1.2 一定是直角三角形吗 暑假预习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学暑假预习同步练，聚焦“一定是直角三角形吗”，分层覆盖基础概念到综合应用，梯度设计适配预习需求，强化推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股数识别、简单三角形判断|单选1（勾股数辨析）、填空6（三角形构成判断），夯实概念理解| |中档|逆定理综合应用、代数与几何结合|单选4（方程求边长判直角）、填空9（非负性求边长算面积），培养推理能力| |提升|实际情境应用、跨知识整合|解答13（支架垂直判断）、15（房梁安全验证），体现模型意识与应用能力|

1.2《一定是直角三角形吗》暑假预习 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，3，2 C．4，5，6 D．9，40，41 2．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．已知∆ABC的三边长分别为，，，且满足，则∆ABC是（　　） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．非直角三角形 5．已知a、b、c是∆ABC的三边长，则下列说法中不成立的一项是（    ）． A．若，则∆ABC一定是直角三角形 B．若，则∆ABC一定是钝角三角形 C．若，则∆ABC一定是锐角三角形 D．若，则∆ABC可能是直角三角形 二、填空题 6．给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有____________；可构成直角三角形的有____________．（填序号） 7．如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________． 8．如图，，，，，∠B=90∘，则四边形的面积是______． 9．若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___． 10．阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为_____． 三、解答题 11．如图，在中，，，，．求： (1)∆ABC的周长； (2)判断∆ABC是否是直角三角形？为什么？ 12．如图，在四边形中，∠B=90∘，为四边形的对角线，已知，，，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)过点作于点，求线段的长． 13．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 14．已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． (1)下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． (2)请选择一个正确选项进行证明． 15． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，∆ABC一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 参考答案 一、单选题 1．D 解：勾股数要求三个数均为正整数，选项A中三个数均为小数，因此不是勾股数； 对其余选项从小到大排序后验证： B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，故选项C的三个数不是勾股数； D、，且三个数均为正整数，故选项D的三个数是勾股数． 2．B 解：A、，， ∴图中只有一个直角三角形，不符合题意； B、，， ∴图中有两个直角三角形，符合题意； C、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； D、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3．A 如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 4．B 解：∵ ，且每项非负， ∴ ，，， ∴ ，，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是以为斜边的直角三角形． 故选：B． 5．C 解：当时，即， ∴∆ABC一定是直角三角形，故A正确； 当时，， 此时，但， ∴当时，∆ABC是直角三角形，故D正确； 当，即，不妨设， 那么三边构成直角三角形，且为斜边， 如图所示： 当，即， 则∆ABC一定是钝角三角形，故B正确； 同理，如图所示： 当， 则∆ABC不一定是锐角三角形． 故选：C． 二、填空题 6． ①③④⑥⑦ ①④⑥⑦ 解：根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，可判断： ①，，，能构成三角形； ②，不大于，不能构成三角形； ③，，，能构成三角形； ④，，，能构成三角形； ⑤，不大于，不能构成三角形； ⑥，，，能构成三角形； ⑦，，，能构成三角形. 故可构成三角形的有①③④⑥⑦. 对于能构成三角形的组，应用勾股定理判断： ①，是直角三角形； ③，不是直角三角形； ④，是直角三角形； ⑥，是直角三角形； ⑦，是直角三角形， 故可构成直角三角形的有①④⑥⑦. 故答案为：①③④⑥⑦；①④⑥⑦． 7． 解：由勾股定理得： ，，， ，， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 8．24 解：连接， ，， ∠B=90∘， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 9．84 解：∵，且， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，直角边为和， ∴的面积． 10． 锐角 或 解：（1）由， 可知， ∴该三角形是锐角三角形； 故答案为：锐角； （2）∵三边长分别为，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或. 故答案为：或. 三、解答题 11．（1）解：， ， 在中，，，，则由勾股定理可得； 在中，，，，则由勾股定理可得； ∆ABC的周长为； （2）解：∆ABC是直角三角形， 原因如下： 由（1）知，， ， 即， ∆ABC是直角三角形． 12．（1）解：∵在中，∠B=90∘，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵是直角三角形，，， ∴， 即， 化简得，即， ∴ 在中，， ∴． 13．（1）解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由题意设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 所以． 14．（1）解：A、，不符合三角形的两边之和大于第三边； 不能组成三角形，错误； B 、，， 由题意得， 、、不能组成直角三角形三边，错误； C、、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ∴a2+b2=c2，且， 又， 将，，代入得： ， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边，正确； D、，，二者不相等， 同理证，，可知均不满足勾股定理逆定理， 、、不能组成直角三角形三边，错误； （2）证明C选项： 、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ∴a2+b2=c2，且， 又， 将，，代入得：， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边． 15．（1）解：∵在∆ABC中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 学科网（北京）股份有限公司 $