第三章 函数的概念与性质 单元测试 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 单元测试 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列图象中，表示函数关系的有（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．设则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 7．若函数为幂函数，且在区间上单调递减，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 8．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入成本为G（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（    ） A．1150万元 B．1000万元 C．950万元 D．900万元 二、多选题 9．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．若定义域为R的奇函数满足，且时，则（    ） A． B．当时， C．至少有3个实根 D．在区间上不可能单调 11．已知函数，则（   ） A．可能是单调递增的幂函数 B．可能是单调递减的幂函数 C．当m为偶数时，在定义域上一定具有单调性 D．的图象可能是开口向下的抛物线 三、填空题 12．函数的值域为______ 13．已知奇函数在上是减函数，若，则的解集为______． 14．对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数，的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．（1）写出函数的一个“保值”区间为_________；（2）若函数存在“保值”区间，则实数的取值范围为_________． 四、解答题 15．求下列函数的值域： (1) (2) 16．已知函数 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域. 17．已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围. 18．求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 19．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”. (1)请证明：函数不存在“黄金区间”； (2)已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”； (3)如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 单元测试 2026-2027学年 高一上学期数学人教A版必修第一册 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D C A D B B CD ACD AD 1．C 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，由图象可看出， 对于A，当时，有两个值与其对应，不符合； 对于B，当时，有两个值与其对应，不符合； 对于C，符合定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，可表示函数关系； 对于D，当时，有无数个值与其对应，不符合. 故选：C. 2．A 【分析】由解析式有意义列方程求的范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以由函数有意义可得 且，解得，所以的定义域为． 故选：A. 3．D 【分析】根据自变量取值所在范围确定解析式，逐步代入求解可得. 【详解】由， 则. 故选：D. 4．C 【分析】分段讨论求解， 【详解】原不等式等价于或，解得， 故选：C 5．A 【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项. 【详解】因为， 对于A选项，， 令，该函数的定义域为， ，则为奇函数，A满足要求； 对于B选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，B不满足条件； 对于C选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，C不满足条件； 对于D选项，， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：A. 6．D 【分析】先由赋值法求得，进一步求得的值，然后由奇函数的性质即可求解. 【详解】当 时， ，所以令，得， 又因为，所以 在中，令，解得， 又因为函数 是定义在 上的奇函数， 故所求为. 故选：D. 7．B 【分析】根据函数为幂函数以及幂函数具有的性质，可列式计算，即得答案. 【详解】由题意函数为幂函数，且在区间上单调递减， 可得，且， 解得， 故选：B 8．B 【分析】根据年利润＝销售收入成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，分别求最值从而得到答案． 【详解】∵每件商品售价为0.05万元， ∴ x千件商品销售额为0.05×1000x万元， ①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入成本， ∴， 当0＜x＜80时，， ∴当x＝60时，取得最大值万元； ②当时，． ∴当时，， 当且仅当，即x＝100时，取得最大值万元． 综合①②，由于950＜1000， ∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元． 故选：B． 9．CD 【分析】利用函数相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，对于函数，则，可得， 对于函数，则，可得， 所以，函数、的定义域均为， ，所以，A选项中的两个函数不相等； 对于B选项，函数与的定义域均为， 但，两个函数的对应关系不相同， 所以，B选项中的两个函数不相等； 对于C选项，函数与的定义域均为， ，C选项中的两个函数相等； 对于D选项，函数与的定义域均为， 且这两个函数的对应关系也相同，D选项中的两个函数相等. 故选：CD. 10．ACD 【分析】取并结合奇函数性质可判断A；当时，用代入已知关系式，结合奇函数性质可推导出新的关系式，进而判断B；利用新关系式寻找特殊点使得函数值为0，结合奇函数性质可判断C；通过计算区间内多个点的函数值并比较大小，可判断D. 【详解】在中取得，所以，故A正确； 当时，，所以，即，所以，故B错误； 因为是定义域为的奇函数，所以，当时，令，得，把代入中得，所以0，又，所以至少有3个实根，故C正确； 由，得，即，因为，且， 由于 且 ，所以函数在区间上不单调，故D正确. 故选：ACD. 11．AD 【分析】根据幂函数得出参数判断A，B，应用特殊值法结合单调性判断C，应用特殊值法结合抛物线性质判断D. 【详解】由函数，则若函数是幂函数， 则，所以或， 当时，是单调递增的幂函数，A选项正确； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在整个定义域上不具有单调性，B选项错误； 当时，定义域为， ，，所以在定义域上不具有单调性，C选项错误； 当且，即时，图象是开口向下的抛物线，D选项正确； 故选：AD. 12． 【分析】将函数转化为，令，利用对勾函数的性质求解. 【详解】， 令， 因为在单调递减，在单调递增， 所以，当时，，当时， 所以，即值域为：. 故答案为： 13．或 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合图形，即可求解. 【详解】由题意知，奇函数在单调递减，， 所以函数在单调递减，且，如图， 由图可知，的解集为或. 故答案为：或. 14． /[0,0.5] 【分析】（1）由条件可知在区间上是单调函数，根据的值域判断出，由此得到从而求解出的值； （2）设存在的“保值”区间为，考虑两种情况：，，根据单调性得到关于等式，然后根据二次函数的性质即得. 【详解】（1）因为，所以的值域为， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以，又， 解得， 所以一个“保值”区间为； （2）设保值区间为，若，则在上为增函数， 所以，即，为方程的2个不等实根， 设，则， 所以； 若，则在上为减函数， 所以有，两式相减：， 代入得：， 所以方程有2个不等实根，， 从而有， 解得得； 综上所述：． 故答案为：；. 15．(1) (2) 【分析】（1）由结合基本不等式得出值域； （2）由换元法结合二次函数的性质得出值域. 【详解】（1）解：，故. 当且仅当时“”成立，值域为. （2）设, 则. ， 对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为. 16．(1) (2)或 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据自变量的取值代入对应的函数表达式中即可求解函数值. （2）根据函数值的大小，代入对应的表达式中，分情况讨论即可求解. （3）根据每一段上函数的特征分段即可画出. 【详解】（1）因为，所以 （2）当时，，不合题意，应舍去 当时， 解得或（舍） 当时，，则 综上，或 （3）值域为 17．(1)； (2) 【分析】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式； （2）作出函数的图象，从而得函数的单调递增区间，根据题意列不等式，即可得答案. 【详解】（1）解：设，则，所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又因函数是定义在上的奇函数，可得， 所以函数在上的解析式为. （2）解：作出函数的图象，如图所示， 由函数图象可知，在上单调递增， 要使函数在区间上单调递增， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用换元法进行求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 19．(1) 由函数为上的增函数， 则有所以，即，无解， 所以函数不存在“黄金区间”． (2) (3) 【分析】（1）首先根据函数是单调递增函数，结合题意可得，即可证明； （2）函数存在单调递增区间，再结合，即可求解； （3）首先化简函数，结合函数的单调性，得到，化简为二次方程，根据韦达定理，化简，即可求最值. 【详解】（1）略 （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数的值域为， 所以. 又因为其图象的对称轴为， 所以在上必为单调递增函数， 令，解得或， 故该函数有唯一的一个“黄金区间”． （3）由在和上均为增函数， 因为在“黄金区间”上单调， 所以或，且在上为单调递增， 故即m，n为方程的两个同号的实数根， 即方程有两个同号的实数根， 注意到，则只要，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 其中或， 所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：结合函数的单调性，根据，转化为方程问题，即可求解. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $