第4讲 简谐运动模型（模型与方法）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦简谐运动模型这一核心知识点，从线性回复力F=-kx的定义出发，系统梳理位移与周期（结合辅助圆分析分位移及周期性规律）、对称性（空间对称的瞬时量关系与时间对称的过程量关系）、典型模型（弹簧振子、万有引力作用下的简谐运动等）及单摆（摆长、等效重力加速度与周期公式），构建从概念到应用的学习支架。 该资料以模型建构为特色，通过“模型构建-剖析-例题-变式”结构强化科学思维，如模型01用辅助圆推导位移公式，模型04拓展单摆等效重力加速度。真题演练结合各地期末考题，分层练测实现精准提效，课中辅助教师规范教学逻辑，课后帮助学生查漏补缺，提升实战能力。

第4讲 简谐运动模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.简谐运动的位移与周期 模型02.简谐运动的对称性 模型03.几种简谐运动模型 模型04.单摆 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.简谐运动的位移与周期 模型构建 物体受到线性回复力： · k：比例系数（不一定是弹簧劲度系数） · 负号：力始终指向平衡位置，与位移方向相反 只要满足 F=-kx，物体一定做简谐运动。 模型剖析 1.简谐运动位移的求解 简谐运动的位移，相当于圆周运动在该方向的分位移。 2.简谐运动的周期性 设t1、t2为简谐运动的两个时刻，T为周期。 ①若t2--t1=nT（周期的整数倍） t2、t1两时刻物体运动情况完全相同，x、a、v、Ek、Ep大小方向都相同。 ②若t2-t1= (n+)T(半周期的奇数倍) t2、t1两时刻物体运动情况完全相同 矢量：x、a、v、大小相同方向相反 标量：Ek、Ep大小相同。 ③若t2-t1= (n+)T t2、t1两时刻物体运动情况，具体问题具体分析。 特殊位置： t1在平衡位置处 t2到最大位移处。 t1在最大位移处 t2到平衡位置处。 其他位置：（结合辅助圆求路程） 【例1】（25-26高一下·四川成都·期末）如图（a）所示，弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动，O为平衡位置，以向右为正方向，振子的位移随时间的变化如图（b）所示。下列说法正确的是（     ） A．3s时振子的速度最大 B．振子从M运动到N的时间为2s C．M、N间距为5cm D．2s～3s内振子从O运动到N 【答案】B 【详解】A．3s时振子在最大位移处，速度为0，故A错误； B．由图（b）可知，振动周期为4s，振子从M运动到N的时间为半个周期，即2s，故B正确； C．由图（b）可知，振幅为5cm，M、N间距为2倍振幅，即10cm，故C错误； D．由图（b）可知，2s~3s内振子位移为负且增大，因此该段时间振子从O到M，故D错误。 故选B。 【变式1-1】（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）如图所示为一弹簧振子做简谐振动的位移—时间图像。振子的振动周期为T，振幅为A，t0（t0为未知量）时刻该振子处于平衡位置，则下列说法正确的是（     ） A．时刻，振子的加速度最大 B．t=0时刻振子正在向远离平衡位置的方向运动 C． D．振子的振动方程为 【答案】A 【详解】A．时刻，振子位于正向位移最大处，可知此时的加速度为负向最大，A正确； B．由图像可知，t=0时刻振子正在从平衡位置上方向平衡位置的方向运动，B错误； CD．因，则根据振子的振动方程为 当时x=0，即； 当时，即 可得， 振子的振动方程为，则CD错误； 故选A。 【变式1-2】（25-26高二下·湖北黄冈·阶段检测）（多选）如图所示，一光滑竖直管内有一轻弹簧，轻弹簧的下端固定在地面上，上端自由伸长，将一小球从轻弹簧上端恰好与弹簧接触处由静止释放，忽略空气阻力，小球做简谐运动，运动过程中通过、两点的加速度大小分别为 、 为当地的重力加速度。小球向下经过点时开始计时，时刻经过点，该小球的简谐运动的周期可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题可知，小球的最大回复力为，设该振动的振幅为，在平衡位置时有 当点在平衡位置上方，点在平衡位置下方时，根据点的加速度大小为，可得小球在点时回复力为 ，则点在平衡位置上方 处 根据点的加速度大小为，可得小球在点的回复力为 ，则点在平衡位置下方 处 若小球向下经过点时开始计时，时刻小球向下经过点，则有 解得此时小球的简谐运动的周期可能为 若小球向下经过点时开始计时，时刻小球向上经过点，则有 解得此时小球的简谐运动的周期可能为 当、两点都在平衡位置下方时，点在平衡位置下方 处，点在平衡位置下方 处 若小球向下经过点时开始计时，时刻小球向下经过点，则有 解得此时小球的简谐运动的周期可能为 若小球向下经过点时开始计时，时刻小球向上经过点，则有 解得此时小球的简谐运动的周期可能为 故选ACD。 模型02.简谐运动的对称性 模型构建 简谐运动以平衡位置 O为中心往复振动；所有对称均围绕平衡位置。 坐标：位移 x（相对平衡位置），振幅 A。 模型剖析 1. 空间的对称（瞬时量的对称性） 做简谐运动的物体，经过关于平衡位置对称的两个点时，存在对称性。 加速度（a）、位移（x）：大小相等、方向相反 速度（v）：大小相等，方向相反/相同。 动能（EK）、势能（Ep）：大小相等 2. 时间的对称性（过程量的对称性） 振动物体在简谐运动中，关于平衡位置对称的任意两段运动，所需时间相同。 【例2】（25-26高二下·河南郑州·期末）如图甲所示，一根粗细均匀的木筷，下端绕几圈细铁丝（铁丝体积可忽略）后竖直悬浮在装有盐水的杯子中。现把木筷竖直向上提起一段距离后放手，忽略水的粘滞阻力及水面高度变化，其在水中的运动可视为简谐运动。以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，木筷下端的位移y随时间t变化的图像如图乙所示。已知盐水的密度为ρ，木筷的横截面积为S，木筷下端到水面的最小距离为h1，最大距离为h2。则（　　） A．木筷在t0~5t0时间内动能先减小后增大 B．木筷做简谐运动的振幅为 C．木筷（含铁丝）的质量为 D．木筷下端在t=0时刻的位移为 【答案】B 【详解】A．木筷在t0~5t0时间内由正向最大位移处运动到负向最大位移处，速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，故A错误； B．由简谐运动的对称性可得 所以，故B正确； C．木筷静止在平衡位置时，所受浮力与重力相等，即 所以，故C错误； D．木筷振动方程为，，， 将t=0代入，可得 即木筷下端在t=0时刻的位移为，故D错误。 故选B。 【变式2-1】（25-26高一下·新疆哈密·期末）如图所示，弹簧振子在、间振动，振子从到历时，振子经、两点时速度相同，若它从再回到的时间为，则该振子的振动周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】振子经、两点时速度相同，说明、关于对称；振子从到历时，由对称性可知，从到与从到的时间相等，即 设从到的时间为，则从向右到再向左回到的时间为，从再回到的时间为，则 解得 因此，从到的时间为 解得 故选B。 【变式2-2】（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，底座固定，用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动，周期为，则下列说法正确的是（     ） A．若时间内头部的位移大小等于一个振幅，则一定等于的整数倍 B．若时刻和时刻头部的加速度相同，则振子的速度一定相同 C．若，则在时刻和时刻头部的速度大小一定相等 D．若，则在时刻和时刻弹簧的长度不一定相等 【答案】C 【详解】A．只有当位移的初位置在平衡位置、末位置在最大位移处（或反之）时，位移大小为振幅时，才等于。若初位置不在平衡位置或最大位移处，也可以出现位移大小等于振幅的情况，此时不是的整数倍，故A错误； B．简谐运动中加速度，加速度相同说明位移相同，即头部在同一位置；振子经过同一位置时速度方向可能相反，因此速度不一定相同，故B错误； C．根据简谐运动的性质，若时间间隔，则位移相反，加速度相反，速度大小相等、方向相反，因此速度大小一定相等，故C正确； D．简谐运动经过一个周期，头部运动状态完全重复，会回到原位置，因此弹簧的形变量和长度一定相等，故D错误。 故选C。 模型03.几种简谐运动模型 模型构建 类型一：匀速圆周运动的简谐 推导：r为圆周运动半径，x为偏离平衡位置的位移，k为回复系数； 类型二：弹簧振子 推导：r为圆周运动半径，x为偏离平衡位置的位移，k为回复系数； k为劲度系数，等于回复系数 类型三：万有引力作用下的简谐 题型一： 推导：M'为上图中虚线所代表球体的质量，x为偏离平衡位置的位移，ρ为地球密度，k为回复系数； 题型二： 推导：M'为上图中虚线所代表球体的质量，x为偏离平衡位置的位移，为地球密度，k为回复系数； 【例3】（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图甲所示，下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做简谐运动。以木棒所受浮力F为纵轴，振动时间t为横轴建立直角坐标系，浮力F随振动时间t的变化如图乙所示。关于木棒的说法正确的是（     ） A．0时刻沉入水中部分长度最长 B．在水中完成一次全振动的时间为0.50s C．0.25s时加速度为0，速度最小 D．从0s到0.50s时间内，回复力一直变小 【答案】A 【详解】A．0时刻时浮力最大，根据得此时木棒浸入水的体积最大，则沉入水中部分长度最长，故A正确； B．浮力最大到最小是半个周期，即木棒从最低点到最高点，经历时间为0.5s，因此周期，故B错误； C．0.25s时位于平衡位置，此时加速度为0，速度最大，故C错误； D．从0s到0.50s时间内，即木棒从最低点到平衡位置再到最高点，因此回复力先减小后增大，故D错误。 故选 A。 【变式3-1】（25-26高二下·福建福州·期末）如图所示，质量均为的两物体、分别与轻质弹簧的两端相连接，将它们静止放在地面上。一质量为2的小物体从距物体高处由静止开始下落。与相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开。当与运动到最高点时，物体对地面刚好无压力。不计空气阻力。弹簧始终处于弹性限度内。已知重力加速度为求 (1)A与一起开始向下运动时的速度大小。 (2)A与一起运动的最大加速度大小。 (3)弹簧的劲度系数。提示：弹簧的弹性势能只由弹簧劲度系数和形变量大小决定 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小物体C从静止开始运动到点时的速度为，由机械能守恒定律有     设C与A碰撞粘在一起的速度为，由动量守恒定律得 解得 （2）A与C一起将在竖直方向上做简谐运动。当A与C运动到最高点时，回复力最大，加速度最大。AC、B受力如图 B受力平衡有    对AC运用牛顿第二定律，有     解得 （3）设弹簧的劲度系数为，开始时A处于平衡状态，设弹簧的压缩形变量为 对A有 当A与C运动到最高点时，设弹簧的拉伸形变量为，对B有     由以上两式得 因此，在这两个位置时弹簧的弹性势能相等,对A、C，从原平衡位置到最高点，根据机械能守恒定律有 联立各式解得 【变式3-2】（25-26高二下·北京朝阳·期末）如图甲所示，粗细均匀的一根木棒，下端绕几圈铁丝，竖直浮在河面上。木棒在重力和浮力作用下，沿竖直方向做简谐运动，并在水平方向上随河水做匀速直线运动。浮力随水平位移的变化如图乙所示。已知河水密度为，木棒横截面积为，重力加速度大小为。下列说法正确的是（     ） A．和时，木棒的速度相同 B．和时，木棒的加速度相同 C．木棒做简谐运动的振幅为 D．木棒做简谐运动的振幅为 【答案】C 【详解】A．木棒在水平方向做匀速直线运动，水平分速度不变。在竖直方向做简谐运动，时浮力最大，木棒处于最低点，时浮力最小，木棒处于最高点。时木棒从最低点向最高点运动，竖直分速度向上；时木棒从最高点向最低点运动，竖直分速度向下。两位置竖直分速度方向相反，合速度方向不同，故A错误； B．根据牛顿第二定律，加速度由合外力决定。时浮力最小，小于重力，合力向下，加速度向下；时浮力最大，大于重力，合力向上，加速度向上。两位置加速度方向相反，故B错误； CD．木棒在竖直方向做简谐运动，平衡位置时浮力等于重力。浮力的变化量由排开水的体积变化量引起，从最高点到最低点，浮力变化量为，对应的竖直位移为（为振幅）。根据阿基米德原理有 解得振幅，故C正确，D错误。 故选C。 模型04.单摆 模型构建 摆线：轻、不可伸长（不计质量、无形变） 摆球：质点（半径远小于摆线长度） ·小角度摆动：最大偏角 ，回复力满足 F=-kx，视为简谐运动； 角度大则不是简谐运动，周期公式失效。 单摆 推导：L为摆长，x为偏离平衡位置的位移，θ≤5°，k为回复系数； 拓展：带+q电荷的单摆小球，加竖直向下的电场E，求小球摆动周期。 推导：L为摆长，x为偏离平衡位置的位移， k为回复系数，利用等效重力的思维； 若电场方向变为竖直向上，则 1.几种单摆模型拓展 模型 图示(l、l1、l2为摆线长，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度g效 周期T 双线摆 不变，lsin α＋r 不变，g T＝2π 折线摆 碰到钉子后变小 不变，g T＝π＋π 圆弧摆 不变，R－r 不变，g T＝2π 斜面摆 不变，l＋r 不变，gsin α T＝2π 【例4】（25-26高一下·吉林·期末）如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上与O相距为l的两点上，使三角形AOB成直角三角形，，已知OC线长为l，下端C点系着一个小球。下列说法正确的是（以下振动皆指小角度摆动）（　　） A．让小球在纸面内振动，周期 B．让小球垂直于纸面振动，周期 C．让小球在纸面内振动，周期 D．让小球垂直于纸面振动，周期 【答案】A 【详解】AC．让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期为，故A正确，C错误； BD．让小球垂直于纸面振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为 所以周期为，故BD错误。 故选A。 【变式4-1】（24-25高一下·四川成都·期末）（多选）如图，P为固定在水平地面上的半径为R的光滑圆弧槽，O为圆心，O′为圆弧槽的最低点，A、B为圆弧槽的两个端点，弧AB≪R。将均可视为质点的甲、乙两球从O′点的左右两侧同时由静止释放，O、O′、A、B及释放点均在同一竖直平面内。下列说法正确的是（　　） A．若甲球的释放点离O′点更近，则甲球先到达O′点 B．若甲球的质量大于乙球的质量，则甲球先到达O′点 C．甲、乙两球同时到达O′点 D．仅将该装置移到重力加速度更大的地区，乙球从释放点到O′点的时间会变短 【答案】CD 【详解】ABC．根据单摆的周期公式 可知两球到达点的时间相等，与两球的质量大小无关，与释放点离O′点远近无关，均为，甲、乙两球同时到达O′点，故C正确，AB错误； D．根据单摆的周期公式 可知仅将该装置移到重力加速度更大的地区，周期更小，乙球从释放点到O′点的时间会变短，故D正确。 故选CD。 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，用两根完全相同、不可伸长的轻绳将小沙包（大小可忽略）对称地吊在空中，轻推小沙包，测得其在垂直于纸面的平面内做简谐运动的周期为，已知每根轻绳的长度为L，小沙包的质量为m，则小沙包静止时，每根绳子张力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 依题意，小沙包做简谐运动，设等效摆长为l，根据单摆周期公式有 对小沙包受力分析，如图所示，由力的三角形与边的三角形相似可得 联立解得 故选A。 1．（2026·河南·高考真题）将一单摆的摆球拉开一个小角度后释放，单摆摆动的振幅为，周期为。若将此摆移到月球上，拉开相同的角度，则摆球的振动图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据单摆周期公式可知，当移到月球上后，重力加速度减小，单摆的周期变大；摆长不变，拉开相同的角度，振幅不变。 故选B。 2．（2025·海南·高考真题）（多选）一绝缘的固定倾斜斜面，斜面倾角为，空间中存在沿斜面向下的匀强电场，电场强度为。质量为m的物块M、N用一根不可伸长的轻绳绕过滑轮连接，M带正电，电荷量为q，N不带电，N一端与弹簧连接，弹簧另一端固定在地面上，劲度系数为k。初始时有外力作用使M静止在斜面上，轻绳恰好伸直，使M从静止释放，第一次到达最低点的时间为t，不计一切摩擦。则（    ） A．释放时M的加速度为 B．M下滑的最大速度为 C．M下滑的最大距离为 D．M下滑的距离为时，所用时间为 【答案】BD 【详解】A．初始时，弹簧弹力等于N的重力，弹簧处于压缩状态，即 可得 释放M时，弹簧弹力不会突变，对M和N，根据牛顿第二定律 可得释放时M的加速度为，A错误； B．当M、N的加速度为零，M的速度最大，设此时弹簧的伸长量为，根据平衡条件 解得 由于，可知弹簧弹性势能不变，M从开始运动到速度达到最大过程，根据动能定理 联立解得M下滑的最大速度为，B正确； CD．以速度最大位置为原点，斜面向上为正方向，M、N所受的合外力与位移的关系满足 可知M、N做简谐运动，刚释放M时，加速度，根据简谐运动的对称性可知当M下滑的最大距离时，加速度大小也为，根据牛顿第二定律 解得M下滑的最大距离为 根据题意，M、N做简谐运动的周期 从释放开始计时，位移随时间变化的表达式为 当下滑距离为时，代入数据有 可得 即M下滑的距离为时，所用时间为，故D正确，C错误。 故选BD。 3．（2025·江西·高考真题）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P点，另一端经光滑孔钉Q连接质量为m的小球A，该球穿过与水平直杆（足够长）成角的直杆，两杆平滑连接。点P、Q和O在同一竖直线上，间距为弹力绳原长。将小球A拉至与Q等高的位置由静止释放。当小球A首次运动到斜杆底端O点后，在水平方向与穿在直杆且静止于O点、质量为的小球B发生弹性碰撞。小球A、B与杆间的动摩擦因数均为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能与伸长量x的关系为。已知重力加速度为g，间距为。 (1)求小球A下滑过程中滑动摩擦力的大小； (2)若从碰撞后开始计时，小球A第一次上滑过程中离O点的距离x与时间t关系为（为常数），求小球A第一次速度为零时，小球B与O点的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图所示 以点为坐标原点，沿倾斜直杆ON向上为x轴正方向建立坐标系。任意选取小球A下滑过程中的某一位置，设此时弹力绳的伸长量为，小球A受到的滑动摩擦力为，小球A对倾斜直杆的压力为，小球A所受弹力绳的拉力为F，弹力绳与倾斜直杆的夹角为，孔钉Q到倾斜直杆的距离为。设 对小球A进行受力分析，可知，， 由几何关系可得 联立解得 （2）设小球A下滑到斜杆底端点时的速度为，小球由静止释放运动到点的过程中，由动能定理可得 可得 由小球A、B发生弹性碰撞后瞬间的速度分别为、，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得， 由，可知小球A上滑过程做简谐运动，小球A第一次速度为零时，距离达到最大值，则有 解得 小球B碰撞后开始在直杆OM上做匀减速运动，加速度为，设小球B速度减为0所经历的时间为，则 因，则小球A在碰撞后第一次速度为零时，小球B与点的距离为，则有 联立解得 【基础夯实】 1. （2026·江苏镇江·模拟预测）一单摆的摆长为L，将摆球向左拉至水平标志线上（图中虚线）。由静止释放摆球，当摆球运动至最低点时，摆线碰到障碍物P，摆球继续向右摆动。用频闪相机长时间拍摄，得到图示照片，则摆线的悬点O与障碍物P在竖直方向之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设频闪相机的闪光周期为 。单摆从最大位移处运动到平衡位置（最低点）的时间为 。 由图可知，摆球在左侧（摆长为 ）从水平位置运动到最低点经历了3个时间间隔，即 ，解得 摆球在右侧（碰到障碍物后，设摆长为 ）从最低点运动到右侧最高点经历了2个时间间隔，即 ，解得 根据单摆周期公式 ， 由 ，可得 ，解得 摆线的悬点 与障碍物 在竖直方向之间的距离 ，故ABD错误，C正确。 故选 C。 2. （2026·贵州黔西南·二模）如图甲，钓鱼浮标在竖直方向振动，该振动可视为简谐运动。以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，浮标的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．浮标的振幅为2.0cm B．浮标的振动频率为0.4Hz C．时，浮标的速度最大 D．时，浮标的振动方向向上 【答案】D 【详解】A．根据图乙，振幅为1.0cm，A错误； B．根据图乙，周期为，则频率，B错误； C．时，质点处于负向最大位置处，此时速度为零，C错误； D．时，质点处于平衡位置且向上振动，D正确。 故选D。 【点睛】 3. （19-20高二下·山东·期末）如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，其在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动 B．弹簧振子的振动方程为 C．图乙中的P点对应的速度方向与加速度方向都向右 D．弹簧振子在0～2.5s内的路程为1m 【答案】D 【详解】A．弹簧振子从B点经过O点运动到C点，再从C经过O回到B点为一次全振动，故A错误； B．根据图乙可知，弹簧振子的振幅为A=0.1m，周期T=1s，则 向右为正方向，t=0时刻位移为0.1m，表示振子从B点开始运动，初相 则振动方程为，故B错误； C．简谐运动的图像中P点切线斜率为负，对应的速度方向为负，位移为负值，则加速度方向为正，向右，故C错误； D．因周期T=1s，则0~2.5s内振子振动了个周期，则振子从B点开始振动的路程为，故D正确。 故选D。 4. （2026·北京海淀·二模）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，小球在B、C两点之间做简谐运动，B点与C点相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过2s首次到达C点。下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子做简谐运动的周期为2s B．0~3s内，小球通过的路程为0.1m C．0~2s内，弹簧弹力对小球始终做负功 D．0~1s内和1~2s内，小球所受弹簧弹力的冲量大小相等 【答案】D 【详解】A．根据题意小球经过B点时开始计时，经过2s首次到达C点，可知弹簧振子做简谐运动的周期为4s，故A错误； B．根据题意可知，小球做简谐运动的振幅为10cm，0~3s内，即时间内，小球通过的路程为，故B错误； C．0~2s内，弹簧弹力开始为拉力，与小球运动方向相同，对小球做正功，经过平衡位置后，弹簧弹力表现为向右的支持力，与小球的运动方向相反，对小球做负功，即0~2s内，弹簧弹力对小球先做正功，后做负功，故C错误； D．根据题意可知，小球在B点的速度为零，在C点的速度也为零，0~1s内弹簧弹力表现为拉力，1~2s内弹簧弹力表现为支持力，根据动量定理可知0~1s内和1~2s内，小球所受弹簧弹力的冲量大小相等，方向相反，故D正确。 故选D。 5. （2026·河南三门峡·三模）如图（a）所示，箱子P放在水平地面上，两根相同的轻质弹簧连着小球Q，两弹簧另一端与箱子P连接，弹簧均处于竖直状态。取竖直向上为正方向，小球Q在竖直方向振动过程中相对平衡位置的位移y随时间t的变化如图（b）所示，箱子P始终保持静止。弹簧始终在弹性限度内，则（     ） A．小球在平衡位置时，两弹簧弹力为零 B．时，小球的加速度为零 C．时，箱子对地面的压力最小 D．时，小球的速度大小最大 【答案】D 【详解】A．平衡位置是小球合力为零的位置，小球自身受重力，两弹簧弹力的合力需要平衡重力，因此两弹簧弹力不为零，故A错误； B．时，小球位移达到正向最大值，加速度为负向最大，不为零，故B错误； C．时，小球位移达到负向最大值，说明小球在最低点，加速度向上且最大，小球处于超重状态，对箱子的向下作用力最大，因此箱子对地面的压力最大；小球在最高点（）时失重最明显，箱子对地面压力才最小，故C错误； D．时，，小球刚好在平衡位置，简谐运动中，平衡位置处回复力为零，速度大小最大，故D正确。 故选D。 6. （2026·江西南昌·三模）（多选）如图（a），劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂薄板A，A静止。带孔薄板B套于弹簧且与弹簧间无摩擦，A、B质量相同，B从A上方h高度处由静止释放，A、B碰撞时间极短，碰后粘在一起下落后速度减为零。以A、B碰撞位置为坐标原点O，竖直向下为正方向建立x轴，A、B整体的重力势能随下落距离x变化图像如图（b）中Ⅰ所示，弹簧的弹性势能随下落距离x变化图像如图（b）中Ⅱ所示，重力加速度为g，则（     ） A．薄板A的质量为 B．薄板B下落的高度h为3l C．碰撞后两薄板的最大速度为 D．碰撞后两薄板上升的最大高度在O上方l处 【答案】BD 【详解】A．设A、B的质量为，当下落距离为时，系统的重力势能表达式为 由图可知，图线I所示斜率的绝对值为 解得，故A错误； B．设B与A碰撞前的速度为，根据自由落体运动规律可知 解得 由于A、B碰撞过程动量守恒，则有 解得 碰后A、B的动能 对两薄板从碰后到最低点，由能量守恒可得 结合图像可知，，， 解得 又因为 联立解得，故B正确； C．碰后的最大速度处加速度为0，即 可得碰后最大速度对应的弹簧伸长量为 所以最大速度在A、B碰撞后下落处，从A、B碰后到最大速度时由动能定理可得 解得，故C错误； D．由C可知，简谐运动的平衡位置在处，系统的最低点在处，因此该简谐运动的振幅为 根据简谐运动的对称性，系统向回反弹所能达到的最高点应位于平衡位置上方一个振幅处，即位置坐标为 在上方处，故D正确。 故选BD． 【培优拔高】 7. （2026·湖南·模拟预测）假设某人将地球沿直径打穿形成一条通道，然后在地球表面向通道内静止释放一个质量为m的石块，不考虑石块与通道壁之间的碰撞和摩擦，不计空气阻力。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，球壳对内部物体不产生引力，地球可视为均匀球体，忽略地球的自转。 (1)求石块到地球中心距离为x时，受到地球的引力大小； (2)已知做简谐运动物体的周期为，其中m为物体质量，k为回复力系数，求该石块的运动周期； (3)如图所示，通道中有A、B两点，A点距地球球心，B点距地球球心，求石块从A运动到B的最短时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据，，可得 则以x为半径的球体的质量为 由题意可得石块受到地球的引力大小为 忽略地球的自转，则有 联立解得 （2）由可知，回复力系数为 该石块做简谐运动的周期为 （3）由题意可知，该石块做简谐运动的振幅 石块从在地球表面向通道内由静止释放，则以球心O为原点，石块的位移表达式为 A点距地球球心为 B点距地球球心 可得A点对应的相位为，B点对应的相位为 从A到B的最短时间为 8. （2026·山东青岛·三模）如图甲所示，轻质弹簧上端与固定位移传感器相连，下端与质量为的小球相连，以小球静止的位置为坐标原点，竖直向下为正向建立坐标轴。时刻给小球一竖直向下、大小为的初速度，位移传感器记录小球速度随位置坐标变化的关系图像如图乙所示。已知弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，从开始计时，下列关于小球的位置坐标、速度、加速度、动能随时间变化的图像，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．由图乙可知，小球做简谐运动，振幅，最大速度。根据简谐运动规律，解得圆频率 周期 图A中位移随时间变化的周期为，图B中速度随时间变化的周期为，与计算结果不符，故AB错误； C．时刻，小球在平衡位置且向正方向（向下）运动，位移为正，根据简谐运动回复力特征 加速度方向与位移方向相反，应为负值。图C中后加速度为正，故C错误； D．时刻速度最大，动能最大，最大动能 动能是标量，其变化周期为运动周期的一半，即 图D中时动能最大，且周期为，故D正确。 故选D。 9. （2026·安徽芜湖·模拟预测）如图甲所示，一光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一轻质弹簧，将质量为的物块从斜面顶端由静止释放，物块运动到最低点的过程中，其加速度随位移变化的规律如图乙所示，则（     ） A．弹簧的劲度系数为 B． C．弹簧的最大弹性势能为 D．物块的最大动能为 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，在过程中，物块加速度恒为，说明物块未接触弹簧，斜面光滑，由牛顿第二定律得 在处加速度为0，物块受力平衡，此时弹簧压缩量为，由平衡条件得 联立解得弹簧劲度系数，故A错误； B．物块接触弹簧后做简谐运动，平衡位置在处。若物块在处速度为0，根据简谐运动的对称性，应有 但物块在处已经具有向下的速度，说明物块会运动到关于对称点的下方才停止，即振幅大于，所以，故B错误； C．物块运动到最低点时，速度为0，弹簧弹性势能最大。对物块从释放到最低点的全过程应用机械能守恒定律，重力势能的减小量等于弹性势能的增加量，即 又 所以，故C错误； D．物块向下先做匀加速运动，挤压弹簧后做加速度逐渐减小的加速运动，当位移为时，动能最大，由动能定理可知最大动能为 联立， 解得，故D正确。 故选D。 10. （2026·宁夏山西·模拟预测）如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定放置，劲度系数为k的轻质弹簧上端悬挂在垂直斜面放置的挡板上，下端连接一质量为m、可视为质点的小球。当弹簧处于原长时，小球正好处在斜面上的M点且获得沿斜面向下的初速度v0，此后，小球沿斜面运动至最低点N，接着返回M点。已知重力加速度为g，规定沿斜面向下为正方向。查阅资料得知倾斜光滑斜面上的弹簧振子的周期公式为。下列说法正确的是（　　） A．小球从M到N的运动时间小于 B．小球从M到N再返回M，合力的冲量大小为2mv0 C．小球从M到N，其加速度a与下滑的距离x的关系图像的斜率为 D．小球从N到M，其重力势能的增加量等于弹性势能的减小量 【答案】B 【详解】A．弹簧振子的周期公式为，振子从平衡位置到最大位移处的时间为 由分析可知，M点不是振子的平衡位置，其平衡位置应在M点的下方，当弹簧被拉长到弹簧的弹力与重力的分力平衡的位置处。小球从M点（原长）以初速度向下运动到最低点N，相当于从偏离平衡位置的某点向最大位移处运动，其路程比从平衡位置到最大位移的路程长，因此运动时间大于，故A错误； B．小球从M到N再返回M点的过程，初速度大小为，方向沿斜面向下；末速度大小仍为，方向沿斜面向上。以沿斜面向下为正方向，则根据动量定理有 冲量是矢量，负号代表其方向与规定的正方向相反，所以该过程合力的冲量大小为，故B正确； C．规定沿斜面向下为正方向，当小球下滑距离时，对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律有 解得小球从M到N的过程，其加速度a与下滑的距离x的关系式为 所以图像的斜率为，故C错误； D．小球从N到M的过程，其动能和重力势能增加，而弹簧的弹性势能减少，由于斜面光滑，只有重力和弹簧的弹力做功，故系统机械能守恒，所以有弹簧弹性势能的减少量等于小球重力势能的增加量与动能增加量之和，即 因此重力势能的增加量小于弹性势能的减小量。故D错误。 故选B。 11. （2026·辽宁朝阳·模拟预测）如图1所示，长为的轻绳拴一小球A在竖直平面内做简谐运动，如图2所示，长为的轻绳拴一小球B在水平面内做匀速圆周运动，其中，。重力加速度为，两球均可视为质点且质量均为。下列说法正确的是（　　） A．小球A与小球B的周期之比为 B．小球B所受的拉力大小为 C．小球B转动半周的过程中动量变化量为0 D．小球A从左侧最高点第一次运动到最低点的过程，拉力的冲量大小为 【答案】D 【详解】A．小球A周期为 对小球B分析，可知绳子的拉力与重力提供向心力，则有 小球B的周期为 小球A与小球B的周期之比为，故A错误； B．根据受力分析，可得小球B所受的拉力大小为，故B错误； C．根据 可知小球B做匀速圆周运动，转动半周后，线速度的方向发生变化，则小球B的动量变化量不为0，故C错误； D．小球A从左侧最高点第一次运动到最低点的过程，根据动能定理 小球A从左侧最高点第一次运动到最低点的过程，拉力的冲量大小为，故D正确。 故选D。 12. （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）如图甲所示，底部固定有砂粒的塑料管竖直浮于水面，将塑料管向下压一小段距离后释放，砂粒（视为质点）随塑料管在竖直方向做简谐运动。取竖直向上为正方向，一段时间内砂粒的振动图像如图乙所示，则砂粒（　　） A．振动的振幅为 B．振动的频率为 C．在时距平衡位置 D．在时加速度方向竖直向下 【答案】BD 【详解】A．由图可知砂粒振动的振幅为，故A错误； B．由图可知砂粒振动的周期为0.4s，则频率，故B正确； C．由图可得砂粒的振动方程为 当时，，即在时距平衡位置，故C错误； D．由图可知，在时位移竖直向上且最大，根据牛顿第二定律可得可知此时加速度方向竖直向下，故D正确。 故选BD。 13. （2026·广东佛山·三模）如图甲，用轻弹簧悬挂的手机在竖直方向做简谐运动，点为平衡位置，点为最高点，点为最低点。手机上的传感器记录其竖直方向的加速度随时间变化的曲线如图乙。已知手机质量为，振动周期为，最大加速度大小为，重力加速度为，忽略空气阻力，以竖直向下为正方向。下列说法正确的是（　　） A．时，手机在点 B．过程中，手机运动的动能增大 C．手机运动的最大速度大小为 D．时刻，弹簧弹力大小为 【答案】D 【详解】A．时，加速度为向下的最大，可知手机在最高点P点，A错误； B．过程中，手机从平衡位置O点向最低点Q运动，则动能减小，B错误； C．因a-t图像的面积等于速度的变化量，从P点开始运动到O点时速度最大，可知手机运动的最大速度大小大于，C错误； D．时刻，手机在Q点，加速度为向上的am，则由牛顿第二定律，可得弹簧弹力大小为，D正确。 故选D。 14. （2026·山东济南·三模）（多选）质量为m的物体所受的合外力F在满足F=-kx（x为物体离开平衡位置的位移，k为比例常数）的规律时，其简谐运动的周期为。如图所示，水平地面上有O、A、B三点，OA=1cm，，AB之间地面粗糙，其余部分光滑。劲度系数为k′=1N/cm的轻弹簧左端固定，右端连接质量为m=1kg的物块，弹簧处于原长时，物块恰好静置在O点。已知弹簧的弹性势能为（k′为弹簧的劲度系数，∆x为形变量），物块与AB之间的动摩擦因数为µ=0.1，重力加速度g=10m/s2，将物块拉至B点由静止释放，弹簧始终处于弹性限度内，在整个运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块第一次由B点运动到A点所用时间为 B．物块第一次由B点运动到O点所用时间为 C．物块与地面间产生的热量为 D．物块与地面间产生的热量为 【答案】ABD 【详解】A．简谐运动的周期为 物块经过A点时，有 所以物块第一次由B点运动到A点所用时间为，故A正确； B．物块第一次由B点运动到左侧最远点，距离O点为x，根据能量守恒定律可得 代入数据解得 由于 所以物块从A运动到O的时间为 所以物块第一次由B点运动到O点所用时间为，故B正确； CD．物块最终将在A点与A′点间做简谐运动，二者关于O点左右对称，根据能量守恒定律可得 代入数据解得，故C错误，D正确。 故选ABD。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 简谐运动模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.简谐运动的位移与周期 模型02.简谐运动的对称性 模型03.几种简谐运动模型 模型04.单摆 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.简谐运动的位移与周期 模型构建 物体受到线性回复力： · k：比例系数（不一定是弹簧劲度系数） · 负号：力始终指向平衡位置，与位移方向相反 只要满足 F=-kx，物体一定做简谐运动。 模型剖析 1.简谐运动位移的求解 简谐运动的位移，相当于圆周运动在该方向的分位移。 2.简谐运动的周期性 设t1、t2为简谐运动的两个时刻，T为周期。 ①若t2--t1=nT（周期的整数倍） t2、t1两时刻物体运动情况完全相同，x、a、v、Ek、Ep大小方向都相同。 ②若t2-t1= (n+)T(半周期的奇数倍) t2、t1两时刻物体运动情况完全相同 矢量：x、a、v、大小相同方向相反 标量：Ek、Ep大小相同。 ③若t2-t1= (n+)T t2、t1两时刻物体运动情况，具体问题具体分析。 特殊位置： t1在平衡位置处 t2到最大位移处。 t1在最大位移处 t2到平衡位置处。 其他位置：（结合辅助圆求路程） 【例1】（25-26高一下·四川成都·期末）如图（a）所示，弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动，O为平衡位置，以向右为正方向，振子的位移随时间的变化如图（b）所示。下列说法正确的是（     ） A．3s时振子的速度最大 B．振子从M运动到N的时间为2s C．M、N间距为5cm D．2s～3s内振子从O运动到N 【变式1-1】（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）如图所示为一弹簧振子做简谐振动的位移—时间图像。振子的振动周期为T，振幅为A，t0（t0为未知量）时刻该振子处于平衡位置，则下列说法正确的是（     ） A．时刻，振子的加速度最大 B．t=0时刻振子正在向远离平衡位置的方向运动 C． D．振子的振动方程为 【变式1-2】（25-26高二下·湖北黄冈·阶段检测）（多选）如图所示，一光滑竖直管内有一轻弹簧，轻弹簧的下端固定在地面上，上端自由伸长，将一小球从轻弹簧上端恰好与弹簧接触处由静止释放，忽略空气阻力，小球做简谐运动，运动过程中通过、两点的加速度大小分别为 、 为当地的重力加速度。小球向下经过点时开始计时，时刻经过点，该小球的简谐运动的周期可能是（     ） A． B． C． D． 模型02.简谐运动的对称性 模型构建 简谐运动以平衡位置 O为中心往复振动；所有对称均围绕平衡位置。 坐标：位移 x（相对平衡位置），振幅 A。 模型剖析 1. 空间的对称（瞬时量的对称性） 做简谐运动的物体，经过关于平衡位置对称的两个点时，存在对称性。 加速度（a）、位移（x）：大小相等、方向相反 速度（v）：大小相等，方向相反/相同。 动能（EK）、势能（Ep）：大小相等 2. 时间的对称性（过程量的对称性） 振动物体在简谐运动中，关于平衡位置对称的任意两段运动，所需时间相同。 【例2】（25-26高二下·河南郑州·期末）如图甲所示，一根粗细均匀的木筷，下端绕几圈细铁丝（铁丝体积可忽略）后竖直悬浮在装有盐水的杯子中。现把木筷竖直向上提起一段距离后放手，忽略水的粘滞阻力及水面高度变化，其在水中的运动可视为简谐运动。以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，木筷下端的位移y随时间t变化的图像如图乙所示。已知盐水的密度为ρ，木筷的横截面积为S，木筷下端到水面的最小距离为h1，最大距离为h2。则（　　） A．木筷在t0~5t0时间内动能先减小后增大 B．木筷做简谐运动的振幅为 C．木筷（含铁丝）的质量为 D．木筷下端在t=0时刻的位移为 【变式2-1】（25-26高一下·新疆哈密·期末）如图所示，弹簧振子在、间振动，振子从到历时，振子经、两点时速度相同，若它从再回到的时间为，则该振子的振动周期为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，底座固定，用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动，周期为，则下列说法正确的是（     ） A．若时间内头部的位移大小等于一个振幅，则一定等于的整数倍 B．若时刻和时刻头部的加速度相同，则振子的速度一定相同 C．若，则在时刻和时刻头部的速度大小一定相等 D．若，则在时刻和时刻弹簧的长度不一定相等 模型03.几种简谐运动模型 模型构建 类型一：匀速圆周运动的简谐 推导：r为圆周运动半径，x为偏离平衡位置的位移，k为回复系数； 类型二：弹簧振子 推导：r为圆周运动半径，x为偏离平衡位置的位移，k为回复系数； k为劲度系数，等于回复系数 类型三：万有引力作用下的简谐 题型一： 推导：M'为上图中虚线所代表球体的质量，x为偏离平衡位置的位移，ρ为地球密度，k为回复系数； 题型二： 推导：M'为上图中虚线所代表球体的质量，x为偏离平衡位置的位移，为地球密度，k为回复系数； 【例3】（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图甲所示，下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做简谐运动。以木棒所受浮力F为纵轴，振动时间t为横轴建立直角坐标系，浮力F随振动时间t的变化如图乙所示。关于木棒的说法正确的是（     ） A．0时刻沉入水中部分长度最长 B．在水中完成一次全振动的时间为0.50s C．0.25s时加速度为0，速度最小 D．从0s到0.50s时间内，回复力一直变小 【变式3-1】（25-26高二下·福建福州·期末）如图所示，质量均为的两物体、分别与轻质弹簧的两端相连接，将它们静止放在地面上。一质量为2的小物体从距物体高处由静止开始下落。与相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开。当与运动到最高点时，物体对地面刚好无压力。不计空气阻力。弹簧始终处于弹性限度内。已知重力加速度为求 (1)A与一起开始向下运动时的速度大小。 (2)A与一起运动的最大加速度大小。 (3)弹簧的劲度系数。提示：弹簧的弹性势能只由弹簧劲度系数和形变量大小决定 【变式3-2】（25-26高二下·北京朝阳·期末）如图甲所示，粗细均匀的一根木棒，下端绕几圈铁丝，竖直浮在河面上。木棒在重力和浮力作用下，沿竖直方向做简谐运动，并在水平方向上随河水做匀速直线运动。浮力随水平位移的变化如图乙所示。已知河水密度为，木棒横截面积为，重力加速度大小为。下列说法正确的是（     ） A．和时，木棒的速度相同 B．和时，木棒的加速度相同 C．木棒做简谐运动的振幅为 D．木棒做简谐运动的振幅为 模型04.单摆 模型构建 摆线：轻、不可伸长（不计质量、无形变） 摆球：质点（半径远小于摆线长度） ·小角度摆动：最大偏角 ，回复力满足 F=-kx，视为简谐运动； 角度大则不是简谐运动，周期公式失效。 单摆 推导：L为摆长，x为偏离平衡位置的位移，θ≤5°，k为回复系数； 拓展：带+q电荷的单摆小球，加竖直向下的电场E，求小球摆动周期。 推导：L为摆长，x为偏离平衡位置的位移， k为回复系数，利用等效重力的思维； 若电场方向变为竖直向上，则 1.几种单摆模型拓展 模型 图示(l、l1、l2为摆线长，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度g效 周期T 双线摆 不变，lsin α＋r 不变，g T＝2π 折线摆 碰到钉子后变小 不变，g T＝π＋π 圆弧摆 不变，R－r 不变，g T＝2π 斜面摆 不变，l＋r 不变，gsin α T＝2π 【例4】（25-26高一下·吉林·期末）如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上与O相距为l的两点上，使三角形AOB成直角三角形，，已知OC线长为l，下端C点系着一个小球。下列说法正确的是（以下振动皆指小角度摆动）（　　） A．让小球在纸面内振动，周期 B．让小球垂直于纸面振动，周期 C．让小球在纸面内振动，周期 D．让小球垂直于纸面振动，周期 【变式4-1】（24-25高一下·四川成都·期末）（多选）如图，P为固定在水平地面上的半径为R的光滑圆弧槽，O为圆心，O′为圆弧槽的最低点，A、B为圆弧槽的两个端点，弧AB≪R。将均可视为质点的甲、乙两球从O′点的左右两侧同时由静止释放，O、O′、A、B及释放点均在同一竖直平面内。下列说法正确的是（　　） A．若甲球的释放点离O′点更近，则甲球先到达O′点 B．若甲球的质量大于乙球的质量，则甲球先到达O′点 C．甲、乙两球同时到达O′点 D．仅将该装置移到重力加速度更大的地区，乙球从释放点到O′点的时间会变短 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，用两根完全相同、不可伸长的轻绳将小沙包（大小可忽略）对称地吊在空中，轻推小沙包，测得其在垂直于纸面的平面内做简谐运动的周期为，已知每根轻绳的长度为L，小沙包的质量为m，则小沙包静止时，每根绳子张力为（　　） A． B． C． D． 1．（2026·河南·高考真题）将一单摆的摆球拉开一个小角度后释放，单摆摆动的振幅为，周期为。若将此摆移到月球上，拉开相同的角度，则摆球的振动图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·高考真题）（多选）一绝缘的固定倾斜斜面，斜面倾角为，空间中存在沿斜面向下的匀强电场，电场强度为。质量为m的物块M、N用一根不可伸长的轻绳绕过滑轮连接，M带正电，电荷量为q，N不带电，N一端与弹簧连接，弹簧另一端固定在地面上，劲度系数为k。初始时有外力作用使M静止在斜面上，轻绳恰好伸直，使M从静止释放，第一次到达最低点的时间为t，不计一切摩擦。则（    ） A．释放时M的加速度为 B．M下滑的最大速度为 C．M下滑的最大距离为 D．M下滑的距离为时，所用时间为 3．（2025·江西·高考真题）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P点，另一端经光滑孔钉Q连接质量为m的小球A，该球穿过与水平直杆（足够长）成角的直杆，两杆平滑连接。点P、Q和O在同一竖直线上，间距为弹力绳原长。将小球A拉至与Q等高的位置由静止释放。当小球A首次运动到斜杆底端O点后，在水平方向与穿在直杆且静止于O点、质量为的小球B发生弹性碰撞。小球A、B与杆间的动摩擦因数均为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能与伸长量x的关系为。已知重力加速度为g，间距为。 (1)求小球A下滑过程中滑动摩擦力的大小； (2)若从碰撞后开始计时，小球A第一次上滑过程中离O点的距离x与时间t关系为（为常数），求小球A第一次速度为零时，小球B与O点的距离。 【基础夯实】 1. （2026·江苏镇江·模拟预测）一单摆的摆长为L，将摆球向左拉至水平标志线上（图中虚线）。由静止释放摆球，当摆球运动至最低点时，摆线碰到障碍物P，摆球继续向右摆动。用频闪相机长时间拍摄，得到图示照片，则摆线的悬点O与障碍物P在竖直方向之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2. （2026·贵州黔西南·二模）如图甲，钓鱼浮标在竖直方向振动，该振动可视为简谐运动。以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，浮标的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．浮标的振幅为2.0cm B．浮标的振动频率为0.4Hz C．时，浮标的速度最大 D．时，浮标的振动方向向上 3. （19-20高二下·山东·期末）如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，其在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动 B．弹簧振子的振动方程为 C．图乙中的P点对应的速度方向与加速度方向都向右 D．弹簧振子在0～2.5s内的路程为1m 4. （2026·北京海淀·二模）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，小球在B、C两点之间做简谐运动，B点与C点相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过2s首次到达C点。下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子做简谐运动的周期为2s B．0~3s内，小球通过的路程为0.1m C．0~2s内，弹簧弹力对小球始终做负功 D．0~1s内和1~2s内，小球所受弹簧弹力的冲量大小相等 5. （2026·河南三门峡·三模）如图（a）所示，箱子P放在水平地面上，两根相同的轻质弹簧连着小球Q，两弹簧另一端与箱子P连接，弹簧均处于竖直状态。取竖直向上为正方向，小球Q在竖直方向振动过程中相对平衡位置的位移y随时间t的变化如图（b）所示，箱子P始终保持静止。弹簧始终在弹性限度内，则（     ） A．小球在平衡位置时，两弹簧弹力为零 B．时，小球的加速度为零 C．时，箱子对地面的压力最小 D．时，小球的速度大小最大 6. （2026·江西南昌·三模）（多选）如图（a），劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂薄板A，A静止。带孔薄板B套于弹簧且与弹簧间无摩擦，A、B质量相同，B从A上方h高度处由静止释放，A、B碰撞时间极短，碰后粘在一起下落后速度减为零。以A、B碰撞位置为坐标原点O，竖直向下为正方向建立x轴，A、B整体的重力势能随下落距离x变化图像如图（b）中Ⅰ所示，弹簧的弹性势能随下落距离x变化图像如图（b）中Ⅱ所示，重力加速度为g，则（     ） A．薄板A的质量为 B．薄板B下落的高度h为3l C．碰撞后两薄板的最大速度为 D．碰撞后两薄板上升的最大高度在O上方l处 【培优拔高】 7. （2026·湖南·模拟预测）假设某人将地球沿直径打穿形成一条通道，然后在地球表面向通道内静止释放一个质量为m的石块，不考虑石块与通道壁之间的碰撞和摩擦，不计空气阻力。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，球壳对内部物体不产生引力，地球可视为均匀球体，忽略地球的自转。 (1)求石块到地球中心距离为x时，受到地球的引力大小； (2)已知做简谐运动物体的周期为，其中m为物体质量，k为回复力系数，求该石块的运动周期； (3)如图所示，通道中有A、B两点，A点距地球球心，B点距地球球心，求石块从A运动到B的最短时间。 8. （2026·山东青岛·三模）如图甲所示，轻质弹簧上端与固定位移传感器相连，下端与质量为的小球相连，以小球静止的位置为坐标原点，竖直向下为正向建立坐标轴。时刻给小球一竖直向下、大小为的初速度，位移传感器记录小球速度随位置坐标变化的关系图像如图乙所示。已知弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，从开始计时，下列关于小球的位置坐标、速度、加速度、动能随时间变化的图像，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 9. （2026·安徽芜湖·模拟预测）如图甲所示，一光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一轻质弹簧，将质量为的物块从斜面顶端由静止释放，物块运动到最低点的过程中，其加速度随位移变化的规律如图乙所示，则（     ） A．弹簧的劲度系数为 B． C．弹簧的最大弹性势能为 D．物块的最大动能为 10. （2026·宁夏山西·模拟预测）如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定放置，劲度系数为k的轻质弹簧上端悬挂在垂直斜面放置的挡板上，下端连接一质量为m、可视为质点的小球。当弹簧处于原长时，小球正好处在斜面上的M点且获得沿斜面向下的初速度v0，此后，小球沿斜面运动至最低点N，接着返回M点。已知重力加速度为g，规定沿斜面向下为正方向。查阅资料得知倾斜光滑斜面上的弹簧振子的周期公式为。下列说法正确的是（　　） A．小球从M到N的运动时间小于 B．小球从M到N再返回M，合力的冲量大小为2mv0 C．小球从M到N，其加速度a与下滑的距离x的关系图像的斜率为 D．小球从N到M，其重力势能的增加量等于弹性势能的减小量 11. （2026·辽宁朝阳·模拟预测）如图1所示，长为的轻绳拴一小球A在竖直平面内做简谐运动，如图2所示，长为的轻绳拴一小球B在水平面内做匀速圆周运动，其中，。重力加速度为，两球均可视为质点且质量均为。下列说法正确的是（　　） A．小球A与小球B的周期之比为 B．小球B所受的拉力大小为 C．小球B转动半周的过程中动量变化量为0 D．小球A从左侧最高点第一次运动到最低点的过程，拉力的冲量大小为 12. （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）如图甲所示，底部固定有砂粒的塑料管竖直浮于水面，将塑料管向下压一小段距离后释放，砂粒（视为质点）随塑料管在竖直方向做简谐运动。取竖直向上为正方向，一段时间内砂粒的振动图像如图乙所示，则砂粒（　　） A．振动的振幅为 B．振动的频率为 C．在时距平衡位置 D．在时加速度方向竖直向下 13. （2026·广东佛山·三模）如图甲，用轻弹簧悬挂的手机在竖直方向做简谐运动，点为平衡位置，点为最高点，点为最低点。手机上的传感器记录其竖直方向的加速度随时间变化的曲线如图乙。已知手机质量为，振动周期为，最大加速度大小为，重力加速度为，忽略空气阻力，以竖直向下为正方向。下列说法正确的是（　　） A．时，手机在点 B．过程中，手机运动的动能增大 C．手机运动的最大速度大小为 D．时刻，弹簧弹力大小为 14. （2026·山东济南·三模）（多选）质量为m的物体所受的合外力F在满足F=-kx（x为物体离开平衡位置的位移，k为比例常数）的规律时，其简谐运动的周期为。如图所示，水平地面上有O、A、B三点，OA=1cm，，AB之间地面粗糙，其余部分光滑。劲度系数为k′=1N/cm的轻弹簧左端固定，右端连接质量为m=1kg的物块，弹簧处于原长时，物块恰好静置在O点。已知弹簧的弹性势能为（k′为弹簧的劲度系数，∆x为形变量），物块与AB之间的动摩擦因数为µ=0.1，重力加速度g=10m/s2，将物块拉至B点由静止释放，弹簧始终处于弹性限度内，在整个运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块第一次由B点运动到A点所用时间为 B．物块第一次由B点运动到O点所用时间为 C．物块与地面间产生的热量为 D．物块与地面间产生的热量为 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $