5.5三元一次方程组 暑假预习练 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三元一次方程组核心素养，分层设计从概念理解到综合应用，梯度合理，适配暑假巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三元一次方程组定义、消元步骤|单选题概念判断（第3题）、填空题方法描述（第14题），强化运算能力| |进阶层|消元技巧、解的应用|单选题消元转化（第1题）、填空题综合计算（第15题），培养推理意识| |综合层|实际建模、拓展探究|解答题换币问题（第21题）、数字天平游戏（第20题），发展模型意识与创新意识|

5.5三元一次方程组 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 2．利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm 3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 5．设“●，▲，■”分别表示三种不同的物体，如图所示，前面两架天平保持平衡，如果要使第三架也平衡，那么“？”处可以放的物体为（    ）      A．●●●● B．●●● C．■■■■■ D．■■■ 6．解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A． B． C． D． 7．三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 8．已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 9．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 10．已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 11．已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的和为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 12．如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．解方程组时，消去字母z，得到含有未知数x，y的二元一次方程组是___． 14．解三元一次方程组时，一般应先将其转化为_______． 15．若、、满足和，则分式的值为______． 16．某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需______元 17．解方程组若用代入消元法解这个方程组，第一步应把______化为______，代入______中，消去______，组成二元一次方程组；如果用加减消元法解这个方程组，第一步应用______，消去______，与①组成二元一次方程组． 三、解答题 18．解下列方程组： (1)； (2)． 19．解下列方程或方程组 (1) (2) (3) 20．在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 21．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？ 《5.5三元一次方程组》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C C B A D D 题号 11 12 答案 A B 1．A 【分析】本题考查了三元一次方程组以及加减消元法，运用加减消元法消去c即可得到答案，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：， ②﹣①，得，即④ ②×3+③，得，即⑤ 由④⑤可知，A选项正确， 故选：A． 2．D 【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解． 【详解】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm， 由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80， 由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=72， 两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152， 解得：h=76cm． 故选 D． 【点睛】此题主要考查了方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力．关键是看懂图的意思，找出图中所表示的等量关系． 3．A 【分析】根据三元一次方程组的定义（方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是三元一次方程组，则此项符合题意； B、方程组中含有4个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； C、方程组中含有2个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； D、方程组的每个方程中含未知数的项的次数不都是1，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，熟记三元一次方程组的概念是解题关键． 4．B 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可． 【详解】解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 5．C 【分析】设“●，▲，■”分别为，根据前两个天平求出三个量之间的关系，进而得出结论． 【详解】解：设“●，▲，■”分别为，由图可知： ，解得：， ∴， 即“？”处可以放的物体为5个■； 故选C． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用．正确的识图，列出方程组，是解题的关键． 6．C 【分析】由题意知，得，，，即，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，得，，， ∴消去z，组成关于x、y的方程组为， 故选：C． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．B 【分析】本题通过代入消元法求解三元一次方程组，首先利用第一个方程将y表示为x的代数式，代入第二个方程求出x，再回代求y，最后利用第三个方程求z，本题考查了解三元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：方程组为， 将第一个方程代入第二个方程：得， 解得， 将代入，得， 将代入第三个方程， 得：， ∴， ∴， 因此，方程组的解为， 故选：B 8．A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键． 设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 【详解】解：设购买、、三种奖品分别为个， 根据题意列方程得， 即， 由题意得均为正整数． ①当时， ， 分别取，，，，，，，共种情况； ②当时， ， 可以分别取，，，，，共种情况； 综上所述：共有种购买方案． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴； 故选D． 11．A 【分析】根据题意，先推断出取最大值与最小值时的、、的值，再求的最大值与最小值的和． 【详解】解：联立得方程组， ①②：得，， ①②得，，， 把，代入，整理得，，当取最小值时，有最小值， 、、是三个非负实数， 的最小值是0， ， ①②得到：， ， 是非负数， 时，有最大值3， 的最大值与最小值的和． 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式求解，在给定的范围内，求一个代数式的最值问题，解题的关键是转化为只含一个未知数的式子进行求解，难度较大． 12．B 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 故选：B． 13． 【分析】①+②得出2x+3y=18，②+③得出4x+y=16，再得出答案即可． 【详解】解：， ①+②得出2x+3y=18④， ②+③得出4x+y=16⑤， 由④和⑤组成方程组， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法消元是解此题的关键． 14．二元一次方程组 【分析】本题考查解三元一次方程组的基本思想——消元的思想．解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的，据此即可求解． 【详解】解：解三元一次方程组时，一般应先将其转化为二元一次方程组， 故答案为：二元一次方程组． 15． 【分析】把看成已知数解关于、的方程组，再代入求出即可． 【详解】解：，， 解得： ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组的应用，主要考查的计算能力． 16． 【分析】设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元”，可列出关于，的三元一次方程组，利用，即可求出结论． 本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 根据题意得：， 得：， 购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． 故答案为：． 17． ③ ② 【分析】先观察方程，利用代入法或加减法确定消去哪个未知数计算简单，再根据消去的未知数选择变形即可． 【详解】解：解方程组若用代入消元法解这个方程组，第一步应把③化为，代入②中，消去，组成二元一次方程组；如果用加减消元法解这个方程组，第一步应用，消去，与①组成二元一次方程组． 故答案为：③；，②，，， 【点睛】本题考查的是利用代入消元法与加减消元法解三元一次方程组，能熟练的选择合适的方法解方程组是解本题的关键． 18．(1) (2) 【分析】此题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法，代入消元法解三元一次方程组是解决问题的关键． （1）先由得，将④代入③得，再将代入④得，进而将代入①得，由此可得该方程组的解； （2）先由得，得，得，将代入④得，再将，代入①得，由此可得该方程组的解． 【详解】（1）解：， ，得：， 将④代入③，得：    ， 解得：， 将代入④，得， 将代入①，得：， ∴该方程组的解为：； （2）解：， ，得：， ，得：， ，得：， 解得：， 将代入④，得：， 解得：， 将，代入①，得：， 解得：， ∴该方程组的解为：． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，三元一次方程组，熟练掌握解题方法是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化1计算即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1计算即可； （3）利用加减消元求解即可． 【详解】（1）解： 解得：， ∴原方程的解为：； （2）解：， ∴原方程的解为：； （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入①得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴原方程组的解为：． 20．(1)见详解 (2)，， (3)见详解 【分析】本题考查有理数的加减运算，解三元一次方程组，代数式求值，理解题意正确的列式是关键． （1）根据题中定义和题干解答即可． （2）记，，，则．由外三角形三边和为，可得，，，三式相加得，即．同理，内三角形 三边和为，可得，，，三式相加得，即，三式联立求出，即可解答． （3）若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3，根据（2）中结论求出，，求出，，，据此填图即可． 【详解】（1）解：顶点E对应的数， 顶点D对应的数， 其余两个空分别是，， 如图， （2）解：记，，， 则． 又由外三角形三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 同理，内三角形 三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 联立 解得：， 即，，． （3）解：若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3， 则，， 则，，， 可作如下“一种可行填法”（对应图 4 的各顶点及中点）： 取，，； ，，； ，，． ． 21．他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 设他在甲换币机上换了次，乙换币机上换了次，丙换币机上换了次，根据甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．列出三元一次方程组，求出正整数解即可． 【详解】解：设他在甲换币机上换了次，乙换币机上换了次，丙换币机上换了次， 由题意得：， 整理得：， 又，且、、均为正整数， ∴当时，，不符合题意；当时，，此时；当时，，此时，不符合题意； ， 答：他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次． 22．(1) (2) 【分析】（1）用代入消元法把三元一次方程组化简为二元一次方程组求解即可； （2）用加减消元法把三元一次方程组化简为二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 化简得：， 把①代入③得：， 化简得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， ∴原方程的解为 （2）解： 得：， 得：， 把代入②得：， 把，代入①得：， ∴原方程的解为 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法、代入消元法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $