所以直线的方程为. 垂直求直线方程 例4 求经过两条直线和的交点且与直线垂直的直线的方程. 典例分析 牛刀小试 解法二: 由解法一知, 与 交点 , 直线 与 垂直, , 直线 的方程为 , 即 . 垂直求直线方程 例4 求经过两条直线和的交点且与直线垂直的直线的方程. 典例分析 牛刀小试 解法三: 设过 交点的直线方程为 , 即 , ① 与 垂直, , , 代入①式得 , 即直线 的方程为 . 垂直求直线方程 例5 求过点 与直线 垂直的直线 的方程． 典例分析 牛刀小试 解 解法一：由直线 得直线的斜率为 ，故所求直线的斜率 ,由直线的点斜式方程得直线 的方程为 ，即 . . 垂直求直线方程 例5 求过点 与直线 垂直的直线 的方程． 典例分析 牛刀小试 解法二：因为直线 与直线 垂直，可设直线 的方程为 ，又因为直线 过点 ，所以 ，所以 . 所以直线 的方程为 . . 归纳 (1)与直线垂直的直线方程可设为为参数). (2)与直线平行的直线方程可设为; 与它垂直的直线方程可设为. 目标五：垂直与对称 有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称 ①点 关于 的对称点 满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ①设点 关于直线 的对称点为 , 则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 垂直与对称 例6 (1)点关于线对称 点 关于直线 的对称点 的坐标是( ) B. C. D. 典例分析 牛刀小试 [解析] (1)设对称点的坐标为, 解得 即. 垂直与对称 例7 (2)线关于点对称 与直线 关于点对称的直线方程是( ) A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试   (2)由平面几何知识易知所求直线与已知直线 平行，则可 设所求直线方程为 . 在直线 上任取一点， 关于点的对称点为， 则点必在所求直线上， . 所求直线方程为 . 垂直与对称 例8 (3)点关于点对称 过点 作直线 ，使它被直线 和 截得的线段被点 平分，求直线 的方程. 典例分析 牛刀小试 (3)设 与 的交点为 , 则由题意知, 点 关于点 的对称点 在 上, 代入 的方程得 , 解得 , 即点 在直线 上, 由两点式得直线 的方程为 . 垂直与对称 例9 (1)点关于线对称 点 关于直线 的对称点 的坐标是( ) B. C. D. 典例分析 牛刀小试 (4)在直线 上取一点, 如 , 则 关于直线 的对称点 必在直线 上. 设对称点 的坐标为，则 设直线 与直线 的交点为 , 则由 又 经过点 , 由两点式得直线 的方程为 目标六：针对训练 举一反三 1.直线，，若，则实数的值为( ) A.0 B.1 C.0或1 D.或1 答案：C 解析：因为，，且，所以，解得或，将，代入方程，均满足题意，所以当或时，. 举一反三 2.过直线和的交点, 且与垂直的直线方程是( ) A. B. C. D. 解析: 由得因此两直线的交点为.因为直线的斜率为, 所以要求直线的斜率为, 所以直线方程为, 即.  举一反三 3.若原点在直线上的射影是，则直线的方程为( ) A. B. C. D. 答案: C 解析: 由题意得, 直线的斜率为，且，所以直线的斜率为2.因为直线经过点，所以直线的点斜式方程为，化简得. 举一反三 1.下列几何体中，属于棱柱的是（ ） A. 金字塔 B. 圆台 C. 长方体 D. 圆锥 解析：A是棱锥，B是圆台（旋转体，不是多面体），C是四棱柱，D是旋转体（圆锥），故选C。 目标七：小结 学海拾贝 斜率判定（两直线斜率均存在） 。 特殊垂直（一条水平、一条竖直） 一条直线斜率为（水平），另一条斜率不存在（竖直），两直线垂直，不能用。 一般式系数通用判定（无前提限制） ， ，该公式兼容斜率不存在的情况。 主要知识 学海拾贝 易错提示 ① 成立的前提是两条直线斜率都存在，不能直接套用在竖直线、水平线上； ② 判断垂直优先观察是否存在斜率不存在的直线；含参问题优先用系数公式计算，避免漏解。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $