23.2 直角三角形的性质（课件）2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形性质，系统涵盖两锐角互余、斜边中线等于斜边一半、30°角所对直角边等于斜边一半等核心知识点。通过“观察与思考”问题链回顾直角三角形定义及锐角关系，引导学生动手探究新性质，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光，如让学生画直角三角形比较斜边中线与斜边一半，发展几何直观；通过逻辑推理证明性质，如构造矩形证斜边中线性质，提升推理能力；结合商场电梯、轮船航行等现实问题，强化应用意识。学生能深化理解，教师可高效教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第23章 解直角三角形 23.2 直角三角形的性质 2026年8月4日 华东师大版九年级上册23.2 直角三角形的性质练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 直角三角形的两个锐角的关系是（） A.互余 B.互补 C.相等 D.无法确定 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=10，则斜边中线CD的长为（） A.3 B.4 C.5 D.10 3. 在直角三角形中，若一个锐角为30°，则下列说法正确的是（） A.30°角所对的直角边等于斜边的一半 B.30°角所对的直角边等于另一直角边的一半 C.斜边等于另一直角边的一半 D.三条边相等 4. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则斜边AB的长为（） A.4 B.6 C.8 D.10 5. 直角三角形斜边上的中线把原三角形分成的两个三角形（） A.全等 B.面积相等 C.都是等边三角形 D.周长相等 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=12，则斜边上的中线长为（） A.4 B.6 C.8 D.12 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 直角三角形的两个锐角________。 2. 直角三角形斜边上的中线等于________的一半。 3. 在直角三角形中，30°角所对的________等于斜边的一半。 4. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则∠B=________°。 5. 已知直角三角形斜边为18，则斜边上的中线长为________。 6. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=16，BC=8，则∠A=________°。 三、解答题（共52分） 13.（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=20，CD是斜边AB上的中线。 (1)求CD的长； (2)若∠A=35°，求∠B的度数。 14.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，求BC的长。 15.（14分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D。 求证：$$BC=2AD$$。 16.（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边AB上的中线和高，AB=10，∠A=30°。 求：BC、CD的长度。 参考答案 1.A  2.C  3.A  4.C  5.B  6.B 7.互余  8.斜边  9.直角边  10.$$30$$  11.$$9$$  12.$$30$$ 13.解：(1)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴$$CD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\times20=10$$。 (2)直角三角形两锐角互余，$$\angle B=90^\circ-\angle A=90^\circ-35^\circ=55^\circ$$。 答：CD长为10，∠B=55°。 14.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴30°角对的直角边$$BC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\times12=6$$。 答：BC的长为6。 15.证明：∵$$AB=AC，\angle BAC=120^\circ$$，∴$$\angle B=\angle C=30^\circ$$。 ∵$$AD\perp BC$$，∴△ABD、△ACD均为直角三角形。 在Rt△ABD中，$$\angle B=30^\circ$$，∴$$AD=\dfrac{1}{2}AB$$，即$$AB=2AD$$。 又等腰三角形三线合一，$$BC=2BD$$，易得$$BC=2AD$$，得证。 16.解：在Rt△ABC中，$$\angle A=30^\circ，AB=10$$， $$BC=\dfrac{1}{2}AB=5$$。 ∵CD是斜边中线，∴$$CD=\dfrac{1}{2}AB=5$$。 答：BC=5，CD=5。 本节核心知识点总结 性质1（锐角关系）：直角三角形的两个锐角互余。 性质2（斜边中线）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（高频考点）。 性质3（30°角性质）：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 推论：若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°。 问题1 什么是直角三角形？ 有一个内角是直角的三角形叫直角三角形． 直角三角形可表示为：Rt△ABC A C B 斜边 直角边 直角边 想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？三边之间有什么关系？ 观察与思考 （1）直角三角形的两个锐角_________； 互余 （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的平方. 等于 下面我们探索直角三角形的其他性质 问题2 你知道我们学过了直角三角形的哪些性质？ 1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B = ？ ∠A ＋∠B = 90° 2. 在△ABC中，如果∠A＋∠B = 90°，那么△ABC 是直角三角形吗？ 3. 在 Rt△ABC 中，AB、AC、BC 之间 有什么关系？ A B C 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 问题引导 是 AB2 = AC2 ＋ BC2 任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？ 我们来验证一下！ A B C D 探究归纳 知识点含30°角的直角三角形的性质 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3.5 cm，则AB等于(　　) A．3.5 cm B．4 cm C．6 cm D．7 cm 1星题 夯实四基 D 举一反三 2．如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是10，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　) D 举一反三 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线.求证：CD = AB. 思路引导： 中线辅助线作法：将中线延长一倍. B 【证明】 延长 CD 到点 E，使 DE = CD，连结AE、BE. ∵ CD 是斜边 AB 的中线， ∴ AD = BD. 又∵ DE = CD， ∴ 四边形 ACBE 是平行四边形. 又∵∠ACB = 90°， ∴ ACBE 是矩形. ∴CE = AB. A C ∟ D E 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 数学语言表述为： 在 Rt△ABC 中 ∵CD 是斜边 AB 上的中线， ∴CD＝AD＝BD＝ AB. （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 直角三角形的性质之一 C B A D 1.已知 Rt△ABC 中，斜边 AB = 10 cm，则斜边上的中线的长为____cm. 2.如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线∠CDA = 80°，则∠A =_____ ，∠B =_____. 5 50° 40° 练一练 A B C D 例 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠B = 30°， 求证：AC = AB. 证明：作斜边上的中线 CD，则 CD = AD = BD = AB. （在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半） ∵ ∠B = 30°，∴ ∠A = 60° ∴ △CDA 是等边三角形. ∴ AC = CD = AB. C B A D 对此，你能得出什么结论？ 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 1.如图，在△ABC 中，若∠BAC = 120°，AB = AC，DA⊥AC 于点 A，BD = 3，则 BC =______. 9 A B D C 2.如图， ∠C = 90°，∠B = 15°，DE 垂直平分 AB，垂足为点 E，交 BC 边于点 D，BD = 16 cm，则 AC 的长为____cm. 8 A B D C E 3.如图，在△ABC 中，BD、CE 是高，M、N 分别是 BC、ED 的中点，试说明：MN⊥DE. N M D E B C A 解：连结 EM、DM. ∵ BD、CE 是高，M 是 BC 中点， ∴ 在 Rt△BCE 和 Rt△BCD 中， EM = BC，DM = BC. ∴ EM = DM. 又∵ N 是 ED 的中点， ∴MN⊥ED 3．江苏扬州期末如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AD⊥BC于点D，若BC＝8，则BD的长为 ______． 2 举一反三 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，且∠A＝30°，DE＝2.求BC的长度． 举一反三 5．如图，园艺师计划打造一个景观区域△ABC，已知∠A＝∠C＝75°，AB＝6，则△ABC的面积为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 A 2星题 提升四能 举一反三 6．如图，已知∠ABC＝60°，点P在边AB上，BP＝a，点E，F在边BC上，PE＝PF，若FE＝b，则BE的长为 __________．(用含a，b的代数式表示) 举一反三 7．如图，有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°方向上有一灯塔P，继续航行20 n mile后到达B处，此时又测得灯塔P在西偏北30°方向上，若轮船航向不变，则灯塔与轮船之间的最近距离是________n mile. 10 举一反三 8．如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证：BP＝2PQ. 证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝AB，∠C＝∠BAC＝60°.又∵CD＝AE，∴△ACD≌△BAE. ∴∠CAD＝∠ABE.∵∠CAD＋∠BAP＝∠BAC＝60°， ∴∠ABE＋∠BAP＝60°.∴∠BPQ＝60°. ∵BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°. ∴∠PBQ＝90°－∠BPQ＝30°.∴BP＝2PQ. 举一反三 我们学习了直角三角形哪些性质？ 性质1 直角三角形两个锐角互余 性质2 直角三角形的勾股定理 性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 性质4 直角三角形 30° 角所对直角边等于斜边的一半 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS A．7.5 B．5 C．10 D．5 解：∵DE垂直平分AB，∴∠ADE＝90°，AB＝2AD. 又∵∠A＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4， ∴AD＝＝2，∴AB＝2AD＝4. ∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB＝2. (a－b) $