第5讲 机械波的描述与综合问题（模型与方法）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中物理机械波的描述与综合问题，系统梳理波的传播方向与振动方向判定、∆t时间内位移和路程求解、振动与波动图像相互确定、机械波多解问题四大核心模型，构建从基础方法到综合应用的学习支架。 资料以模型建构强化科学思维，通过上坡法、平移法等剖析波的传播规律，结合真题演练与分层练测提升实战能力。课中助力教师系统授课，课后学生可通过例题变式查漏补缺，培养分析解决问题的科学推理能力。

第5讲 机械波的描述与综合问题 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.波的传播方向与振动方向 模型02.∆t时间内位移和路程的求解 模型03.振动与波动图像的相互确定（波定时、动定位） 模型04.机械波的多解问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.波的传播方向与振动方向 模型构建 波传播的是振动形式、能量；质点只在平衡位置上下振动，不随波迁移！ 已知其中一个方向，可判断另一个。 模型剖析 1.波的传播方向和振动方向的相互确定 1.上、下坡法 原理：沿波的传播方向看， “上坡下，下坡上”。 2.带动法 原理：先振动的质点带动邻近的后振动的质点. 方法：比P点先振动起来的点在其上方（下）则向上（下）振动。 3.微平移法 原理：波向前传播，波形也向前平移。 方法：作出经微小时间Δt后的波形，得到各质点经过Δt时间 到达的位置，此刻质点振动方向也就知道了。 4.同侧法 原理：质点的振动方向与波的传播方向在波的图象的同一侧。 补充：波峰质点必然向下振动，波谷质点必然向上振动。 2.下一时刻波形图的确定 1.特殊点法 原理：取几个特殊点，由传播方向确定它们的振动方向，描出 时间之后，各点所在位置，然后连接成为新的图像. 2.平移法 原理：由，算出波的传播距离，沿传播方向平移相应的距离即可。 【例1】（2026·河南郑州·模拟预测）一列简谐横波沿x轴传播，时的波形如图甲所示，平衡位置在处的质点P的振动图像如图乙所示，Q是平衡位置处于处的质点。下列说法正确的是（     ） A．该波的波速为0.5m/s B．该波沿x轴负方向传播 C．时，质点Q的加速度方向与速度方向相同 D．2~11s内质点P运动的路程为90cm 【变式1-1】（2026·重庆江北·三模）用“横波演示器”模拟横波的形成过程，初始时介质中各质点均处于平衡位置。某时刻质点1至16间的波形如图甲所示，质点10从该时刻计时的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．时刻，质点10向下振动 B．该波的传播方向向右 C．该时刻质点7已经振动了四分之三个周期 D．该时刻质点10和质点16的速度方向相反 【变式1-2】（25-26高二下·宁夏银川·期末）（多选）2026年5月全国艺术体操锦标赛中，15岁小将王淇首夺成年个人全能金牌，王淇进行带操比赛时彩带的运动可简化为一列沿轴方向传播的简谐横波，图甲是时的波形图，为该波传播方向上的质点，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．波沿轴负方向传播 B．时原点处的质点与质点位移相同 C．质点的平衡位置坐标为=2.0m D．原点处质点的振动方程为 模型02.∆t时间内位移和路程的求解 模型构建 质点不随波迁移，只在平衡位置简谐振动；位移、路程都是质点振动的物理量，不是波传播的距离 模型剖析 1.求质点位移“去整留零” ①利用公式法 把该质点的振动方程列出来，带入时间求解即可：X=Asin(wt+) ②振动轨迹法 找到质点的初位置，确定起振方向，然后让其振动相应的时间，来确定最终位置。 ③波动图像法（平移法） 画出待求时刻的波形图，然后通过图像观察其最终位置。 ④矢量圆法 简谐运动的位移，相当于圆周运动在该方向的分位移。 注意：一个周期对应一个波长，在三角函数图像中，对应2弧度。 2.求质点振动路程 ①一个周期路程=4个振幅， S=4nA n= ②半个周期路程=2个振幅， ③四分之一个周期路程不一定等于1个振具体情况具体分析。 【例2】（2026·浙江杭州·模拟预测）现代大型无人机编队表演中，数百甚至上千架无人机通过接收地面控制站发出的无线电指令实现同步飞行。在某次大型庆典活动中，技术人员采用数百架无人机编队表演模拟水波纹扩散的壮观效果。通过精确控制无人机模拟水面上质点的振动，形成以点为波源向外传播的圆形波。以某一方向建立轴，该传播方向上有a、b两架水平方向相距3m的无人机，如图甲所示。从计时开始a、b两无人机的振动图像分别如图乙、丙所示。则下列说法中正确的是（     ） A．无人机a的振动方程为 B．该波的波长可能为4m C．0.85s末a质点的振动方向向上，b质点的振动方向向下 D．0.85s末a质点的振动速度小于b质点的振动速度 【变式2-1】（2026·河北邢台·三模）（多选）平静的湖面上漂着相距L=0.8m的B、C两个浮标（可看成质点）。一列可视为简谐波的水波在湖面上沿两浮标连线传播，某时刻观察到两浮标的高度差为A（其中A为振幅），且速度相同。已知波长λ>0.8m，波速为v=8m/s，不考虑水波传播过程的能量损耗。下列说法正确的是（     ） A．水波的波长可能为1.2m B．水波的波长可能为2m C．浮标的振动周期可能为0.3s D．在周期内，浮标的振动路程可能为 【变式2-2】（2026·河北唐山·模拟预测）（多选）一列简谐横波沿x轴传播，时刻和时刻的部分波形图分别如图甲中的实线和虚线所示。已知该波的传播速度大小为15m/s，平衡位置在处的质点M振动的加速度a随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该波沿x轴负方向传播 B．该波的波长可能为14m C．时刻质点N偏离平衡位置的位移 D．0~1s内，质点M运动的路程可能为60cm 模型03.振动与波动图像的相互确定（波定时、动定位） 模型构建 波动图像（y-x 波形图，某一固定时刻 t0） · 横坐标：各质点平衡位置 x · 含义：同一时刻，不同质点的位移 · 已知：波长；可判断此刻各质点振动方向 振动图像（y-t 振动图，单个质点） · 横坐标：时间 t · 含义：同一个质点，不同时刻的位移 · 已知：周期 T；可判断该质点任意时刻振动方向 模型剖析 1.由波动图像确定振动图像 2.由振动图像确定波动图像 1.已知某点的位置、振动图像和波的传播方向、波长。 2.已知两点的位置、振动方向和波的传播方向、波长。 【例3】（2026·天津河西·三模）如图甲所示为一列沿轴传播的简谐横波在时刻的波形图。为传播介质中的三个质点，质点的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．该波的周期为 B．该波沿轴正方向传播 C．时，质点具有正向最大速度 D．时，质点的速度为零，加速度最大 【变式3-1】（2026·湖南岳阳·三模）一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0.1s时的波形图如图1所示，介质中某质点的振动图像如图2所示。则（　　 ） A．波的传播速度v=20m/s B．图2可能是x=2m处质点的振动图像 C．x=3m处质点的振动方程为 D．0.1s～0.2s时间内，x=2.5m处质点通过的路程为10cm 【变式3-2】（2026·天津南开·二模）（多选）如图甲所示，一列简谐横波沿水平直线传播，a、b为介质中相距30m的两个质点，某时刻a、b两质点正好都经过平衡位置，且a、b间只有一个波峰。已知这列波波源做简谐运动的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．波源的振动方程为x=2sinπt（cm） B．40s内位于波源的质点运动的路程为80cm C．该简谐横波传播速度的大小可能为7.5m/s D．该简谐横波传播速度的大小有四个可能值 模型04.机械波的多解问题 模型构建 传播方向双向性：波可以向左、向右传播（没有说明方向就两种可能） 时间周期性：相差整数个周期，波形完全一样 空间周期性：波形平移整数波长，图像重合 模型剖析 1.造成多解的原因 1. 传播方向的双向性 传播方向不确定，必有两种解。 2.波的时间周期性 若两时刻间隔周期的整数倍，则波形完全重合，且两波的各质点振动情况相同。 3.波的空间周期性 若两质点平衡位置坐标之差等于波长整数倍，则各质点振动情况完全相同。 2.常见多解问题的举例 1.方向的多解：（传播方向与振动方向的不确定 2.波长的多解：（两质点间的距离与波长的关系不确定） 3.周期的多解：（两时刻的与周期的关系不确定） 【例3】（2026·四川泸州·一模）如图所示，实线是某时刻的波形图像，虚线表示0.2s后的波形图像，下列说法正确的是（     ） A．若这列波向右传播，则可求它的最大周期 B．若这列波向左传播，则可确定它传播的距离的大小 C．若波速是35m/s，则波的传播方向向右 D．不管波的传播方向如何，由图像都可以确定的质点在0.2s时间内的位移和路程 【变式3-1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）一列简谐横波在某种均匀介质中沿x轴方向传播。P、Q是介质中相距L=10m的两质点，如图所示，在t=0时刻，P质点位于平衡位置向上振动，Q质点位于波谷位置。经过Δt=0.2s，Q质点第一次来到平衡位置，则下列说法正确的是（     ） A．若该波沿x轴正方向传播，则该波波长可能为6m B．若该波沿x轴负方向传播，则该波波长可能为6m C．该波在介质中的传播速度可能为10m/s D．该波在介质中的传播速度可能为12 m/s 【变式3-2】（2026·甘肃金昌·模拟预测）（多选）如图所示，一列简谐横波上P、Q两点平衡位置的距离为，该波由P向Q传播，当P点位于最高点时，Q点刚好位于平衡位置，波的频率为。下列说法正确的是（　　） A．波刚传到Q点时，Q点的振动方向向右 B．波的最大波长可能为1.6m C．波的传播速度可能为4.8m/s D．波的传播速度可能为12m/s 1．（2026·广西·高考真题）一列声波在空气中传播，波速是340米每秒，声波的频率是1000赫兹，则该声波的波长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北·高考真题）一列简谐横波沿 轴传播，波速为。时刻的波形图如图所示，此时处的质点 的振动方向沿 轴负方向，和处的质点均处于平衡位置。 (1)求波的传播方向、波长和周期 。 (2)从时刻开始，经多长时间质点 第二次到达平衡位置？ 3．（2026·四川·高考真题）如图所示，空气中水平放置两端开口的圆柱形长管、管内有a、b、c三个位置，a、b距离为，c在b右侧。持续驱动活塞使其在a、b间做周期为的简谐运动，管内形成稳定机械波。声波在空气中的传播速度取，管足够长。则（     ） A．管内机械波为横波 B．管内机械波的振幅为 C．管内机械波的波长为 D．每秒有10个完整的波经过位置c 4．（2026·贵州·高考真题）图（a）是绳波在某时刻的照片。设该绳波为简谐横波，以绳中各质点平衡位置的连线为轴、质点振动方向为轴，建立如图（b）所示的直角坐标系，图中实线、虚线分别表示和时绳波的图像。若该绳波沿轴负方向传播，周期大于。 (1)求绳波的波长和振幅； (2)求绳波的周期和传播速度； (3)在图（c）中，画出时绳波在0~2.0 m内的图像。 5．（2026·山东·高考真题）（多选）波源在时开始振动，产生一列沿轴正方向传播的简谐横波。时质点刚好开始振动，质点与的平衡位置相距。某时刻的波形如图所示，下列说法正确的是（     ） A．波速为 B．波长为 C．从图示状态经过，M和速度相同 D．从图示状态经过，M和偏离平衡位置的位移相同 【基础夯实】 1. （2026高三·全国·专题练习）如图所示，甲图为沿x轴传播的一列简谐横波在时刻的波动图像，乙图为参与波动质点P的振动图像，则下列判断正确的是（     ） A．该波的传播速率为4cm/s B．该波的传播方向沿x轴正方向 C．经过0.5s的时间，质点P沿波的传播方向向前传播2m D．该波在传播过程中若遇到3m的障碍物，能发生明显衍射现象 2. （2026高三·全国·专题练习）如图，波源S产生的简谐波向右传播，振动频率是100Hz，波速。波在传播过程中经过P、Q两点，已知距离，。在某一时刻，当S点经过平衡位置向上运动时，P、Q两点所在位置为（     ） A．P点处于波峰，Q点也处于波峰 B．P点处于波谷，Q点也处于波谷 C．P点处于波峰，Q点处于波谷 D．P点处于波谷，Q点处于波峰 3. （25-26高二下·广西南宁·期末）常温下，声音在空气和水中的传播速度约分别为340 m·s-1和1500 m·s-1 。在空气中波长为3.4 m的声波由空气传入水中，则该声波在水中的波长约为（     ） A．34 m B．15 m C．4.4 m D．3.4 m 4. （25-26高二下·北京通州·期末）一列沿x轴传播的简谐横波，其周期T=0.20s，在t=0时的波形图像如图所示。其中P、Q是介质中平衡位置分别处在x=1.0m和x=4.0m的两个质点，若此时质点P在正向最大位移处，质点Q通过平衡位置向下运动，则（     ） A．该波沿x轴负方向传播 B．该波的传播速度为2.0m/s C．经过0.50 s，质点Q通过的路程为10cm D．当质点Q到达波谷时，质点P位于平衡位置且向下运动 5. （2025高三·河北·专题练习）一根粗细均匀的足够长的绳子，用手握住一端连续上下抖动，可以看到如图所示的一列波，此时波刚好传播至质点，质点在平衡位置。则（     ） A．该过程波的传播速度增大 B．该过程波源振动频率增大 C．质点的起振方向向下 D．此后质点、振动方向始终相反 6. （2025高三·全国·专题练习）一列振幅为的简谐横波向右传播，在其传播路径上每隔选取一个质点，如图（a）所示，时刻波恰传到质点1，质点1立即开始向上振动，经过时间，所选取的1~9号质点间第一次出现如图（b）所示的波形，则下列判断正确的是（     ） A．时，质点1向上运动 B．时，质点8向上运动 C．至内，质点5运动的时间为0.2s D．至内，质点3通过的路程为15cm 7. （2023·山东济宁·模拟预测）甲、乙两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于和处，在时刻的波形如图所示，甲波恰好传到处，乙波恰好传到处。已知两列波的波速大小相等，乙波的周期为。则（　　） A．乙波的波速为 B．甲波的周期为 C．甲波在时刻传播到处 D．时间内，处质点通过的路程为 8. （2025高三·山东·专题练习）（多选）一列简谐横波在均匀介质中沿轴传播，时的波形如图甲所示，、为轴上的两质点，时两质点的位移相同，图乙为质点的振动图像，下列说法正确的是（     ） A．波沿轴正方向传播 B．该波的波速为 C．内质点经过的路程为 D．再过，、两质点的振动速度相同 9. （25-26高一下·北京海淀·期末）一列简谐横波沿轴负向传播，图中的实线和虚线分别代表此波在和时刻的波动图像，已知该波的周期大于，则以下说法正确的是（     ） A．该波上质点振动的振幅为 B．该波上质点振动的周期为 C．该波的周期为 D．该波的波速为 【培优拔高】 10. （25-26高一下·湖北武汉·期末）（多选）一列简谐横波沿轴正方向传播，从波传播到点开始计时，时刻波传播到轴上的B质点，波形如图所示．下列说法正确的是（     ） A．波长为 B．波速大小为 C．时，点加速度沿轴正向且最大 D．时，点经过平衡位置向下运动 11. （25-26高一下·河北石家庄·期末）在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a。t=0时，x=0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。时的波形如图所示。下列说法正确的是（     ） A．该列波起振方向沿y轴负方向 B．时，质点P4的速度最大 C．时，质点P3和质点P5相位相同 D．该列绳波的波速为 12. （25-26高一下·内蒙古包头·期末）图（a）中实线、虚线分别表示t=0和t=0.25s时某绳波（简谐横波）的图像，x轴为绳中各质点平衡位置的连线。若该绳波沿x轴负方向传播，周期大于0.25s。 (1)求绳波的波长和振幅； (2)求绳波的周期和传播速度； (3)在图（b）中，画出t=0.5s时绳波在0~2.0m内的图像。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 机械波的描述与综合问题 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.波的传播方向与振动方向 模型02.∆t时间内位移和路程的求解 模型03.振动与波动图像的相互确定（波定时、动定位） 模型04.机械波的多解问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.波的传播方向与振动方向 模型构建 波传播的是振动形式、能量；质点只在平衡位置上下振动，不随波迁移！ 已知其中一个方向，可判断另一个。 模型剖析 1.波的传播方向和振动方向的相互确定 1.上、下坡法 原理：沿波的传播方向看， “上坡下，下坡上”。 2.带动法 原理：先振动的质点带动邻近的后振动的质点. 方法：比P点先振动起来的点在其上方（下）则向上（下）振动。 3.微平移法 原理：波向前传播，波形也向前平移。 方法：作出经微小时间Δt后的波形，得到各质点经过Δt时间 到达的位置，此刻质点振动方向也就知道了。 4.同侧法 原理：质点的振动方向与波的传播方向在波的图象的同一侧。 补充：波峰质点必然向下振动，波谷质点必然向上振动。 2.下一时刻波形图的确定 1.特殊点法 原理：取几个特殊点，由传播方向确定它们的振动方向，描出 时间之后，各点所在位置，然后连接成为新的图像. 2.平移法 原理：由，算出波的传播距离，沿传播方向平移相应的距离即可。 【例1】（2026·河南郑州·模拟预测）一列简谐横波沿x轴传播，时的波形如图甲所示，平衡位置在处的质点P的振动图像如图乙所示，Q是平衡位置处于处的质点。下列说法正确的是（     ） A．该波的波速为0.5m/s B．该波沿x轴负方向传播 C．时，质点Q的加速度方向与速度方向相同 D．2~11s内质点P运动的路程为90cm 【答案】C 【详解】A． 从甲图（波形图）得波长，从乙图（质点P的振动图像）得周期，根据波速公式，故A错误； B． 由乙图可知，时质点P正沿y轴负方向运动，根据同侧法可判断波沿x轴正方向传播，故B错误； C．时，结合传播方向判断，此时Q正向y轴正方向运动，速度也沿y轴正方向； 质点Q处于的位置：简谐运动中加速度方向始终指向平衡位置，因此Q的加速度沿y轴正方向；所以质点Q的加速度方向与速度方向相同，故C正确； D．2~11s的时间间隔，简谐运动中一个周期内质点路程为（），个周期的总路程为，故D错误。 故选C 。 【变式1-1】（2026·重庆江北·三模）用“横波演示器”模拟横波的形成过程，初始时介质中各质点均处于平衡位置。某时刻质点1至16间的波形如图甲所示，质点10从该时刻计时的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．时刻，质点10向下振动 B．该波的传播方向向右 C．该时刻质点7已经振动了四分之三个周期 D．该时刻质点10和质点16的速度方向相反 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，时质点10位于平衡位置，此后位移沿正方向增大，因此质点10此时向上振动，故A错误； B．图甲中质点10右侧相邻质点位于平衡位置上方，若波形向左传播，经过极短时间后该部分波形将到达质点10，质点10将向上振动，这与图乙相符，因此该波向左传播，故B错误； C．波向左传播，由图甲可知质点至质点尚未振动，质点处为波前。设相邻质点间距为，质点到质点16之间的波形为一个完整波长，则 质点到波前质点的距离为 根据，质点已经振动的时间为 因此质点只振动了四分之一个周期，故C错误； D．质点10与质点16之间的距离为 两质点的振动相位相反，此时质点10向上振动，质点16向下振动，二者速度方向相反，故D正确。 故选D。 【变式1-2】（25-26高二下·宁夏银川·期末）（多选）2026年5月全国艺术体操锦标赛中，15岁小将王淇首夺成年个人全能金牌，王淇进行带操比赛时彩带的运动可简化为一列沿轴方向传播的简谐横波，图甲是时的波形图，为该波传播方向上的质点，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．波沿轴负方向传播 B．时原点处的质点与质点位移相同 C．质点的平衡位置坐标为=2.0m D．原点处质点的振动方程为 【答案】BC 【详解】A．由图乙可知，周期，振幅为，时，P点振动方向向上，结合图甲可知，波沿x轴正方向传播，A错误； B．由图甲可知，时，原点处的质点从平衡位置向下振动，即，偏离平衡位置位移为 时，质点P向上振动，再经到达平衡位置，则时偏离平衡位置位移，故B正确； C．P点经过回到平衡位置，说明平衡位置处质点的振动传到P，则质点的平衡位置坐标 由图甲可知波长，根据 解得，故C正确； D．设原点处质点的振动方程为 如图甲知时，原点处质点偏离平衡位置位移，且运动方向向下，根据圆频率 可得 故原点处质点的振动方程为，故D错误。 故选BC。 模型02.∆t时间内位移和路程的求解 模型构建 质点不随波迁移，只在平衡位置简谐振动；位移、路程都是质点振动的物理量，不是波传播的距离 模型剖析 1.求质点位移“去整留零” ①利用公式法 把该质点的振动方程列出来，带入时间求解即可：X=Asin(wt+) ②振动轨迹法 找到质点的初位置，确定起振方向，然后让其振动相应的时间，来确定最终位置。 ③波动图像法（平移法） 画出待求时刻的波形图，然后通过图像观察其最终位置。 ④矢量圆法 简谐运动的位移，相当于圆周运动在该方向的分位移。 注意：一个周期对应一个波长，在三角函数图像中，对应2弧度。 2.求质点振动路程 ①一个周期路程=4个振幅， S=4nA n= ②半个周期路程=2个振幅， ③四分之一个周期路程不一定等于1个振具体情况具体分析。 【例2】（2026·浙江杭州·模拟预测）现代大型无人机编队表演中，数百甚至上千架无人机通过接收地面控制站发出的无线电指令实现同步飞行。在某次大型庆典活动中，技术人员采用数百架无人机编队表演模拟水波纹扩散的壮观效果。通过精确控制无人机模拟水面上质点的振动，形成以点为波源向外传播的圆形波。以某一方向建立轴，该传播方向上有a、b两架水平方向相距3m的无人机，如图甲所示。从计时开始a、b两无人机的振动图像分别如图乙、丙所示。则下列说法中正确的是（     ） A．无人机a的振动方程为 B．该波的波长可能为4m C．0.85s末a质点的振动方向向上，b质点的振动方向向下 D．0.85s末a质点的振动速度小于b质点的振动速度 【答案】D 【详解】A．无人机a的振动方程为，故A错误； B．由题意可知a、b两无人机的相位差为，有（n=0，1，2，…） 可得 依次代入的值可知该波的波长不可能为4m，故B错误； C．由图可得0.85s末a质点的振动方向向下，b质点的振动方向向上，故C错误； D．无人机b的振动方程为 0.85s末，a质点的位移为 0.85s末，b质点的位移为 因为，所以 可得0.85s末，b质点距离平衡位置比a质点更近，可知b质点的振动速度大于a质点的振动速度，故D正确。 故选D。 【变式2-1】（2026·河北邢台·三模）（多选）平静的湖面上漂着相距L=0.8m的B、C两个浮标（可看成质点）。一列可视为简谐波的水波在湖面上沿两浮标连线传播，某时刻观察到两浮标的高度差为A（其中A为振幅），且速度相同。已知波长λ>0.8m，波速为v=8m/s，不考虑水波传播过程的能量损耗。下列说法正确的是（     ） A．水波的波长可能为1.2m B．水波的波长可能为2m C．浮标的振动周期可能为0.3s D．在周期内，浮标的振动路程可能为 【答案】AC 【详解】AB．设两浮标振动的相位差为Δϕ，已知两浮标速度相同，根据对称性每个浮标到平衡的位移大小为，利用简谐振动位移、速度的关系推导得 又因为沿波传播方向，相位差满足，且 故，得两种可能： 代入得 代入得，故A正确，B错误； C．由 解得T=0.15s或0.3s，故C正确； D．对某一浮标由振动方程 该时刻其位移为 经其位移为 当初始相位不同时，经后位移可能为 路程仅可能为或，故D错误。 故选AC。 【变式2-2】（2026·河北唐山·模拟预测）（多选）一列简谐横波沿x轴传播，时刻和时刻的部分波形图分别如图甲中的实线和虚线所示。已知该波的传播速度大小为15m/s，平衡位置在处的质点M振动的加速度a随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该波沿x轴负方向传播 B．该波的波长可能为14m C．时刻质点N偏离平衡位置的位移 D．0~1s内，质点M运动的路程可能为60cm 【答案】AC 【详解】A．根据牛顿第二定律可知时刻处的质点向轴负方向运动，根据同侧法可知该波沿x轴负方向传播，故A正确； B．根据题图可知 且 可得 则波长 可知，波长等于12m，故B错误； C．点与点的相位差为 时刻质点N偏离平衡位置的位移，故C正确； D．时间，无论取何整数，都不可能等于，所以0~1s内，质点M运动的路程不可能为60cm，故D错误。 故选AC。 模型03.振动与波动图像的相互确定（波定时、动定位） 模型构建 波动图像（y-x 波形图，某一固定时刻 t0） · 横坐标：各质点平衡位置 x · 含义：同一时刻，不同质点的位移 · 已知：波长；可判断此刻各质点振动方向 振动图像（y-t 振动图，单个质点） · 横坐标：时间 t · 含义：同一个质点，不同时刻的位移 · 已知：周期 T；可判断该质点任意时刻振动方向 模型剖析 1.由波动图像确定振动图像 2.由振动图像确定波动图像 1.已知某点的位置、振动图像和波的传播方向、波长。 2.已知两点的位置、振动方向和波的传播方向、波长。 【例3】（2026·天津河西·三模）如图甲所示为一列沿轴传播的简谐横波在时刻的波形图。为传播介质中的三个质点，质点的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．该波的周期为 B．该波沿轴正方向传播 C．时，质点具有正向最大速度 D．时，质点的速度为零，加速度最大 【答案】C 【详解】A．根据图乙可得该波的周期为，故A错误； B．图乙是质点b的振动图像，在t＝0的时刻质点b的振动方向为沿轴负方向，根据“上下坡法”，可知该波沿x轴负方向传播，故B错误； C．根据图甲可得该波的波长为，则波速为 波沿x轴负方向传播，经t＝0.7s，波向x轴负方向传播了 可得t＝0.7s时，波的图像如图中虚线所示 由图可知在t＝0.7s时，质点处于平衡位置，因波沿x轴负方向传播，根据“上下坡”法，可知质点a的速度方向为沿y轴正方向，即此时质点具有正向最大速度，故C正确； D．因，即的波形图与的波形图相同，所以波沿x轴负方向传播，经t＝0.1s，波向x轴负方向传播了 可得t＝0.1s，即t=0.9s时波的图像如图中虚线所示 由图可知在t＝0.9s时，质点处于平衡位置，因波沿x轴负方向传播，根据“上下坡”法，可知质点c的速度方向为沿y轴正方向，即此时质点具有正向最大速度，加速度为零，故D错误。 故选C。 【变式3-1】（2026·湖南岳阳·三模）一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0.1s时的波形图如图1所示，介质中某质点的振动图像如图2所示。则（　　 ） A．波的传播速度v=20m/s B．图2可能是x=2m处质点的振动图像 C．x=3m处质点的振动方程为 D．0.1s～0.2s时间内，x=2.5m处质点通过的路程为10cm 【答案】C 【详解】通过波形图（图1）可得：波长 通过振动图（图2）可得：周期，振幅 则角频率 A．波速，A错误。 B．由图1知时，处质点在平衡位置。图2中质点位于波峰位置，二者矛盾，因此图2不可能是x=2m处质点的振动图像，故B错误。 C．处质点，振动方程为： 位于波谷，位移，代入，求得 因此x=3m处质点的振动方程为：，C正确。 D．时间间隔 时质点靠近平衡位置运动，可知其四分之一周期内路程大于10cm，D错误。 故选。 【变式3-2】（2026·天津南开·二模）（多选）如图甲所示，一列简谐横波沿水平直线传播，a、b为介质中相距30m的两个质点，某时刻a、b两质点正好都经过平衡位置，且a、b间只有一个波峰。已知这列波波源做简谐运动的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．波源的振动方程为x=2sinπt（cm） B．40s内位于波源的质点运动的路程为80cm C．该简谐横波传播速度的大小可能为7.5m/s D．该简谐横波传播速度的大小有四个可能值 【答案】BC 【详解】A．从图乙振动图像可得：振幅，周期，因此角频率 波源的振动方程为，故A错误； B．一个周期内质点振动路程为，，总路程为，故B正确； CD．已知、都在平衡位置，间距，且、间只有一个波峰，共3种情况： 、间无波谷：，得，波速 、间有1个波谷：，得，波速 、间有2个波谷：，得，波速 因此波速大小有3种可能，其中包含，故C正确，D错误。 故选BC。 模型04.机械波的多解问题 模型构建 传播方向双向性：波可以向左、向右传播（没有说明方向就两种可能） 时间周期性：相差整数个周期，波形完全一样 空间周期性：波形平移整数波长，图像重合 模型剖析 1.造成多解的原因 1. 传播方向的双向性 传播方向不确定，必有两种解。 2.波的时间周期性 若两时刻间隔周期的整数倍，则波形完全重合，且两波的各质点振动情况相同。 3.波的空间周期性 若两质点平衡位置坐标之差等于波长整数倍，则各质点振动情况完全相同。 2.常见多解问题的举例 1.方向的多解：（传播方向与振动方向的不确定 2.波长的多解：（两质点间的距离与波长的关系不确定） 3.周期的多解：（两时刻的与周期的关系不确定） 【例3】（2026·四川泸州·一模）如图所示，实线是某时刻的波形图像，虚线表示0.2s后的波形图像，下列说法正确的是（     ） A．若这列波向右传播，则可求它的最大周期 B．若这列波向左传播，则可确定它传播的距离的大小 C．若波速是35m/s，则波的传播方向向右 D．不管波的传播方向如何，由图像都可以确定的质点在0.2s时间内的位移和路程 【答案】A 【详解】A．时间间隔 若波向右传播，可得时间关系 解得周期 当时，取得最大值 因此可以求出最大周期，故A正确； B．由图可得波长 若波向左传播，传播距离 取不同值时，不同，无法确定传播距离的大小，故B错误； C．若 ，内传播距离 符合波向左传播的距离规律，因此波向左传播，故C错误； D．由于周期不确定，所以无法确定的质点在时间内的路程，故D错误。 故选A。 【变式3-1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）一列简谐横波在某种均匀介质中沿x轴方向传播。P、Q是介质中相距L=10m的两质点，如图所示，在t=0时刻，P质点位于平衡位置向上振动，Q质点位于波谷位置。经过Δt=0.2s，Q质点第一次来到平衡位置，则下列说法正确的是（     ） A．若该波沿x轴正方向传播，则该波波长可能为6m B．若该波沿x轴负方向传播，则该波波长可能为6m C．该波在介质中的传播速度可能为10m/s D．该波在介质中的传播速度可能为12 m/s 【答案】C 【详解】A．若该波沿轴正方向传播，那么根据题意有 则，显然不可能等于，故A错误； B．同理分析可知，若该波沿轴负方向传播，那么有 则，波长也不可能等于，故B错误； CD．由题意可知，该波的周期，波速，若波沿轴正方向传播，则波速为 若波沿轴负方向传播，则波速为 显然当波沿轴正方向传播且时，传播速度为；无论波沿轴正方向还是负方向传播，传播速度都不可能为，故C正确，D错误。 故选C。 【变式3-2】（2026·甘肃金昌·模拟预测）（多选）如图所示，一列简谐横波上P、Q两点平衡位置的距离为，该波由P向Q传播，当P点位于最高点时，Q点刚好位于平衡位置，波的频率为。下列说法正确的是（　　） A．波刚传到Q点时，Q点的振动方向向右 B．波的最大波长可能为1.6m C．波的传播速度可能为4.8m/s D．波的传播速度可能为12m/s 【答案】BC 【详解】A．简谐波由P向Q传播，波刚好传到Q点时，Q点的振动方向沿竖直方向，故A错误； B．若Q点向上振动，则P、Q两点之间的距离为 整理得 可知时，波长 若Q点向下振动，则P、Q两点之间的距离为 整理得 可知时，波长，故B正确； CD．若Q点向上振动，则波速为 可知n取1时，绳波的传播速度为 若绳波的传播速度为时；若Q点向下振动，则波速为 绳波的传播速度为时，故C正确，D错误。 故选BC。 1．（2026·广西·高考真题）一列声波在空气中传播，波速是340米每秒，声波的频率是1000赫兹，则该声波的波长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】波速、波长、频率满足波的基本关系 变形可得波长计算公式 代入题干数据， 计算得 故选A。 2．（2026·湖北·高考真题）一列简谐横波沿 轴传播，波速为。时刻的波形图如图所示，此时处的质点 的振动方向沿 轴负方向，和处的质点均处于平衡位置。 (1)求波的传播方向、波长和周期 。 (2)从时刻开始，经多长时间质点 第二次到达平衡位置？ 【答案】(1)沿x负方向传播，， (2) 【详解】（1）根据题意时刻质点P的振动方向沿y轴负方向，根据同侧法可知波沿x负方向传播，根据图像可知波长 周期为 （2）根据波传播的特性，当时处质点的振动形式传播到P位置时，质点P第一次到达平衡位置，需要的时间为 故质点P第二次到达平衡位置时经过的时间为 3．（2026·四川·高考真题）如图所示，空气中水平放置两端开口的圆柱形长管、管内有a、b、c三个位置，a、b距离为，c在b右侧。持续驱动活塞使其在a、b间做周期为的简谐运动，管内形成稳定机械波。声波在空气中的传播速度取，管足够长。则（     ） A．管内机械波为横波 B．管内机械波的振幅为 C．管内机械波的波长为 D．每秒有10个完整的波经过位置c 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，管内机械波振动方向与传播方向平行，则管内机械波为纵波，故A错误； B．活塞在间做简谐运动，且间距离为，则管内机械波的振幅为，故B错误； C．管内机械波的波长为，故C错误； D．管内机械波的周期为，则每秒有个完整的波经过位置，故D正确； 故选D。 4．（2026·贵州·高考真题）图（a）是绳波在某时刻的照片。设该绳波为简谐横波，以绳中各质点平衡位置的连线为轴、质点振动方向为轴，建立如图（b）所示的直角坐标系，图中实线、虚线分别表示和时绳波的图像。若该绳波沿轴负方向传播，周期大于。 (1)求绳波的波长和振幅； (2)求绳波的周期和传播速度； (3)在图（c）中，画出时绳波在0~2.0 m内的图像。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）由题图（b）可知绳波的波长为 振幅 （2）由于绳波沿x轴负方向传播，则由题图（b）可知绳波从到，传播的时间为 由于 则n只能取0，解得 则波速 （3）时间，则此时的波形为时的图像沿x轴负方向传播半个周期，0~2.0 m内的图像为题图中实线关于x轴对称的图像，如图所示 5．（2026·山东·高考真题）（多选）波源在时开始振动，产生一列沿轴正方向传播的简谐横波。时质点刚好开始振动，质点与的平衡位置相距。某时刻的波形如图所示，下列说法正确的是（     ） A．波速为 B．波长为 C．从图示状态经过，M和速度相同 D．从图示状态经过，M和偏离平衡位置的位移相同 【答案】BD 【详解】B．根据题图有 可得波长，故B正确； A．结合B项分析可知 所以该波的波速，故A错误； C．从题图示状态经过，则波沿轴正方向传播了，故从平衡位置运动到了波峰位置，速度为0，N从波谷位置运动到了平衡位置，速度最大，显然两点速度不同，故C错误； D．该波的周期 从图示时刻计时，的振动方程为 N的振动方程为 经后，，故D正确。 故选BD。 【基础夯实】 1. （2026高三·全国·专题练习）如图所示，甲图为沿x轴传播的一列简谐横波在时刻的波动图像，乙图为参与波动质点P的振动图像，则下列判断正确的是（     ） A．该波的传播速率为4cm/s B．该波的传播方向沿x轴正方向 C．经过0.5s的时间，质点P沿波的传播方向向前传播2m D．该波在传播过程中若遇到3m的障碍物，能发生明显衍射现象 【答案】D 【详解】A．由图知，波长，周期，波速，A错误； B．由乙图知，时，质点向下振动，则由甲图知，波沿x轴负方向传播，B错误； C．简谐横波传播过程中，质点仅在平衡位置附近振动，不会随波的传播发生迁移，C错误； D．因障碍物长度小于波长，衍射现象比较明显，D正确。 故选D。 2. （2026高三·全国·专题练习）如图，波源S产生的简谐波向右传播，振动频率是100Hz，波速。波在传播过程中经过P、Q两点，已知距离，。在某一时刻，当S点经过平衡位置向上运动时，P、Q两点所在位置为（     ） A．P点处于波峰，Q点也处于波峰 B．P点处于波谷，Q点也处于波谷 C．P点处于波峰，Q点处于波谷 D．P点处于波谷，Q点处于波峰 【答案】C 【详解】由，得波长，， 当点经过平衡位置向上运动时，波源产生的向右传播的波形如下图所示。 距点处质点的振动与处的振动状态相同，由此知处在波峰，同时处在波谷，故C正确，ABD错误。 故选C。 3. （25-26高二下·广西南宁·期末）常温下，声音在空气和水中的传播速度约分别为340 m·s-1和1500 m·s-1 。在空气中波长为3.4 m的声波由空气传入水中，则该声波在水中的波长约为（     ） A．34 m B．15 m C．4.4 m D．3.4 m 【答案】B 【详解】机械波的频率由波源决定，因此声波从空气传入水中时频率保持不变，机械波的频率为 在水中的波长为 故选B。 4. （25-26高二下·北京通州·期末）一列沿x轴传播的简谐横波，其周期T=0.20s，在t=0时的波形图像如图所示。其中P、Q是介质中平衡位置分别处在x=1.0m和x=4.0m的两个质点，若此时质点P在正向最大位移处，质点Q通过平衡位置向下运动，则（     ） A．该波沿x轴负方向传播 B．该波的传播速度为2.0m/s C．经过0.50 s，质点Q通过的路程为10cm D．当质点Q到达波谷时，质点P位于平衡位置且向下运动 【答案】D 【详解】A．由题意可知，t=0时刻质点Q通过平衡位置向下运动，由同侧法可知，该波沿x轴正方向传播，故A错误； B．由图可知，该波波长为4m，则波速，故B错误； C．由图可知，该波振幅A为2cm，经过0.5s（即经过），质点Q通过的路程，故C错误； D．经过四分之一周期，质点Q到达波谷，此时质点P位于平衡位置且向下运动，故D正确。 故选D。 5. （2025高三·河北·专题练习）一根粗细均匀的足够长的绳子，用手握住一端连续上下抖动，可以看到如图所示的一列波，此时波刚好传播至质点，质点在平衡位置。则（     ） A．该过程波的传播速度增大 B．该过程波源振动频率增大 C．质点的起振方向向下 D．此后质点、振动方向始终相反 【答案】B 【详解】A．机械波的传播速度与介质有关，同种介质波速不变，故A错误； B．由题图可知，左侧是波源最新的振动，右侧是波源先发生的振动，该过程波的波长变小，由可知波源的振动频率变大，故B正确； C．在波的传播方向上任意质点的起振方向都和波源的起振方向相同，波向右传播，由“同侧法”可知质点将向上振动，即质点的起振方向向上，所以质点的起振方向向上，故C错误； D．此时质点、振动方向相反，此后频率变大，也可能出现振动方向相同的情况，故D错误。 故选B。 6. （2025高三·全国·专题练习）一列振幅为的简谐横波向右传播，在其传播路径上每隔选取一个质点，如图（a）所示，时刻波恰传到质点1，质点1立即开始向上振动，经过时间，所选取的1~9号质点间第一次出现如图（b）所示的波形，则下列判断正确的是（     ） A．时，质点1向上运动 B．时，质点8向上运动 C．至内，质点5运动的时间为0.2s D．至内，质点3通过的路程为15cm 【答案】C 【详解】AB．波向右传播，由题图（b）根据“同侧法”可知，时，质点1向下运动，质点8向下运动，故AB错误； C．时刻波恰好传到质点1，质点1立即开始向上运动，且经过0.3s第一次出现如题图（b）所示的波形，则有 解得，由题图（b）可知波长，所以波速 波从质点1传播到质点5所需时间 则至内，质点5运动的时间为0.2s，故C正确； D．波从质点1传播到质点3所需时间 则至内，质点3运动的时间为 质点3通过的路程，故D错误。 故选C。 7. （2023·山东济宁·模拟预测）甲、乙两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于和处，在时刻的波形如图所示，甲波恰好传到处，乙波恰好传到处。已知两列波的波速大小相等，乙波的周期为。则（　　） A．乙波的波速为 B．甲波的周期为 C．甲波在时刻传播到处 D．时间内，处质点通过的路程为 【答案】C 【详解】A．由图知乙波的波长为，乙波的周期为，所以乙在介质中的波速 故A错误； B．由图知甲波的波长为，波速与乙波相同，所以可求得甲波的周期 故B错误； C．甲波从处传播到处的时间 故C正确； D．在时间内，处质点的路程，故D错误。 故选C。 8. （2025高三·山东·专题练习）（多选）一列简谐横波在均匀介质中沿轴传播，时的波形如图甲所示，、为轴上的两质点，时两质点的位移相同，图乙为质点的振动图像，下列说法正确的是（     ） A．波沿轴正方向传播 B．该波的波速为 C．内质点经过的路程为 D．再过，、两质点的振动速度相同 【答案】BD 【详解】A．由图乙可知时质点A沿y轴负方向振动，根据“上下坡”法和图甲可知波沿x轴负方向传播，A错误； B．质点的振动方程为，时，，可得，时的波动方程，时，，可得，该波的波速为，B正确； C．时质点沿轴正方向振动，取为时间零点，质点的振动方程为，代入时得，时，内质点振动一个周期后，相当于运动到A所在位置，经过的路程为，C错误； D．由波的传播规律可知，当、的中点位置处于平衡位置时，、两质点位移大小相等，方向相反，速度相同，即，n=0、1、2、…，当时，，D正确。 故选BD。 9. （25-26高一下·北京海淀·期末）一列简谐横波沿轴负向传播，图中的实线和虚线分别代表此波在和时刻的波动图像，已知该波的周期大于，则以下说法正确的是（     ） A．该波上质点振动的振幅为 B．该波上质点振动的周期为 C．该波的周期为 D．该波的波速为 【答案】C 【详解】A．由图可知，该波的振幅 A=2.0cm，故A错误； BC．由图可知波长 λ=4m。波沿 x 轴负向传播，根据波形的平移法可知，实线波形向左平移（n=0，1，2,…） 可与虚线重合。则传播时间（n=0，1，2,…） 解得（n=0，1，2,…） 因为 T>1s，所以 n 只能取 0，此时，故B错误，C正确； D．该波的波速，故D错误。 故选C。 【培优拔高】 10. （25-26高一下·湖北武汉·期末）（多选）一列简谐横波沿轴正方向传播，从波传播到点开始计时，时刻波传播到轴上的B质点，波形如图所示．下列说法正确的是（     ） A．波长为 B．波速大小为 C．时，点加速度沿轴正向且最大 D．时，点经过平衡位置向下运动 【答案】ABC 【详解】A．由图可知波长为，故A正确； B．从波传播到O点开始计时，t=2s时刻波传播到x轴上的B质点，则波速为，故B正确； C．波的周期 时，即再过2s（一个周期），A点还是处于负的最大位移位置，则A点加速度沿y轴正向且最大，故C正确； D．时，即再过4s（两个周期），点还是处于题图所处位置，根据同侧法可知点经过平衡位置向上运动，故D错误。 故选ABC。 11. （25-26高一下·河北石家庄·期末）在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a。t=0时，x=0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。时的波形如图所示。下列说法正确的是（     ） A．该列波起振方向沿y轴负方向 B．时，质点P4的速度最大 C．时，质点P3和质点P5相位相同 D．该列绳波的波速为 【答案】D 【详解】A．波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知，质点沿y轴正方向振动，因此该列波起振方向沿y轴正方向，故A错误； B．时，质点在最大位移处，速度最小且为0，故B错误； C．时，质点和质点位移相同，振动方向相反，因此相位不同，故C错误； D．由图可知，该波波长为8a，则波速，故D正确。 故选D。 12. （25-26高一下·内蒙古包头·期末）图（a）中实线、虚线分别表示t=0和t=0.25s时某绳波（简谐横波）的图像，x轴为绳中各质点平衡位置的连线。若该绳波沿x轴负方向传播，周期大于0.25s。 (1)求绳波的波长和振幅； (2)求绳波的周期和传播速度； (3)在图（b）中，画出t=0.5s时绳波在0~2.0m内的图像。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）由图（a）可知，相邻两波峰或相邻两波谷间的距离为，故波长 质点偏离平衡位置的最大距离为，故振幅 （2）从到，波沿轴负方向传播。因 该时间内波形向左移动的距离小于一个波长；比较实线和虚线，波形向左移动的距离 故 解得 由波速公式得 （3）从到，波形沿轴负方向移动的距离 因此，在、、处质点位移均为零，在处为波谷，在处为波峰，图像如答案所示。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $