第三章 函数的概念与性质 单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学第三章函数的概念与性质单元检测卷，全面覆盖函数奇偶性、单调性、定义域、幂函数等核心知识点，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，适配单元复习，助力学生深化数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|函数奇偶性（1题）、幂函数单调性（3题）、定义域（5题）|结合图像辨析幂函数性质（4题），考查数学几何直观| |多选题|3题|函数奇偶性判断（9题）、函数概念（11题）|通过命题辨析深化对函数定义的理解，培养推理意识| |填空题|3题|单调区间（12题）、奇函数应用（14题）|聚焦性质应用，如利用奇函数求参数范围（14题）| |解答题|5题|函数解析式求法（16题）、实际应用（15题）、单调性证明（18题）|设计车流问题（15题）体现模型意识，含参数函数最值（19题）考查运算能力|

第三章 函数的概念与性质 单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 一、单选题 1．下列函数中既是偶函数，又在内单调递增的为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是奇函数，当时，，则 A． B． C． D． 3．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则（    ） A．0 B．-1 C．2 D．2或-1 4．若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数满足，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中，正确的是（    ） A．幂函数是奇函数 B．幂函数是偶函数 C．幂函数既是奇函数又是偶函数 D．幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 10．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ） A． B．若在上有最小值，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．若时，，则时， 11．有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．若，则 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12．函数的单调递增区间为________． 13．函数的定义域为_____________ 14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是_________________. 四、解答题 15．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：km/h）是车流密度（单位：辆/km）的函数，当桥上的车流密度达到180辆/km时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过30辆/km时，车流速度为50km/h，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数. （1）当时，求函数的表达式； （2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h）可以达到最大，并求出最大值． 16．求下列函数的解析式 （1）已知f(x)=x2+3x+2，求f(x+1)； （2）已知f(x2+1)=3x4+2x2﹣1，求f(x)； （3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17，求f(x). 17．已知函数.完成下面两个问题： (1)画出函数的图象，并写出其单调增区间： (2)求函数在区间上的最大值. 18． 设函数 (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)求在区间上的值域. 19．已知函数，为实数. （1）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）若对任意，都有成立，求实数的值； （3）若，求函数的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 一、单选题 1．下列函数中既是偶函数，又在内单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的基本性质对各选项中函数的奇偶性及其在上的单调性进行判断，可得出结论. 【详解】对于A选项，函数为偶函数，且在上单调递减； 对于B选项，函数为偶函数，且在上单调递增； 对于C选项，函数为奇函数，且在上单调递减； 对于D选项，函数为奇函数，且在上单调递增. 故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，熟悉幂函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 2．已知函数是奇函数，当时，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求，再利用奇函数的性质，求值. 【详解】 是奇函数，满足， 即. 故选：D 【点睛】本题考查利用奇偶性求函数值，重点考查函数性质的应用，属于简单题型. 3．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则（    ） A．0 B．-1 C．2 D．2或-1 【答案】B 【解析】由函数是幂函数，结合函数在上单调递减，求出． 【详解】由函数是幂函数，则，解得或. 又函数在上单调递减，则，即. 故选：B. 4．若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数在第一象限内，的右侧部分的图象的特点，确定出的大小关系． 【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得 故选：B 【点睛】本题考查幂函数的图象和性质，考查学生数形结合的能力，属于基础题． 5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得出，解出可得出函数的定义域. 【详解】由题意得，解得，因此，函数的定义域为，故选B. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题时要注意几种常见的求定义域的原则，具体如下： （1）分式中分母不为零； （2）偶次根式中被开方数大于或等于零； （3）对数真数大于零，底数大于零且不等于； （4）零次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切：，，； （6）已知函数的定义域为，求函数的定义域，只需； （7）已知函数的定义域，求函数的定义域，只需，即的值域. 6．下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 7．已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数满足，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，从而得到，而，从而得到答案. 【详解】函数是定义在上的奇函数，且， 所以， 所以的周期为， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性以及周期性，根据函数的性质求函数的值，属于中档题. 8．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数是上的减函数，列出不等式，解出实数的取值范围． 【详解】因为是上的减函数，故，故， 故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题． 二、多选题 9．下列命题中，正确的是（    ） A．幂函数是奇函数 B．幂函数是偶函数 C．幂函数既是奇函数又是偶函数 D．幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】由的定义域为，且， 即为奇函数，所以A正确； 由的定义域为，且，即为偶函数，所以B正确； 令的定义域为，且，不是偶函数，所以C不正确； 由的定义域为，显然定义域不关于原点对称，即为非奇非偶函数， 所以D正确. 故选：ABD. 10．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ） A． B．若在上有最小值，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．若时，，则时， 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定． 【详解】由得，故正确； 当时，，且存在使得， 则时，，，且当有, ∴在上有最大值为1，故正确； 若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误； 若时，，则时，，，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键． 11．有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据同一函数的判定方法，可判定AC；根据函数的概念，可判定B；根据函数的解析式，求得，进而求得的值，可判定D. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个； 若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点，故B正确； 对于C，函数与的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C正确； 对于D，由，可得，所以，故D错误； 故选：BC 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12．函数的单调递增区间为________． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间. 【详解】令，解得或， 函数的定义域为. 内层函数的减区间为，增区间为. 外层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的单调递增区间为. 故答案为. 【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 13．函数的定义域为_____________ 【答案】 【分析】根据根式与分式有意义列不等式组求解即可. 【详解】函数要有意义则：， 所以函数的定义域为. 14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是_________________. 【答案】 【分析】函数是定义在上的奇函数，且当时，，可得出函数在上是增函数，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可． 【详解】当时，； 设，则，则. 又函数是定义在上的奇函数，则当时，. 且，满足，所以，. 作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，函数在上为增函数， ，，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题关键是根据函数的奇偶性与单调性得出函数在上的单调性，利用单调性将不等式转化为，结合函数单调性求解，本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型． 四、解答题 15．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：km/h）是车流密度（单位：辆/km）的函数，当桥上的车流密度达到180辆/km时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过30辆/km时，车流速度为50km/h，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数. （1）当时，求函数的表达式； （2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h）可以达到最大，并求出最大值． 【答案】（1）； （2）当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值2700辆/小时. 【分析】（1）由题意可知函数是一个分段函数，当时，用待定系数法可以求出解析式，最后求出当时，求函数的表达式； （2）由题意可以求出函数的解析式，分别求出每段函数的最大值，最后求出整个函数的最大值. 【详解】（1）由题意：当时，；当时，设 再由已知得，解得， 故函数的表达式为； （2）依题意并由（1）可得 当时，为增函数，故当时，其最大值为50×30=1500； 当时， 所以，当时，在区间[20,200]上取得最大值2700； 综上，当时，在区间[0,200]上取得最大值, 即当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值2700辆/小时. 【点睛】本题考查了用分段函数解决实际问题的能力，考查了分段函数的最值. 16．求下列函数的解析式 （1）已知f(x)=x2+3x+2，求f(x+1)； （2）已知f(x2+1)=3x4+2x2﹣1，求f(x)； （3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17，求f(x). 【答案】（1）f(x+1)=x2+5x+6；（2）f(x)=3x2﹣4x；（3）f(x)=2 x+7. 【解析】（1）以x+1代替x化简计算，可得f(x+1)； （2）令x2+1=t，则x2=t﹣1，代入解析式求出f(t)，进而可得f(x)； （3）设f(x)=kx+b，代入已知等式化简计算，利用待定系数法求出的值，进而得出f(x)． 【详解】（1）f(x+1)=(x+1)2+3(x+1)+2=x2+5x+6； 即f(x+1)=x2+5x+6； （2）令x2+1=t，则x2=t﹣1； ∴f(t)=3(t﹣1)2+2(t﹣1)﹣1=3t2﹣4t； ∴f(x)=3x2﹣4x； （3）设f(x)=kx+b； ∴f(x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b，f(x﹣1)=k(x﹣1)+ b=kx﹣k+b； ∴代入3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17得：3(kx+k+b)﹣2(kx﹣k+b)=2 x+17； 整理得，kx+5k+b=2x+17； ； ∴k=2，b=7； ∴f(x)=2x+7. 17．已知函数.完成下面两个问题： (1)画出函数的图象，并写出其单调增区间： (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1) ，图象如下： 单调增区间为和. (2). 【分析】（1）利用绝对值的性质将原函数写成分段函数的形式，利用二次函数的图象和性质画出图象，根据图象即可得到函数的单调增区间； （2）由（1）中的图象，判定在区间的函数的单调增减区间，进而计算比较，得到最大值. 【详解】（1）略 （2）由（1）中的图象可知，函数在上单调增，在上单调减，在上单调增，， 故在区间上的最大值为. 18． 设函数 (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)函数在上的单调递减,证明见解析； (2) 【分析】（1）利用单调性的定义即可； （2）根据函数的单调性求出值域. 【详解】（1）函数在上的单调递减，证明如下： ，且，则 ， 因为， 所以，，， 所以， 所以， 所以， 所以函数在上的单调递减. （2）由（1）知函数在上的单调递减， 所以 所以在区间上的值域为. 19．已知函数，为实数. （1）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）若对任意，都有成立，求实数的值； （3）若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2)-4.(3) 见解析. 【分析】（1）函数在区间上是单调函数，故分单调增与单调减两种情况进行讨论求解的取值范围； （2）对任意，都有成立，可以得到二次函数的对称轴，从而解得结果； （3）要求函数的最小值，首先要求出在上单调性，根据题意分情况讨论求解函数的单调性及最值. 【详解】解：（1）函数在区间上是单调函数， 函数的对称轴为， 所以对称轴或 ，所以或. （2）因为函数对任意，都有成立， 所以的图像关于直线对称， 所以， 得． （3）若即时， 函数在单调递增， 故.   若即时， 函数在单调递减， 故.   若即时， 函数在单调递减， 函数在单调递增， 故. 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，根据对称轴与定义域的关系进行分情况讨论是解题的关键，本题还考查了分类讨论、数形结合的思想方法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $