13.3.1第一课时三角形的内角 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三角形的内角和”核心知识点，通过三类三角形争论内角和的情境导入，衔接小学已知结论，从剪拼、测量验证过渡到多种方法证明，搭建从直观操作到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过过点作平行线、延长边作辅助线等多种证法发展推理能力和转化思想，结合三岛视角等实例强化应用意识。学生能提升探究与解决问题能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第一课时 三角形的内角和 学习目标 经历探究活动的过程，多角度探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性. 获取添加辅助线的思路和方法，能用平行线的性质证明三角形内角和等于180°. 应用三角形内角和定理解决实际问题，提高发现问题和解决问题的能力. 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新知 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关. 【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 探究新知 知识点 三角形的内角和 剪拼 A B C 2 1 探究新知 测量 480 720 600 600＋480＋720＝1800 探究新知 锐角三角形 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 探究新知 还有其他的拼接方法吗？ 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 探究新知 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 探究新知 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°， ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 探究新知 同学们还有其他的方法吗？ 【思考】 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 探究新知 1 2 C B A E D 1 2 C B A E D F C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤. 探究新知 试一试 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 探究新知 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°–∠B –∠BAD =180°–75°–20° =85°. 利用三角形的内角和定理求角的度数 素养考点 1 探究新知 如图，CD是∠ACB的平分线DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°. 变式题 探究新知 转化思想 通过前面的操作和证明过程，你有什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n 借助平行线“移角”功能，将三个角转化成一个平角. 知识点 三角形的内角和 ①依据平角定义，得到180° 除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？ 思路②如何添加辅助线？ 利用平行线的性质，转移角 添加平行线(辅助线) ②两直线平行，同旁内角互补 A B C l 2 1 F 1 4 2 3 D E A B C 知识点 三角形的内角和 证法三 证法四 针对训练 如图，说出各图中∠1 的度数. 30° 105° 1 （2） 80° 50° 1 （1） 22° 1 （3） 50° 45° 68° ∠1 = 180°– 50°– 80° = 50° ∠1 = 180°– 105°– 30° = 45° ∠1 = 180°– 22°– 90° = 68° 针对训练 【选自教材P12例题 第1题】 例1 A C B D 如图，在△ABC中，∠BAC= 40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线. 求∠ADB的度数. 针对训练 【选自教材P12例题 第1题】 A C B D 解：由∠BAC ＝ 40°，AD 是△ABC 的角平分线，得 在△ABD 中， ∠ADB = 180° – ∠B – ∠BAD = 180° – 75° – 20° = 85°. 针对训练 【选自教材P12例题 第2题】 例2 下图是A,B,C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 50° 方向，B岛在 A 岛的北偏东80° 方向， C岛在B岛的北偏西 40° 方向. 从B岛看A,C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB 呢？ 北 北 C A B D E 80° 40° ？ 50° ？ 针对训练 【选自教材P12例题 第2题】 分析：A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ABC ，∠ACB 是△ABC 的内角. 如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求∠ACB. 北 北 C A B D E 80° 40° ？ 50° ？ 针对训练 【选自教材P12例题 第2题】 解：∠CAB = ∠BAD – ∠CAD = 80° – 50° = 30°. 在△ABC 中， 答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 所以∠ABE= 180° – ∠BAD = 180° – 80° =100°， 北 北 C A B D E 80° 40° 50° 由 AD // BE，得∠BAD +∠ABE = 180°. ∠ABC = ∠ABE – ∠EBC = 100° – 40° = 60°. ∠ACB= 180° – ∠ABC – ∠CAB = 180° – 60° – 30° = 90°. 还有其他证明方法吗？ 针对训练 【选自教材P12例题 第2题】 解：过点C作CF // AD，则CF // BE. 所以∠ABC = 180° – ∠BAD – ∠4 = 180° – 80° – 40° = 60°. 由 AD // BE，得 ∠BAD +∠ABE = 180°. 北 北 C A B D E 80° 40° 50° 1 2 F 3 4 答：从B岛看A,C 两岛的视角∠ABC 是 60°, 从C岛看A,B 两岛的视角∠ACB是90°. ∴∠1 = ∠3 ，∠2 = ∠4 (两直线平行 内错角相等) ∴∠ACB = ∠1 +∠2 = ∠3 +∠4 = 50° + 40° = 90° (等量代换) 随堂演练 【选自教材P13练习 第1题】 1. 如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°.从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？ C A B D 随堂演练 【选自教材P13练习 第1题】 C A B D 解：在△ABC 中， 在△BCD 中， ∴∠ACB =∠ACD –∠BCD = 60° – 45° = 15° . ∠ACD = 180° – (∠BAD +∠CAD) = 180° – (30° + 90°) = 60° . ∠BCD = 180° – (∠CBD +∠D) = 180° – (45° + 90°) = 45° . 随堂演练 【选自教材P13练习 第2题】 2. 如图，在△ABC 中，∠A = 40°，求∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED 的度数. C A B D E 随堂演练 【选自教材P13练习 第2题】 C A B D E 解：在△ADE 中， 在△ABC 中， ∴ ∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED = 140° + 140° = 280° . ∠ACD +∠AED = 180° –∠A = 180° – 40° = 140° . = 180° – 40° = 140° . ∠B +∠C = 180° – ∠A 随堂演练 3. 已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. （1）若∠A = 95°，∠B = 40°，则∠C =_____； （2）若∠A :∠B :∠C = 4 : 5 : 9，则∠C =_____； （3）若∠A = 2∠B = 6∠C，则∠B =_____. （1）∠C = 180°–∠A –∠B 45° （2）设∠A = 4x°，则∠B = 5x°，∠C = 9x° ∴ 4x + 5x + 9x = 180 解得 x = 10 90° 54° （3）设∠C = x°，则∠A = 6x°，∠B = 3x° ∴ 6x + 3x + x = 180 解得 x = 18 课堂小结 应用 证法 三角形的内角和等于180° 求角度 转化为一个平角或同旁内角互补 $