23.3 锐角三角函数 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕锐角三角函数展开，涵盖定义及关系、特殊角的值、计算器应用等核心内容。课堂导入先复习直角三角形性质，再通过相似直角三角形比例关系引出三角函数，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过合作探究（相似三角形推导定义）培养数学眼光（几何直观），证明sin²A + cos²A = 1时用勾股定理推理体现数学思维（推理能力），典例和练习用符号表达数量关系发展数学语言（模型意识）。采用表格小结特殊角值，学生易掌握，教师教学流程清晰高效。

23.3 锐角三角函数 23.3.1 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数的定义及关系 1. 掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念；（重点） 2. 能利用三角函数的定义求三角函数值.（难点） 学 习 目 标 复 习 导 入 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余。 2、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4、在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。 合 作 探 究 在23.1节中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，且两种方法中都出现了两个相似的直角三角形，即 新 课 导 入 △ABC∽ △A′B′C′. 按1:500的比例，就一定有 = = , 就是它们的相似比. 当然也有 = . 合 作 探 究 分层设计 数学 HS 九年级 全 我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角C所对的边AB称为斜边，用c表示；另两条直角边为∠A的对边与邻边，分别用a、b表示(如图). A C B 斜边c ∠A的对边a ∠A的邻边b 前面的结论启示我们,在Rt△ABC中,只要一个锐角的大小不变(如∠A= 34°),那么不管这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与邻边的比值都是一个固定的值. 合 作 探 究 一般情况下，在 Rt△ABC 中，当锐角A取其他确定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗? 思 考 Rt△AB1C1∽Rt△_____∽Rt△________， 观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之间有什么关系？当锐角A取一个固定值时，∠A的对边与斜边的比值会是一个固定值吗？ 可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一 个确定的值，其对边与斜边的比值是唯一确 定的. AB2C2 AB3C3 这个比值是锐角A的函数，叫做锐角A的正弦，记作sinA. 合 作 探 究 分层设计 数学 HS 九年级 全 对于锐角A的每一个固定的值，其对边与邻边、邻边与斜边的比值也是唯一确定的吗？ 这几个比值都是锐角A的函数，记作:sinA、cosA、tanA. 锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角A的三角函数. 正弦sinA= 余弦cosA= 正切tanA= 在Rt△ABC中， 合 作 探 究 分层设计 数学 HS 九年级 全 显然，锐角三角函数值都是正实数，并且 0< sinA <1，0< cosA <1. 根据三角函数的定义，我们还可以得出 sin2A+cos2A=1. 思考 锐角∠A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 可以等于1，此时为等腰直角三角形；可以大于1. 思考：你知道这两个不等式成立的理由吗？ 新 知 小 结 在直角三角形中，由勾股定理可知， a2 + b2 = c2， ∴sin2A+cos2A=1. 证明：sin2A= = ， 例1 试着证明锐角三角函数的性质：sin2A+cos2A=1. cos2A= = ， 则sin2A+cos2A= + = . 典 例 精 析 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 15，BC = 8，试求出∠A的三个三角函数值． A B C 8 15 解：AB= = = 17， sinA= = ， cosA= = ， tanA= = . 典 例 精 析 分层设计 数学 HS 九年级 全 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin∠ABC＝(　　) A. B. C. D. B D 随 堂 练 习 3．在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝17，BC＝8，则tanB＝_____． 4．已知∠α为锐角,且tanα＝2，则 ＝___．　 随 堂 练 习 解：∵∠C＝90°， 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，求∠A的三个三角函数值． 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 锐角三角函数 课 堂 总 结 23.3.1 锐角三角函数 第2课时 特殊角的三角函数值 1.理解锐角三角函数的定义；（重点） 2.掌握三角函数之间的关系并会计算.（难点） 学 习 目 标 复 习 导 入 锐角三角形函数 在 Rt△ABC 中 合 作 探 究 A B C 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求直角边AB、AC与斜边AB之间的关系. 由前面所学：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可知 . 由勾股定理可知： 思 考 A B C 因此，sin30°= cos30°= tan30°= 同理，sin60°= ，cos60°= ，tan30°= . 新 知 小 结 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°.根据锐角三角函数的定义，求出∠A的三个三角函数值. A B C 解：如图，AC=BC. 由勾股定理AB2=AC2+BC2. 得AB2=2AC2. ∴AC= AB=BC, 则sinA= = ,cosA= = . tanA= =1. 合 作 探 究 为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的各个三角函数数值列表如下： 锐角a 三角 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 新 知 小 结 例1 计算：(1)sin 30°• tan 30°+ cos60°• tan60°. (2)sin260°+cos260°-tan 45° 解：(1) sin 30°• tan 30°+ cos60°• tan60° 典 例 精 析 例2 如图，在△ABC中，∠A=30°， 求AB. A B C D 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∠A=30°， 典 例 精 析 1．计算tan 45°的结果是(　　) D 2．  A．30° B．45° C．60° D．90° A 20° 随 堂 练 习 5.计算： (1)cos245°＋tan30°sin60°；   (2)2sin 60°－tan 45°＋4cos 30°；   (3)2sin 30°＋cos 60°－tan 60°·tan 30°＋cos245°. 随 堂 练 习 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐 三角 角a 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（α为锐角） 对于cosα，角度越大，函数值越小. 课 堂 总 结 23.3.2 用计算器求 锐角三角函数值 1.会用计算器求锐角三角函数值；（重点） 2.会用计算器根据三角函数值求锐角度数.（重点） 学 习 目 标 情 景 导 入 同学们,前面我们学习了特殊角30°,45°,60°的三角函数值,一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢? 可以借助计算器 下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值，以及由三角函数值求对应的锐角． 合 作 探 究 例1 求sin 63°52′41″的值．(精确到0.000 1) 解：用如下方法将计算器的角度单位状态设定为“度”，按键顺序是： （计算设置） （角度单位） （度） ，屏幕显示D.本题的按键顺序是： 显示结果为0.897 859 012. 所以sin 63°52′41″≈0.897 859 012. 典 例 精 析 新 知 小 结 注意 是 键的第二功能键，启用第二功能，需先按 键. 例2 求tan19°15′的值．(精确到0.000 1) 解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示D），本题的按键顺序是： 所以tan 19°15′≈0.349 215 633 4. 显示结果为0.349 215 633 4. 典 例 精 析 例3 已知tanx＝0.741 0，求锐角x.(精确到1′) 解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示D），本题的按键顺序是： 所以x≈36°32′. 显示结果为36.538 445 77. 再按 （六十进制） ， 显示结果为36°32′18.4″. 典 例 精 析 1．用计算器计算cos 44°的结果约是(精确到0.01)(　　) A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66 B 随 堂 练 习 2．已知sinA＝0.178 2，则锐角∠A的度数大约为(　　) A．8° B．9° C．10° D．20° C 随 堂 练 习 3．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3m，铅直高度BC为2.8m，则∠A的度数约为________．(用科学计算器计算，精确到0.1°) 27.8° 随 堂 练 习 4．已知三角函数值，求锐角(精确到1″)． (1)已知sinα＝0.501 8，求锐角α； 解：∵sinα＝0.501 8， ∴α≈30.119 2°≈30°7′9″. (2)已知tanθ＝5，求锐角θ. 解：∵tanθ＝5， ∴θ≈78.690 1°≈78°41′24″. 随 堂 练 习 求已知锐角的三角函数值 用计算器求锐角三角函数的值 由锐角三角函数值求锐角 课 堂 总 结 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值为(　　) A． B． C． D． $