2.1 第2课时 余弦（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦锐角余弦的定义、特殊锐角余弦值及计算器应用，通过复习正弦中“∠A确定时对边与斜边比确定”的旧知，提问“其他边之间的比是否也确定”，引导学生合作探究，构建余弦与正弦的联系，形成学习支架。 其亮点在于以合作探究证明相似三角形边比为常数培养推理意识，通过坐标中构造直角三角形求余弦发展几何直观，归纳总结sinA=cosB及三角恒等式强化模型意识。学生能深化概念理解与运算推理能力，教师可借助清晰环节高效教学。

第2课时 余 弦 2.1 锐角的正弦和余弦 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 1.理解并掌握锐角三角函数中余弦的定义并能进行相 关运算；(重点) 2.学习并掌握一些特殊锐角的余弦值；（重点） 3.学会利用计算器求锐角的正弦值、余弦值或 根据正弦 值、余弦值求锐角． 学习目标 A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 复习导入 余弦 【合作探究】 如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中 ∠A =∠D = α，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？ 为什么？ A B C D E F 1 α α 探究新知 我们来试着证明前面的问题： 因为∠A =∠D = α，∠C =∠F = 90°， 所以∠B = 90 - α = ∠E， 从而 sin B = sin E， 因此 A B C D E F 在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 知识要点 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有 cos α = sin (90°－α)． 从而有 sin α = cos (90°－α)． 如右图所示，在直角三角形中，我们把锐角 α 的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦，记作 cos α，即 A B C 斜边 邻边 角 α 的邻边 斜边 cos α = α 例1 求 cos 30°，cos 45°，cos 60° 的值. 解：cos 30° = sin (90°－30°) = sin 60° = ； cos 60° = sin (90°－60°) = sin 30° = cos 45° = sin (90°－45°) = sin 45°= 典例精析 例2 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，如图，已知 AC = 3，AB = 6，求 sin A 和 cos B. ┌ B C A 3 6 想一想:我们发现sinA=cosB，其中有没有什么内有的关系? 解：在 Rt△ABC 中，∵AB = 6，AC = 3， 求：AB，sin B. 10 ┐ A B C 变式：如图：在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10， 如图：在 Rt △ABC 中，∠C＝90°， sin A = cos B 归纳总结 例3 计算：cos 30°－ cos 60° + cos245° 解: 原式 典例精析 解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解． 过点 P 作 PH⊥x 轴，垂足为点 H，如图.在 Rt△OPH 中，∵ PH＝b，OH＝a， 例4 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 cos α 等于( 　) C 也可以过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M，注意点 P (a，b)到 x 轴的距离是 | b |，到 y 轴的距离是 | a |，若点 P 不在第一象限，则要注意字母的符号． 方法总结 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， 知识拓展 1.sin A、cos A是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sin A、 cos A 是一个比值（数值）. 3.sin A、 cos A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦、余弦值，而对于一般锐角 α 的正弦、余弦值，我们可以利用计算器来求. 用计算器求锐角正弦、余弦值 2 例如：求 sin 50° 的值(精确到 0.001)， 可以在计算器上依次按键 ， 显示结果为 0.766 044 443，因此 sin 50° ≈ 0.7660. 又如求 cos10°36′ 的值 (精确到 0.0001 ). 依次按键： 显示结果为 0.982 935 349， 因此 cos10°36′≈0.982 9. 因为 10°36′ = 10.6°，依次按键： 同样可以得到上述结果. cos 1 0 。, ,, 3 6 = 。, ,, cos 1 0 6 . 19 如果已知正弦值或余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角. 例如，已知 sinα = 0.368 8，求对应锐角 α (精确到0.1°)，依次按键： sin 0 . 6 3 SHIFT 8 8 显示结果为 21.641 629 2， 因此 α≈21.6°. 又如，已知 cosα = 0.8661，求对应锐角α ( 精确到1′′ )，依次按键： cos 0 . 6 8 SHIFT 6 1 显示结果为 29.991 450 8，再按 ， 。, ,, 显示结果为 29°59′29.22′′， 因此α≈29°59′29′′ 还可以再按 。, ,, 显示结果为 21°38′29.87′′，这表明锐角 α 精确到 1′ 的结果为 21°38′，精确到 1′′ 的结果为 21°38′30′′. 1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m， ∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( ) A. B. C. D. A A B C 课堂练习 2. 随着锐角 α 的增大，cos α 的值 ( ) A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定 B 当 0°＜α＜90° 时，cos α 的值随着角度的增大 (或减小) 而减小 (或增大) 3.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100 倍，sin A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 4.已知∠A，∠B 为锐角 (1)若∠A = ∠B，则 sin A sin B； (2)若 sin A = sin B，则∠A ∠B. A B C ┌ C = = 5. 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝ (1)求点 B 的坐标； (2)求 cos∠BAO 的值． A B H 解：(1)如图所示，作 BH⊥OA， 垂足为 H．在 Rt△OHB 中， ∵BO＝5，sin∠BOA＝ ， ∴BH＝3，OH＝4， ∴点 B 的坐标为(4，3)． 5.如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝ (2)求 cos∠BAO 的值． (2)∵ OA＝10，OH＝4， ∴ AH＝6． ∵在 Rt△AHB 中，BH＝3， A B H 余弦 余弦的概念：在直角三角形中，锐角α 的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦 余弦的性质：α 确定的情况下，cos α为定值，与三角形的大小无关 用计算器求锐角余弦、正弦值或根据余弦、正弦值求锐角 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $