2.4 第1课时 仰角、俯角问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“解直角三角形的应用——仰角、俯角问题”，通过探险者估算山峰水平距离的情境导入，衔接锐角三角函数知识，搭建从概念理解到实际问题解决的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过热气球测楼高、移动测塔高等典例分层训练数学思维，课堂小结提炼四类基本模型强化数学语言表达。学生能提升知识应用能力，教师可借助结构化资源高效开展教学。

2.4 解直角三角形的应用 第1课时 仰角、俯角问题 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 某探险者某天到达如 图所示的点 A 处时，他准备 估算出离他的目的地—— 海拔 3 500 m 的山峰顶点 B 处的水平距离. 他能想 出一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行. ． A B ． ． 情境导入 解与仰俯角有关的问题 如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫作仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫作俯角. 1 探究新知 如图，BD 表示点 B 的海拔，AE 表示点 A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点 C. 用仪器先测量出点 A 的海拔 AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角的正切就可求出 A，B 两点的水平距离 AC. ． A B ． 如图，如果测得点 A 的海拔 AE 为 1600 m，仰角∠BAC = 40°，求 A，B 两点之间的水平距离 AC (tan 40°≈0.839 1，结果精确到 1 m). ∵ BD = 3500 m，AE = 1600 m，AC⊥BD，∠BAC = 40°， ∴ 在Rt△ABC中， 即 从而AC≈2264(m). 因此，A，B 两点之间的水平距离 AC 约为 2264 m. 做一做 例 1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120 m，这栋高楼 有多高（结果精确到 0.1 m）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α = 30°，β = 60°. 在 Rt△ABD 中，α = 30°，AD = 120，所以利用解直角三角形的知识可求出 BD 的长；同理可求出 CD 的长，进而求得 BC 的长，即这栋楼的高度. 典例精析 6 解：如图，α = 30°，β = 60°， AD = 120． 答：这栋楼高约为 277.1 m. A B C D α β 1.建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）. A B C D 40 m 54° 45° A B C D 40 m 54° 45° 解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°， BC = DC = 40 m. 在 Rt△ACD 中， ∴AB = AC－BC≈55.1－40 = 15.1 (m). 练一练 从而 BC = 1000×tan 25° ≈ 466.3(m) BD = 466.3 + 1.7 = 468 ( m ). 答：上海东方明珠塔的高度 BD 为 468 m. 解：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC = 25°，AC = 1000 m， 因此 例2 某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高度，他 站在离底部 1000 m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为 25°，仪器距地面高 AE 为 1.7 m，如图所示. 求上海东方明珠塔的高度 BD (tan25°≈0.466 3，结果精确到 1 m). B C A D 25° E C 例3 如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 C 处.测得仰角为 60°，小明的身高 1.5 m. 那么该塔有多高? (结果精确到 1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ B D C′ C 分析：由图可知，塔高 AB 可以分为上下两部分，上部分 AB′ 可以在 Rt△AD′B′ 和 Rt△AC′B′ 中利用仰角的正切值求出，B′B 与 D′D 相等. 解：如图，设 AB′ = x m. 由题意知∠AD′B′ = 30°，∠AC′B′ = 60°， D′C′ = 50 m. ∴∠D′AB′ = 60°，∠C′AB′ = 30°，D′C′ = 50 m ， D′ A B′ B D C′ C 2.如图，直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 37° 和 45°，求飞机的高度. （结果取整数. 参考数据： sin 37° ≈ 0.8，cos37° ≈ 0.6， tan 37° ≈ 0.75） A B 37° 45° 400 米 P 练一练 A B O 37° 45° 400 米 P 在 Rt△POB 中，∠PBO = 45°， 在 Rt△POA 中，∠PAB = 37°， ∴ OB = PO = x 米. 解得 x = 1200. 解：作 PO⊥AB 交 AB 的延长线于点 O，设 PO = x 米. 即 故飞机的高度为 1200 米. 1. 如图①，在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测 得它的俯角为 45°，则船与观测者之间 的水平距离 BC =_____米. 2. 如图②，两建筑物 AB 和 CD 的水平距 离为 30 米，从 A 点测得 D 点的俯角为 30°，测得 C 点的俯角为 60°，则建筑 物 CD 的高为_____米. 100 图① B C A 图② B C A D 30° 60° 课堂练习 3. 如图，为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的 E 处，测得仰角∠ACD = 52°，已知人的高 度是 1.72 米，则树高 (精确到 0.1 米）. A D B E C 20.9 米 15 4. 如图，在电线杆上离地面高度 5 m 的 C 点处引两根 拉线固定电线杆，一根拉线 AC 和地面成 60° 角， 另一根拉线 BC 和地面成 45° 角．则两根拉线的总 长度为 m (结果 用带根号的数的形式表示). 5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶B的仰角为 45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39°．（tan39°≈0.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离AC； 解：由题意，AC＝AB＝610（米）. 17 (2) 求大楼的高度 CD（精确到 1 米）. 解：DE＝AC＝610（米）， 在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝ . 故 BE＝DE · tan39°． ∴ CD＝AE＝AB－BE＝AB - DE · tan39° ＝610－610×tan39° ≈ 116（米）. 18 45° 30° O B A 200 米 6. 如图，直升飞机悬停在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和 45°，求飞机的高度 PO. P 解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA 的延长线于点 C. C 则∠PBO =∠CPB = 45°，∠CPA = 30°． ∴ PC = BC = 200 + AC，tan30° = ∴ AC = 米． ∴ PO = BC = 米. 利用仰俯角解直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形解决仰角、俯角问题 课堂小结 模型一 模型二 模型三 模型四 仰角、俯角问题的常见基本模型： A D B E C C D A B A C B D 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $