第2讲 弹性和非弹性碰撞常见模型（模型与方法）物理人教版选择性必修第一册

本高中物理讲义聚焦弹性和非弹性碰撞及类碰撞常见模型，系统梳理弹簧连接体、斜弧面、绳摆、板物块、子弹打物块五大模型，构建动量守恒与能量转化的知识脉络，为学生从基础碰撞规律向复杂情境应用提供学习支架。 资料以模型建构为核心，通过规范思维路径强化科学逻辑，每个模型配套例题与变式题，结合真题演练和分层练测提升实战能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过精准练习查漏补缺，培养科学推理与问题解决能力。

第2讲 弹性和非弹性碰撞常见模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.弹簧连接体(类碰撞) 模型02.斜、弧面模型（某一方向上的动量守恒）(类碰撞) 模型03.类碰撞—绳摆模型（特定方向上的动量守恒） 模型04.类碰撞--板物块模型 模型05.类碰撞--子弹打物块模型 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.弹簧连接体(类碰撞) 模型构建 光滑水平面上的弹簧类问题，受合外力为0，满足动量守恒，过程中涉及弹性势能、动能之间的相互转化 模型剖析 【例1】（24-25高二下·山西大同·阶段检测）（多选）如图甲所示,一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接,并静止在光滑的水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得　（     ） A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s,且弹簧都是处于压缩状态 B．t3～t4时间内弹簧由压缩状态恢复到原长 C．两物块的质量之比为m1∶m2=1∶2 D．在t2时刻A与B的动能之比为Ek1∶Ek2=1∶8 【变式1-1】（25-26高一下·河北保定·期末）如图甲所示，a、b两物块（均视为质点）用轻质弹簧连接并放置在光滑的水平面上，a的质量为m。t＝0时刻，使a获得水平向右、大小为v0的初速度，a、b运动的速度—时间图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（     ） A．b的质量为2m B．t3时刻，a、b间的距离最小 C．0~t2时间内，b所受冲量的大小为 D．图乙中阴影部分的面积为 【变式1-2】（25-26高一下·陕西榆林·期末）如图所示，处于光滑水平面上的四分之一光滑圆弧小车，半径R=0.2 m，停靠在平台CDE左端且与平台高度相等。其中CD部分光滑，DE部分粗糙且与滑块Q间的动摩擦因数μ=0.25，平台DE长度L=1 m。滑块P、Q间有一被锁定且处于压缩状态的轻质弹簧，弹簧与P、Q不拴接，解除锁定后，滑块Q到达轨道E点时的速度大小为2m/s。已知滑块P、Q离开CD平台前弹簧已经恢复原长，P、Q质量均为m=1 kg，小车质量为M=0.5 kg，取g=10 m/s2，忽略运动过程中空气阻力的影响。求： (1)初始弹簧的弹性势能； (2)滑块P滑离小车时，小车和滑块P的速度大小； 模型02.斜、弧面模型（某一方向上的动量守恒）(类碰撞) 模型构建 在光滑的水平面上，把滑块与光滑弧面（斜面）看做一个整体，他们之间的作用力为内力，系统在水平方向上满足动量守恒。过程中涉及重力势能、动能之间的相互转化。 模型剖析 【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在光滑水平面上停放着质量为m且装有光滑水平面的弧形轨道AB的小车，一质量为m的小球以水平初速度从小车的右端沿弧形轨道滑上小车，到达某一高度后，小球又返回弧形轨道A端。则下列判断正确的是（　　） A．小球离开小车后，向右做平抛运动 B．小球离开小车后，做自由落体运动 C．此过程中小球对车做功为零 D．小球沿小车弧形轨道上升的最大高度为 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）（多选）如图所示，光滑水平面的左侧固定一弹性挡板，质量为的小球甲和质量为、带有半径足够大光滑圆弧轨道的滑块乙放在水平面上，某时刻给小球甲向右的瞬时冲量，已知小球与挡板间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度为。则（     ） A．甲、乙组成的系统始终机械能守恒、动量守恒 B．小球上升的最大高度为 C．小球只能冲上滑块一次 D．滑块最终的速度大小为 【变式2-2】（25-26高一下·广东深圳·期末）如图a所示，一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量，小车静止在光滑水平地面上，圆弧最下端与水平线相切。有一质量的小球以水平初速度从圆弧最下端滑上小车，到最高点之后又沿轨道滑下。重力加速度取。 (1)求小球沿圆弧轨道上升到最大高度时速度的大小； (2)小球沿圆弧轨道上升的最大高度以及全过程中小车的最大速度。 (3)如图b所示，在题目条件下，若小球从离圆弧下端高处沿圆弧轨道由静止滑下，当小球与小车分离时二者的速度和分别是多少？ 模型03.类碰撞—绳摆模型（特定方向上的动量守恒） 模型构建 此类模型类似于斜面模型，水平方向动量守恒， 过程中涉及重力势能、动能之间的相互转化 模型剖析 【例3】（25-26高二下·安徽宣城·期末）如图，质量的圆环套在光滑水平轨道上，质量的小球通过长的轻绳与圆环连接。现将细绳拉直，且与平行，小球以竖直向下的初速度开始运动，重力加速度，小球到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动过程中，小球和圆环构成系统的动量和机械能均守恒 B．从小球开始运动到小球运动到最低点这段时间内，圆环向右运动的位移大小为 C．小球通过最低点时，小球的速度大小为 D．小球运动到最低点时，细绳对小球的拉力大小为 【变式3-1】（2026·四川眉山·三模）如图所示，水平长直轨道上停有滑块a，小球b（视为质点）通过长为L＝1m的不可伸长的细线与a连接。开始时a、b均处于静止状态，已知子弹c以＝4m/s初速度水平击中滑块a并留在其中，这个过程作用时间极短。已知a、b、c质量均为m＝1kg，重力加速度为，忽略一切摩擦及空气阻力。 (1)求子弹撞击完成瞬间，ac整体的速度大小及碰撞过程中损失的能量。 (2)求在之后的运动过程中，b球第一次摆到最高点时细线与竖直方向夹角的余弦值。 (3)求绳子再一次摆到竖直位置时，ac整体的速度大小和b的速度大小。以及此刻绳上的拉力大小。 【变式3-2】（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）如图所示，水平长杆置于水平地面上方，杆上套有一个质量为M的小木块，小木块可以左右滑动。一根长度为L的轻绳一端与小木块连接，另一端与一个质量为m的小球P连接。轻绳处于水平伸直状态。现同时由静止释放小木块和小球P，当小球P摆动至最低处时与地面上静止的质量为3m的小球Q发生对心正碰，且碰撞为弹性碰撞。若此时小木块沿长杆滑动的距离为，忽略一切阻力，重力加速度为g。则碰后小球Q的速度大小为（     ） A． B． C． D． 模型04.类碰撞--板物块模型 模型构建 在光滑水平地面上，把物块、木板看作一个整体，摩擦力为内力，系统动量守恒，由于摩擦生热，一部分机械能转化为内能 模型剖析 【例4】（2025·河北·模拟预测）（多选）如图1所示，光滑水平地面上并排放着质量kg的木板A、B，一质量为kg的滑块C（可视为质点）以水平初速度m/s从木板A的左端开始运动，最终与木板B保持相对静止。已知从滑块C滑上木板A开始计时，木板B运动的v-t图像如图2所示，木板A、B与滑块C之间的动摩擦因数相同，重力加速度g取10，下列说法正确的是（　　） A．木板A、B与滑块C之间的动摩擦因数为0.2 B．木板B获得的最大速度为m/s C．木板A、B相互作用过程中，B对A的冲量大小为2N·s D．整个过程中，A、B、C组成的系统机械能的减少量为60J 【变式4-1】如图所示，质量为0.3kg、右端有挡板的木板B放在水平地面上，木板B与水平地面之间的动摩擦因数为，木板B虚线左侧部分上表面粗糙，虚线右侧部分上表面光滑。虚线正下方是地面上的点。质量为0.098kg的木块A放在木板B上虚线位置，某时刻一质量为的子弹以的水平速度射入木块A并嵌入其中，与挡板发生弹性碰撞后反弹，当木块A回到位置时速度刚好为零。木块A与木板B粗糙表面之间的动摩擦因数为，重力加速度。所有碰撞时间极短，木块A可以看成质点，未从木板B上滑落。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)子弹射入木块A后瞬时速度大小； (2)木板B上部分的长度； (3)木块A在木板B上滑动过程中A、B之间因摩擦产生的热量。 【变式4-2】（25-26高一下·河南南阳·期末）如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，质量分别为mA=2 kg，mB=1 kg，mC=2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0=5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。A、B间动摩擦因数为0.6，则下列判断正确的是（     ） A．A与C碰撞后的瞬间A的速度大小是0 m/s B．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为15 J C．碰撞后到三者相对静止，B相对长板滑动的距离为0.5 m D．碰撞后到三者相对静止，需要时间为0.4 s 模型05.类碰撞--子弹打物块模型 模型构建 子弹对物块的冲击过程很短，把子弹、木板看作一个整体，且系统内力远大于外力，即使外界有摩擦力，也可以近似看做动量守恒，由于摩擦生热，一部分机械能转化为内能 模型剖析 【例5】（25-26高二下·陕西西安·期末）如图所示，在光滑水平面上有一质量为3m的木块与轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，弹簧处于水平状态，木块处于静止状态，一质量为m的子弹以水平向左的速度射入（时间极短）木块并停留在木块内，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二下·陕西汉中·期末）如图1所示，水平平台ab与凹槽cd相连，质量的小物块A静止在平台上，质量的长木板紧靠凹槽左侧壁静止在光滑水平面上，其上表面与平台ab齐平，质量的小物块B静止在长木板的左端。现对小物块A施加一水平向右的拉力F，拉力F随时间t变化的规律如图2所示，时撤去F，此时小物块A刚好与小物块B发生弹性碰撞。已知小物块A与平台、小物块B与长木板之间的动摩擦因数均为，重力加速度g取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。长木板与凹槽侧壁碰撞后以原速率反弹（碰撞时间极短），且长木板与凹槽侧壁仅碰撞一次，最终小物块B恰好没有离开长木板。求： (1)小物块A与小物块B碰撞后瞬间的速度分别为多大； (2)初始时长木板的右端到凹槽右侧壁的距离； (3)长木板的长度。 【变式5-2】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）如图所示，静止在光滑水平面上质量为2 kg的物体内有一条光滑的轨道MON，其中M、N等高，N端沿竖直方向。质量为0.49 kg的小球静止在M端，质量为0.01 kg的弹丸以大小为200 m/s的速度沿水平方向射入小球并留在其中，弹丸射入小球的时间极短，最终小球能从N端离开物体，重力加速度，小球和弹丸均可视为质点。从弹丸打入小球前到小球离开物体的过程中（     ） A．弹丸、小球、物体组成的系统动量守恒 B．弹丸、小球、物体组成的系统机械能守恒 C．弹丸射入小球的过程损失了200 J的机械能 D．小球离开物体后，物体的速度大小为 1．（2026·贵州·高考真题）如图，完全相同的均质小球A、B被不可伸长的细线悬挂，静止在同一竖直平面内，相互接触无挤压，悬挂点到球心的距离分别为和，A被拉至与竖直方向成的位置并由静止释放，随后与B发生弹性正碰。忽略空气阻力，B的球心上升的最大高度为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上固定两个柱形光滑轨道，轨道上分别约束着只能沿轨道方向运动的两个小球B和C，质量均为。小球B和C通过弹性限度足够大的相同轻质弹簧与质量为的小球A相连。初始时，两弹簧均处于原长。现有一质量为的小球D以速度沿轨道方向与小球A发生对心弹性碰撞，碰撞时间极短，不计空气阻力。 (1)求小球D与A碰撞后瞬间小球A的速度大小； (2)若发生碰撞后小球D不再与A碰撞，求每根弹簧所具有的最大弹性势能； (3)要使弹簧第一次恢复原长时，小球D与A恰好再次发生碰撞，求的值。 3．（2026·广东·高考真题）如图是一种球形机器人跳跃原理的示意图，水平横轴过球心点与外壳固定，外壳上的两挡板位于过点的水平线上，两质量均为的摆锤，由长均为的不可伸长轻绳悬挂于轴上的点，初始时刻，两摆锤同时以水平初速度从最低点向相反方向摆动，直至与两挡板发生碰撞，碰撞时间极短，随后带动外壳以共同速度竖直向上运动，机器人到达最高点后落回地面瞬间，外壳立即静止，两摆锤速度不变，与挡板分离，继续向下运动，已知机器人（含摆锤）总质量为，，，。重力加速度取，忽略空气阻力，摆锤可视为质点，求： (1)摆锤与挡板碰撞后瞬间，机器人的动能； (2)机器人外壳上升的最大高度 ； (3)从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失。 【基础夯实】 1. （24-25高二下·贵州贵阳·期末）如图所示，在光滑的水平面上质量为、足够长的木板上有一个质量为 的滑块，滑块、木板间的动摩擦因数为，在木板的右侧足够远处有一质量为 的小球，三者均处于静止状态。现给滑块一大小为 的瞬时冲量，使滑块开始沿木板向右运动，某时刻木板和小球发生弹性碰撞，最终木板、滑块、小球均以稳定的速度运动，已知重力加速度，下列说法正确的是（     ） A．木板碰撞小球前的瞬间，木板、滑块的速度均为 B．碰后小球的速度为 C．最终木板、滑块的速度为 D．整个过程中滑块在木板上滑行的路程为 2. （25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）在光滑水平面上，两个质量分别为m1和m2的小球发生正碰。碰撞前m1以速度向右运动，m2静止。若碰撞后m1和m2粘在一起运动，则碰撞过程中损失的机械能为（     ） A． B． C． D． 3. （25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）（多选）如图（a）所示，一倾角为的固定斜面底端装有一挡板，挡板上装有力传感器，时刻一小物块在斜面上距挡板处由静止释放，小物块沿斜面下滑并与挡板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，忽略碰撞过程中物块所受的重力和摩擦力。挡板弹力随时间变化的图像如图（b）所示，图像中两阴影区域面积之比为2∶1。下列说法正确的是（     ） A．第一次和第二次与挡板碰撞的时刻之比 B．第一次和第二次与挡板碰撞的弹力大小之比为2∶1 C．斜面与小物块间的动摩擦因数 D．小物块在斜面上运动的总路程为 4. （25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA＝2.0 kg和mB＝1.0 kg。用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C从t＝0时开始以一定速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v-t图像如图乙所示。则下列说法正确的是（     ） A．物块C的质量mC＝1 kg B．t＝8 s时弹簧的弹性势能Ep1＝4.5 J C．4~12 s过程中，系统动量、机械能均守恒 D．B离开墙后的过程中弹簧具有的最大弹性势能Ep2＝0.375 J 5. （24-25高二上·云南保山·阶段检测）（多选）2022年2月4日冬奥会在北京举行，冰雪运动逐渐受到人们喜爱。冰壶运动是运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上自由滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，投掷冰壶的运动员的队友，可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动。如图甲所示，蓝壶静止在圆形区域内，已知冰壶质量，运动员用等质量的红壶撞击蓝壶，两壶发生正碰。若碰撞前、后两壶的图像如图乙所示。关于冰壶的运动，下列说法正确的是（  ） A．碰撞后蓝壶运动的速度大小为0.5m/s B．碰撞后蓝壶运动的加速度大小为0.12m/s2 C．若两壶碰撞时间为，则红壶在碰撞过程中所受的平均作用力为 D．两壶碰撞过程中，系统损失的机械能为5J 6. （25-26高一下·陕西西安·期末）如图所示，A、B两物体的质量之比为，它们原来静止在平板车C上，A、B两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧，A、B两物体与平板车上表面间的动摩擦因数分别为和，水平地面光滑。当弹簧突然释放后，A、B两物体同时被弹开并相对平板车滑动（A、B两物体始终不滑出平板车），不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若，则A、B组成的系统在其滑动过程中动量守恒 B．若，则弹簧释放瞬间，平板车C立即向左加速 C．若，则弹簧释放瞬间，平板车C立即向左加速 D．调整和的比例至合适的值，能使A、B、C和弹簧构成的系统动量守恒且机械能守恒 7. （24-25高二上·广东潮州·阶段检测）（多选）如图所示，表面光滑的四分之一圆弧形轨道静止在光滑水平面上。小球以一定的初速度从点滑上轨道底端，并从点离开轨道顶端。若轨道和小球的质量相等，则在小球和轨道相互作用的过程中（     ） A．小球和轨道组成的系统动量守恒 B．小球从点离开轨道时做竖直上抛运动 C．小球对轨道一直做正功 D．小球能够回到点且之后做自由落体运动 8. （24-25高二上·山东德州·阶段检测）（多选）如图所示，光滑水平面上放置着半径为R、质量为3m的半圆形槽，AB为槽的水平直径。质量为m的小球自左端槽口A点的正上方距离为R处由静止下落，从A点切入槽内。已知重力加速度大小为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（     ） A．槽向左运动的最大位移为R B．小球在槽中运动的最大速度为 C．小球能从B点离开槽，且上升的最大高度小于R D．若槽固定，小球在槽中运动过程中，重力做功的最大功率为 【培优拔高】 9. （25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）如图所示，足够长的水平传送带逆时针匀速传送的速度大小，其左端的平台边缘静置有质量的小物块，某时刻与小物块质量相等的小球以初速度射入物块，并与物块立即合为一体，已知物块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度g取，不计小球与物块的作用时间和它们的大小，求： (1)从小球射入物块到物块速度减为零的过程中，物块与传送带间由于摩擦而产生的热量Q。 (2)从小球射入物块到物块再次返回传送带左端所经历的时间t。 10. （25-26高三上·江苏南通·期中）如图所示，质量为的A球从高度为H处由静止开始沿曲面下滑至水平面球始终没脱离曲面，曲面与水平面平滑连接，刚到达曲面底部时对曲面的压力大小为。A球与静止在水平面上质量为的B球发生弹性正碰，两球直径大小相同，碰撞时间极短。不计一切摩擦，水平面足够长，重力加速度大小为g。 (1)求曲面底部的曲率半径； (2)若，求两球发生第一次碰撞后各自的速度大小、； (3)若，求两球碰撞的次数。 11. （2025高三·河北·专题练习）如图所示，带有锁扣装置的、质量为的光滑的半圆形凹槽静止在光滑的水平桌面上，质量为的小球静止在凹槽的最低点，左侧有个相同的小物块，质量均为。现给凹槽一个水平向左的冲量使其获得速度后，经过时间，小球恰好到达凹槽右端，立即被锁扣装置锁死，且此过程中凹槽未与小物块相碰。已知，重力加速度为，所有的碰撞均为弹性碰撞。求： (1)凹槽的半径； (2)开始时凹槽离小物块右边缘至少多远； (3)小物块1的最终速度大小。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 弹性和非弹性碰撞常见模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.弹簧连接体(类碰撞) 模型02.斜、弧面模型（某一方向上的动量守恒）(类碰撞) 模型03.类碰撞—绳摆模型（特定方向上的动量守恒） 模型04.类碰撞--板物块模型 模型05.类碰撞--子弹打物块模型 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.弹簧连接体(类碰撞) 模型构建 光滑水平面上的弹簧类问题，受合外力为0，满足动量守恒，过程中涉及弹性势能、动能之间的相互转化 模型剖析 【例1】（24-25高二下·山西大同·阶段检测）（多选）如图甲所示,一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接,并静止在光滑的水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得　（     ） A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s,且弹簧都是处于压缩状态 B．t3～t4时间内弹簧由压缩状态恢复到原长 C．两物块的质量之比为m1∶m2=1∶2 D．在t2时刻A与B的动能之比为Ek1∶Ek2=1∶8 【答案】CD 【详解】A．两物块初始静止时弹簧弹力为零，故弹簧处于原长。在内，，两物块间距减小，弹簧被压缩；在时两物块速度相同，弹簧压缩量最大。在时两物块的加速度均为零，弹簧恢复原长；在内，，两物块间距增大，在时弹簧伸长量最大，故A错误； B．由上述分析可知，时弹簧处于伸长状态，时间内弹簧由伸长状态恢复到原长，故B错误； C．系统在水平方向不受外力，动量守恒。由图像可知，初始时、，在时、，根据动量守恒定律有 解得，故C正确； D．在时物块与物块的动能之比为，故D正确。 故选CD。 【变式1-1】（25-26高一下·河北保定·期末）如图甲所示，a、b两物块（均视为质点）用轻质弹簧连接并放置在光滑的水平面上，a的质量为m。t＝0时刻，使a获得水平向右、大小为v0的初速度，a、b运动的速度—时间图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（     ） A．b的质量为2m B．t3时刻，a、b间的距离最小 C．0~t2时间内，b所受冲量的大小为 D．图乙中阴影部分的面积为 【答案】D 【详解】A．0~t1时间内，对ab系统由动量守恒定律，可得b的质量为，A错误； B．t1时刻，弹簧被压缩到最短，此时a、b间的距离最小；t3时刻，弹簧被拉伸最长，此时a、b间的距离最大，B错误； C．0~t2时间内，b所受冲量的大小为，C错误； D．由能量关系 解得 即此时弹簧的压缩量为，也就是两物体的位移差为，由v-t图像的面积等于位移可知，图乙中阴影部分的面积为，D正确。 故选D。 【变式1-2】（25-26高一下·陕西榆林·期末）如图所示，处于光滑水平面上的四分之一光滑圆弧小车，半径R=0.2 m，停靠在平台CDE左端且与平台高度相等。其中CD部分光滑，DE部分粗糙且与滑块Q间的动摩擦因数μ=0.25，平台DE长度L=1 m。滑块P、Q间有一被锁定且处于压缩状态的轻质弹簧，弹簧与P、Q不拴接，解除锁定后，滑块Q到达轨道E点时的速度大小为2m/s。已知滑块P、Q离开CD平台前弹簧已经恢复原长，P、Q质量均为m=1 kg，小车质量为M=0.5 kg，取g=10 m/s2，忽略运动过程中空气阻力的影响。求： (1)初始弹簧的弹性势能； (2)滑块P滑离小车时，小车和滑块P的速度大小； 【答案】(1)9 J (2)4 m/s，1 m/s 【详解】（1）滑块Q从D点运动到E点过程由动能定理 解得 滑块P与滑块Q被弹簧弹开过程中，满足系统动量守恒可得 解得 根据两个滑块与弹簧组成的系统机械能守恒可得 解得 （2）最终滑块P从B点滑离小车，研究P和小车组成的系统，根据水平方向动量守恒可得 根据P和小车组成的系统相互作用过程中机械能守恒可得 解得， 即滑块速度大小为，小车速度大小为。 模型02.斜、弧面模型（某一方向上的动量守恒）(类碰撞) 模型构建 在光滑的水平面上，把滑块与光滑弧面（斜面）看做一个整体，他们之间的作用力为内力，系统在水平方向上满足动量守恒。过程中涉及重力势能、动能之间的相互转化。 模型剖析 【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在光滑水平面上停放着质量为m且装有光滑水平面的弧形轨道AB的小车，一质量为m的小球以水平初速度从小车的右端沿弧形轨道滑上小车，到达某一高度后，小球又返回弧形轨道A端。则下列判断正确的是（　　） A．小球离开小车后，向右做平抛运动 B．小球离开小车后，做自由落体运动 C．此过程中小球对车做功为零 D．小球沿小车弧形轨道上升的最大高度为 【答案】B 【详解】AB．小球滑上弧形槽后又下滑的过程中，小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，系统的机械能也守恒，设小球刚返回轨道端时的速度为，此时车的速度为 可得：， 可解得：（另解舍去） 可见小球回到轨道端后速度为零，做自由落体运动，A错误，B正确； C．此过程小球对车做的功，C错误； D．小球与车同速时，小球到最大高度，由机械能守恒得： 又 可求出，D错误。 故选B。 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）（多选）如图所示，光滑水平面的左侧固定一弹性挡板，质量为的小球甲和质量为、带有半径足够大光滑圆弧轨道的滑块乙放在水平面上，某时刻给小球甲向右的瞬时冲量，已知小球与挡板间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度为。则（     ） A．甲、乙组成的系统始终机械能守恒、动量守恒 B．小球上升的最大高度为 C．小球只能冲上滑块一次 D．滑块最终的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．甲滑上乙时，对甲、乙系统，只有重力做功，则系统的机械能守恒，而小球和滑块组成的系统竖直方向合力不为零，则系统的动量不守恒，只是在水平方向上动量守恒，故A错误； B．小球滑上滑块前，小球的速度为   当小球上升到最大高度时，小球和滑块共速，设共同速度为，则由水平方向动量守恒得   解得 设小球上升的最大高度为，则由机械能守恒定律得 解得 ，故B正确； C．设小球第一次返回到滑块底端时，小球和滑块的速度分别为、，对小球和滑块组成的系统，由动量守恒定律得   以及机械能守恒定律得 解得， 小球的速度大于滑块的速度，当小球与挡板发生碰撞后，小球一定能再次冲上滑块，故C错误； D．设小球第二次返回到滑块底端时，小球和滑块的速度分别为、，对小球和滑块组成的系统，由动量守恒定律得   以及机械能守恒定律得 解得，   小球第二次返回到滑块底端的速度小于滑块的速度，所以小球不能第三次冲上滑块，即滑块的最终速度为，故D正确。 故选BD。 【变式2-2】（25-26高一下·广东深圳·期末）如图a所示，一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量，小车静止在光滑水平地面上，圆弧最下端与水平线相切。有一质量的小球以水平初速度从圆弧最下端滑上小车，到最高点之后又沿轨道滑下。重力加速度取。 (1)求小球沿圆弧轨道上升到最大高度时速度的大小； (2)小球沿圆弧轨道上升的最大高度以及全过程中小车的最大速度。 (3)如图b所示，在题目条件下，若小球从离圆弧下端高处沿圆弧轨道由静止滑下，当小球与小车分离时二者的速度和分别是多少？ 【答案】(1) (2)；，方向水平向左 (3)，方向水平向右；，方向水平向左 【详解】（1）小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，设小球沿圆弧轨道上升的最大高度为，两者共同速度大小为，以水平向左的方向为正方向，有 解得 （2）小球与小车组成的系统机械能守恒，小球在最低点的动能转化为最高点时的重力势能和动能 解得。 当小球与小车分离时，小车获得的速度最大。取水平向左的方向为正方向，小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，有 小球与小车组成的系统机械能守恒，有 联立解得，方向水平向左 （3）小球沿圆弧轨道下滑过程中，小球和小车组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒。取水平向右为正方向，则有， 联立解得， 模型03.类碰撞—绳摆模型（特定方向上的动量守恒） 模型构建 此类模型类似于斜面模型，水平方向动量守恒， 过程中涉及重力势能、动能之间的相互转化 模型剖析 【例3】（25-26高二下·安徽宣城·期末）如图，质量的圆环套在光滑水平轨道上，质量的小球通过长的轻绳与圆环连接。现将细绳拉直，且与平行，小球以竖直向下的初速度开始运动，重力加速度，小球到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动过程中，小球和圆环构成系统的动量和机械能均守恒 B．从小球开始运动到小球运动到最低点这段时间内，圆环向右运动的位移大小为 C．小球通过最低点时，小球的速度大小为 D．小球运动到最低点时，细绳对小球的拉力大小为 【答案】D 【详解】A．系统在水平方向不受外力，水平方向动量守恒。但竖直方向受重力作用，总动量不守恒。系统内只有重力、绳的拉力做功，拉力对两物体做功代数和为零，故系统机械能守恒，故A错误； B．设向左为正方向，圆环速度为，方向向右，小球水平速度为，方向向左。 水平动量守恒 在极短时间内 在整个过程中微元累加得 初始绳水平，到达最低点时绳竖直，小球相对圆环向左移动 故，代入 解得，即圆环向右位移大小为，故B错误； C．由水平动量守恒解得 系统初始动能，设最低点为零势面，初始重力势能，总机械能 由机械能守恒，最低点时 解得，故C错误； D．最低点时绳竖直，圆环在水平方向不受绳的拉力，水平加速度为零，可视为惯性参考系。 小球相对圆环的速度，方向水平向左。 向心力由绳拉力与重力的合力提供 解得，故D正确。 故选D。 【变式3-1】（2026·四川眉山·三模）如图所示，水平长直轨道上停有滑块a，小球b（视为质点）通过长为L＝1m的不可伸长的细线与a连接。开始时a、b均处于静止状态，已知子弹c以＝4m/s初速度水平击中滑块a并留在其中，这个过程作用时间极短。已知a、b、c质量均为m＝1kg，重力加速度为，忽略一切摩擦及空气阻力。 (1)求子弹撞击完成瞬间，ac整体的速度大小及碰撞过程中损失的能量。 (2)求在之后的运动过程中，b球第一次摆到最高点时细线与竖直方向夹角的余弦值。 (3)求绳子再一次摆到竖直位置时，ac整体的速度大小和b的速度大小。以及此刻绳上的拉力大小。 【答案】(1)； (2) (3)；； 【详解】（1）碰撞时间极短，细线沿竖直方向，取子弹初速度方向为正方向。对子弹与滑块组成的系统，由水平方向动量守恒得 解得 碰撞过程中损失的能量为 （2）子弹嵌入后，对滑块、子弹与小球组成的系统，水平方向动量守恒，机械能守恒。小球第一次摆到最高点时相对滑块的速度为零，三者速度均为，由水平方向动量守恒得 解得 设细线与竖直方向的夹角为，由机械能守恒得 代入数据，解得 （3）细线再次摆到竖直位置时，系统的重力势能恢复到碰撞后的初始值。由机械能守恒可知，系统总动能也恢复到碰撞后的初始值。设此时滑块和子弹组成的整体速度为，小球的速度为，由水平方向动量守恒得 由机械能守恒得 联立两式，除去碰撞刚结束时、 的初始状态，解得 进而有 此时小球相对滑块的速度大小为 在竖直方向上，小球的加速度等于其相对滑块的向心加速度。设细线的拉力为，由牛顿第二定律得 代入数据，解得 【变式3-2】（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）如图所示，水平长杆置于水平地面上方，杆上套有一个质量为M的小木块，小木块可以左右滑动。一根长度为L的轻绳一端与小木块连接，另一端与一个质量为m的小球P连接。轻绳处于水平伸直状态。现同时由静止释放小木块和小球P，当小球P摆动至最低处时与地面上静止的质量为3m的小球Q发生对心正碰，且碰撞为弹性碰撞。若此时小木块沿长杆滑动的距离为，忽略一切阻力，重力加速度为g。则碰后小球Q的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小球P到达最低点的速度为，此时小木块的速度为，小球P和小木块组成的系统在水平方向动量守恒，则有 根据能量守恒定律可得 结合题意可知，小球P到达最低点时，小木块沿长杆移动的距离为，则小球P沿水平方向移动的距离为，结合 可得， 联立解得，小球P在最低点的速度为 小球P和小球Q发生弹性对心碰撞，设碰撞后小球P的速度为，小球Q的速度为，由动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得 解得 故选C。 模型04.类碰撞--板物块模型 模型构建 在光滑水平地面上，把物块、木板看作一个整体，摩擦力为内力，系统动量守恒，由于摩擦生热，一部分机械能转化为内能 模型剖析 【例4】（2025·河北·模拟预测）（多选）如图1所示，光滑水平地面上并排放着质量kg的木板A、B，一质量为kg的滑块C（可视为质点）以水平初速度m/s从木板A的左端开始运动，最终与木板B保持相对静止。已知从滑块C滑上木板A开始计时，木板B运动的v-t图像如图2所示，木板A、B与滑块C之间的动摩擦因数相同，重力加速度g取10，下列说法正确的是（　　） A．木板A、B与滑块C之间的动摩擦因数为0.2 B．木板B获得的最大速度为m/s C．木板A、B相互作用过程中，B对A的冲量大小为2N·s D．整个过程中，A、B、C组成的系统机械能的减少量为60J 【答案】AC 【详解】A．根据运动分析可知，前内，C在A上滑动，A与B一起加速，由图2知，B的加速度 对A、B整体，由牛顿第二定律 代入数据解得，故A正确； B． 时，C刚滑上B，此时， 此后A匀速，B与C组成系统动量守恒 解得，即B最大速度为，故B错误； C．设A受B的弹力为N，对A牛顿第二定律 解得 B对A的冲量大小为，故C正确； D．初始动能 末动能 机械能减少量，故D错误。 故选AC。 【变式4-1】如图所示，质量为0.3kg、右端有挡板的木板B放在水平地面上，木板B与水平地面之间的动摩擦因数为，木板B虚线左侧部分上表面粗糙，虚线右侧部分上表面光滑。虚线正下方是地面上的点。质量为0.098kg的木块A放在木板B上虚线位置，某时刻一质量为的子弹以的水平速度射入木块A并嵌入其中，与挡板发生弹性碰撞后反弹，当木块A回到位置时速度刚好为零。木块A与木板B粗糙表面之间的动摩擦因数为，重力加速度。所有碰撞时间极短，木块A可以看成质点，未从木板B上滑落。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)子弹射入木块A后瞬时速度大小； (2)木板B上部分的长度； (3)木块A在木板B上滑动过程中A、B之间因摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）取子弹初速度方向为正方向，子弹质量为，木块的质量为，子弹嵌入木块后的共同速度为，根据动量守恒定律有 解得 代入数据得 （2）令子弹与木块组成的组合体质量为，组合体在光滑的bc部分运动时木板保持静止。组合体与木板右端挡板发生弹性碰撞，设碰后组合体和木板的速度分别为、，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有， 联立解得， 代入数据得， 负号表示组合体碰后向左运动。 碰后组合体在光滑的bc部分向左做匀速直线运动，木板向右做匀减速直线运动，地面对木板的滑动摩擦力大小为，根据牛顿第二定律有 代入数据得 设挡板到粗糙面左端的长度，组合体从挡板返回粗糙面所用时间为，在此过程中组合体与木板的相对位移大小为，故有 组合体进入粗糙面后受到向右的滑动摩擦力，其加速度大小为 组合体从碰撞位置运动至地面上的点时速度恰好为零，其向左运动的总位移大小为，故有 联立消去得 解得 代入数据得或 木板仅受地面摩擦时的停止时间为，由于上述位移公式要求木板尚未停止，故舍去。 将代入位移关系得 解得 （3）组合体进入粗糙面时，木板的速度为 代入数据得 组合体在粗糙面上向左滑动时，木板同时受到地面和组合体对其向左的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律有 代入数据得 木板停止运动所用时间为 解得 组合体停止运动所用时间为 解得 由于，木板先停止。木板停止后，组合体对木板的滑动摩擦力大小为，小于地面对木板的最大静摩擦力，因此木板保持静止。 组合体在粗糙面上的位移大小为 木板在停止前的位移大小为 由于二者运动方向相反，组合体相对木板的滑动距离为 代入数据得 组合体与木板粗糙面之间的滑动摩擦力大小为，产生的热量为 解得 【变式4-2】（25-26高一下·河南南阳·期末）如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，质量分别为mA=2 kg，mB=1 kg，mC=2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0=5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。A、B间动摩擦因数为0.6，则下列判断正确的是（     ） A．A与C碰撞后的瞬间A的速度大小是0 m/s B．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为15 J C．碰撞后到三者相对静止，B相对长板滑动的距离为0.5 m D．碰撞后到三者相对静止，需要时间为0.4 s 【答案】C 【详解】A．因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰撞后瞬间A的速度大小为vA，C的速度大小为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0=mAvA+mCvC A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得mAvA+mBv0=(mA+mB)vAB A、B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足vAB=vC 联立解得vA=2m/s，vAB=3m/s，A错误； B．运动过程中因摩擦而产生的热量等于A、B相互作用的过程中损失的机械能，由能量守恒定律得 代入数据解得Q=3J，B错误； C．根据 解得x=0.5m 即碰撞后到三者相对静止，B相对长板滑动的距离为0.5m，C正确； D．对B由动量定理 解得，D错误。 故选C。 模型05.类碰撞--子弹打物块模型 模型构建 子弹对物块的冲击过程很短，把子弹、木板看作一个整体，且系统内力远大于外力，即使外界有摩擦力，也可以近似看做动量守恒，由于摩擦生热，一部分机械能转化为内能 模型剖析 【例5】（25-26高二下·陕西西安·期末）如图所示，在光滑水平面上有一质量为3m的木块与轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，弹簧处于水平状态，木块处于静止状态，一质量为m的子弹以水平向左的速度射入（时间极短）木块并停留在木块内，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 子弹射入木块的时间极短，弹簧还未发生明显形变，弹力冲量可忽略，子弹和木块组成的系统动量守恒。 设碰撞后子弹和木块的共同速度为，根据动量守恒定律 解得 子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒。当木块速度减为0时，动能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹性势能最大，最大弹性势能等于子弹和木块的共同动能 故选A。 【变式5-1】（25-26高二下·陕西汉中·期末）如图1所示，水平平台ab与凹槽cd相连，质量的小物块A静止在平台上，质量的长木板紧靠凹槽左侧壁静止在光滑水平面上，其上表面与平台ab齐平，质量的小物块B静止在长木板的左端。现对小物块A施加一水平向右的拉力F，拉力F随时间t变化的规律如图2所示，时撤去F，此时小物块A刚好与小物块B发生弹性碰撞。已知小物块A与平台、小物块B与长木板之间的动摩擦因数均为，重力加速度g取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。长木板与凹槽侧壁碰撞后以原速率反弹（碰撞时间极短），且长木板与凹槽侧壁仅碰撞一次，最终小物块B恰好没有离开长木板。求： (1)小物块A与小物块B碰撞后瞬间的速度分别为多大； (2)初始时长木板的右端到凹槽右侧壁的距离； (3)长木板的长度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，时，拉力 此时小物块A开始运动，运动时间，运动过程中拉力的冲量 设小物块A与小物块B碰撞前瞬间的速度为，根据动量定理有 可得 若小物块A与小物块B碰撞后瞬间，A的速度为，B的速度为，由动量守恒定律，有， 解得 即小物块A与小物块B碰撞后瞬间的速度大小分别为， （2）长木板仅与凹槽侧壁碰撞一次，则与凹槽右壁碰撞后，小物块B与长木板动量大小相等，方向相反。设长木板与凹槽右壁碰撞后，小物块B的速度大小为，长木板的速度大小为，则有 长木板与凹槽右壁碰撞前，小物块B与长木板组成的系统动量守恒 解得， 长木板向右加速的加速度大小为，根据， 联立求得长木板的右端最初到凹槽右侧壁的距离 （3）设长木板的长度为，则 解得长木板的长度 【变式5-2】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）如图所示，静止在光滑水平面上质量为2 kg的物体内有一条光滑的轨道MON，其中M、N等高，N端沿竖直方向。质量为0.49 kg的小球静止在M端，质量为0.01 kg的弹丸以大小为200 m/s的速度沿水平方向射入小球并留在其中，弹丸射入小球的时间极短，最终小球能从N端离开物体，重力加速度，小球和弹丸均可视为质点。从弹丸打入小球前到小球离开物体的过程中（     ） A．弹丸、小球、物体组成的系统动量守恒 B．弹丸、小球、物体组成的系统机械能守恒 C．弹丸射入小球的过程损失了200 J的机械能 D．小球离开物体后，物体的速度大小为 【答案】D 【详解】A．弹丸、小球、物体组成的系统在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒；但在竖直方向上，小球在轨道内运动时有竖直方向的加速度，系统所受合外力不为零，故系统总动量不守恒，故A错误； B．弹丸射入小球的过程属于完全非弹性碰撞，有部分机械能转化为内能，故系统机械能不守恒，故B错误； C．设弹丸的质量为，小球的质量为，弹丸的速度 弹丸射入小球过程，由动量守恒定律得 解得共同速度 该过程损失的机械能，故C错误； D．小球（含弹丸）在物体轨道上运动过程中，系统水平方向动量守恒。当小球从端离开时，由于端沿竖直方向，小球相对于物体的速度竖直向上，即小球与物体在水平方向上具有相同的速度，设为。设物体的质量为，由水平方向动量守恒定律可得 解得，故D正确。 故选D。 1．（2026·贵州·高考真题）如图，完全相同的均质小球A、B被不可伸长的细线悬挂，静止在同一竖直平面内，相互接触无挤压，悬挂点到球心的距离分别为和，A被拉至与竖直方向成的位置并由静止释放，随后与B发生弹性正碰。忽略空气阻力，B的球心上升的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设A、B小球的质量均为，忽略空气阻力，则A从静止释放至与B发生碰撞前瞬间，由动能定理可得 A球与B球碰撞过程中，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有， 可得 由于 所以从碰撞后至下次碰撞前，B做圆周运动，设B的球心上升的最大高度为h，则对B从碰后至上升到最大高度的过程，由动能定理可得 解得 故选A。 2．（2026·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上固定两个柱形光滑轨道，轨道上分别约束着只能沿轨道方向运动的两个小球B和C，质量均为。小球B和C通过弹性限度足够大的相同轻质弹簧与质量为的小球A相连。初始时，两弹簧均处于原长。现有一质量为的小球D以速度沿轨道方向与小球A发生对心弹性碰撞，碰撞时间极短，不计空气阻力。 (1)求小球D与A碰撞后瞬间小球A的速度大小； (2)若发生碰撞后小球D不再与A碰撞，求每根弹簧所具有的最大弹性势能； (3)要使弹簧第一次恢复原长时，小球D与A恰好再次发生碰撞，求的值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，小球D与小球A发生弹性正碰，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 联立解得， （2）根据题意可知，小球A、B、C共速时，弹簧的形变量最大，弹簧弹性势能最大，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得 （3）根据题意，设小球D与小球A发生弹性正碰后到弹簧再次恢复原长的时间为，由动量守恒定律有 两边同时乘以并求和可得 要使弹簧恢复原长时，m与M能再次发生碰撞，则有 整理可得 解得 即球质量m和大球质量M的质量比。 3．（2026·广东·高考真题）如图是一种球形机器人跳跃原理的示意图，水平横轴过球心点与外壳固定，外壳上的两挡板位于过点的水平线上，两质量均为的摆锤，由长均为的不可伸长轻绳悬挂于轴上的点，初始时刻，两摆锤同时以水平初速度从最低点向相反方向摆动，直至与两挡板发生碰撞，碰撞时间极短，随后带动外壳以共同速度竖直向上运动，机器人到达最高点后落回地面瞬间，外壳立即静止，两摆锤速度不变，与挡板分离，继续向下运动，已知机器人（含摆锤）总质量为，，，。重力加速度取，忽略空气阻力，摆锤可视为质点，求： (1)摆锤与挡板碰撞后瞬间，机器人的动能； (2)机器人外壳上升的最大高度 ； (3)从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）两摆锤以初速度沿外壳向上运动，与挡板相碰前，摆锤机械能守恒。设摆锤与挡板相碰前的速度为v，根据机械能守恒定律有 解得 摆锤与挡板相碰后与机器人一起运动，根据动量守恒定律有 解得 机器人起跳时的动能 （2）根据速度位移关系 可得机器人外壳上升的最大高度 （3）机器人外壳落到地面时，机器人外壳的速度立即变为0，根据竖直上抛运动的对称性可知摆锤速度大小为，从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失 解得 【基础夯实】 1. （24-25高二下·贵州贵阳·期末）如图所示，在光滑的水平面上质量为、足够长的木板上有一个质量为 的滑块，滑块、木板间的动摩擦因数为，在木板的右侧足够远处有一质量为 的小球，三者均处于静止状态。现给滑块一大小为 的瞬时冲量，使滑块开始沿木板向右运动，某时刻木板和小球发生弹性碰撞，最终木板、滑块、小球均以稳定的速度运动，已知重力加速度，下列说法正确的是（     ） A．木板碰撞小球前的瞬间，木板、滑块的速度均为 B．碰后小球的速度为 C．最终木板、滑块的速度为 D．整个过程中滑块在木板上滑行的路程为 【答案】B 【详解】A．滑块初速度为零，取向右为正方向，由动量定理得 解得 由于小球距木板足够远，碰撞前滑块与木板已达到共同速度。滑动过程中滑块和木板组成的系统水平方向动量守恒，有 解得，故A错误； B．取向右为正方向，木板与小球发生弹性碰撞，碰撞过程中动量守恒且机械能守恒，有， 联立解得，，故B正确； C．取向右为正方向，弹性碰撞时间极短，滑块的速度仍为。对木板与小球的弹性碰撞过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律得， 联立解得， 之后滑块与木板相对滑动，二者组成的系统水平方向动量守恒，达到共同速度时有 解得，故C错误； D．各阶段条件不变，沿用前面由动量定理、动量守恒定律和机械能守恒定律所得结果，冲量后滑块的速度为，最终木板与滑块的共同速度为，小球的速度为。设整个过程中滑块相对木板的滑动路程为，滑动摩擦力大小为 弹性碰撞过程没有机械能损失，由能量守恒定律得 解得，故D错误。 故选B。 2. （25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）在光滑水平面上，两个质量分别为m1和m2的小球发生正碰。碰撞前m1以速度向右运动，m2静止。若碰撞后m1和m2粘在一起运动，则碰撞过程中损失的机械能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两小球发生完全非弹性碰撞，水平面光滑，碰撞过程系统动量守恒 解得 损失的机械能 解得 故选D。 3. （25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）（多选）如图（a）所示，一倾角为的固定斜面底端装有一挡板，挡板上装有力传感器，时刻一小物块在斜面上距挡板处由静止释放，小物块沿斜面下滑并与挡板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，忽略碰撞过程中物块所受的重力和摩擦力。挡板弹力随时间变化的图像如图（b）所示，图像中两阴影区域面积之比为2∶1。下列说法正确的是（     ） A．第一次和第二次与挡板碰撞的时刻之比 B．第一次和第二次与挡板碰撞的弹力大小之比为2∶1 C．斜面与小物块间的动摩擦因数 D．小物块在斜面上运动的总路程为 【答案】AC 【详解】A．设物块第一次、第二次碰撞前的速度大小分别为、，沿斜面向下运动的加速度为 碰后沿斜面向上运动的加速度大小为 碰撞时间均忽略不计。碰撞为弹性碰撞，每次碰撞的冲量大小为 由图像面积比得，第一次碰撞后，物块先向上做匀减速运动，再由静止向下做匀加速运动，故 解得，即上滑加速度大小是下滑加速度的4倍。初次下滑有 第一次碰撞后，上滑时间为 下滑时间为 故 所以，故A正确； B．图像的面积表示挡板弹力的冲量，面积比为不能确定两次碰撞中弹力大小之比，故B错误； C．设沿斜面向下运动的加速度为，上滑加速度大小为。由冲量比和弹性碰撞关系得 由第一次碰撞后的上滑、下滑过程得 即上滑加速度大小是下滑加速度的4倍。由 和 整理得 解得，故C正确； D．设沿斜面向下运动的加速度为，上滑加速度大小为，由冲量比可得。初次下滑有 故第一次碰撞后的上滑路程为 以后每次碰撞后的上滑路程均为前一次的 物块的总路程为，故D错误。 故选AC。 4. （25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA＝2.0 kg和mB＝1.0 kg。用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C从t＝0时开始以一定速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v-t图像如图乙所示。则下列说法正确的是（     ） A．物块C的质量mC＝1 kg B．t＝8 s时弹簧的弹性势能Ep1＝4.5 J C．4~12 s过程中，系统动量、机械能均守恒 D．B离开墙后的过程中弹簧具有的最大弹性势能Ep2＝0.375 J 【答案】AD 【详解】A．C与A发生完全非弹性碰撞，碰撞过程动量守恒。 由图乙可知：碰前C的速度，碰后C、A共速，速度。 根据动量守恒定律 解得，故A正确； B．碰撞后，A、C一起向右运动压缩弹簧，时A、C速度减为0，动能全部转化为弹性势能，该过程只有弹力做功，机械能守恒 解得， 不是，故B错误； C．4~12s内，B未离开墙，墙对B有水平向左的弹力，系统（A、B、C、弹簧）合外力不为零，因此动量不守恒，故C错误； D．时，弹簧恢复原长，B开始离开墙，此时A、C的速度大小为，方向向左，B速度为0。 B离开墙后，系统动量守恒、机械能守恒，当A、B、C三者共速时，弹簧弹性势能最大。 根据动量守恒 代入数据得。 根据机械能守恒，最大弹性势能等于动能的减少量 代入数据解得，故D正确。 故选AD 。 5. （24-25高二上·云南保山·阶段检测）（多选）2022年2月4日冬奥会在北京举行，冰雪运动逐渐受到人们喜爱。冰壶运动是运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上自由滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，投掷冰壶的运动员的队友，可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动。如图甲所示，蓝壶静止在圆形区域内，已知冰壶质量，运动员用等质量的红壶撞击蓝壶，两壶发生正碰。若碰撞前、后两壶的图像如图乙所示。关于冰壶的运动，下列说法正确的是（  ） A．碰撞后蓝壶运动的速度大小为0.5m/s B．碰撞后蓝壶运动的加速度大小为0.12m/s2 C．若两壶碰撞时间为，则红壶在碰撞过程中所受的平均作用力为 D．两壶碰撞过程中，系统损失的机械能为5J 【答案】BC 【详解】A．由红壶和蓝壶组成的系统，碰撞瞬间动量守恒可知，解得，A错误； B．由图乙可知，蓝壶停止的时刻为，蓝壶运动的时间，蓝壶运动的加速度，B正确； C．红壶在碰撞过程中所受的平均作用力即为合外力，对红壶碰撞瞬间由动量定理可知，解得，C正确； D．两壶碰撞过程中，系统损失的机械能，D错误。 故选BC。 6. （25-26高一下·陕西西安·期末）如图所示，A、B两物体的质量之比为，它们原来静止在平板车C上，A、B两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧，A、B两物体与平板车上表面间的动摩擦因数分别为和，水平地面光滑。当弹簧突然释放后，A、B两物体同时被弹开并相对平板车滑动（A、B两物体始终不滑出平板车），不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若，则A、B组成的系统在其滑动过程中动量守恒 B．若，则弹簧释放瞬间，平板车C立即向左加速 C．若，则弹簧释放瞬间，平板车C立即向左加速 D．调整和的比例至合适的值，能使A、B、C和弹簧构成的系统动量守恒且机械能守恒 【答案】C 【详解】弹簧释放后，A相对平板车C向左滑动，B相对C向右滑动： A受到C的滑动摩擦力向右，大小为 因此C受到A的反作用力摩擦力向左，大小为； B受到C的滑动摩擦力向左，大小为 因此C受到B的反作用力摩擦力向右，大小为； 已知 ，设 逐一分析选项： A．若，A、B组成的系统合外力 合外力不为零，动量不守恒，A错误。 B．若，C受到的合力 合力为零，加速度为零，不会向左加速，B错误。 C．若，C受到的合力 合力方向向左，因此C立即向左加速，C正确。 D．地面光滑，整个系统动量守恒，但A、B滑动时滑动摩擦力做功生热，机械能转化为内能，机械能一定不守恒，D错误。 故选 C。 7. （24-25高二上·广东潮州·阶段检测）（多选）如图所示，表面光滑的四分之一圆弧形轨道静止在光滑水平面上。小球以一定的初速度从点滑上轨道底端，并从点离开轨道顶端。若轨道和小球的质量相等，则在小球和轨道相互作用的过程中（     ） A．小球和轨道组成的系统动量守恒 B．小球从点离开轨道时做竖直上抛运动 C．小球对轨道一直做正功 D．小球能够回到点且之后做自由落体运动 【答案】CD 【详解】A．对小球与轨道组成的系统，水平方向不受外力，故系统水平方向动量守恒，在竖直方向，系统所受合外力不为零，故小球与轨道组成系统动量不守恒，故A错误； B．小球从点离开轨道时相对轨道做竖直上抛运动，此时在水平方向与轨道速度相同，一起向左运动，故小球从点离开轨道时做斜上抛运动，故B错误； C．小球对轨道的压力始终垂直轨道向下，这个力的方向与轨道的运动方向夹角为锐角，故小球对轨道的压力一直做正功，故C正确； D．对小球与轨道系统，在小球从点出发再次回到点的过程中，系统水平方向动量守恒，机械能守恒，故有， 解得， 由于轨道和小球的质量相等，故小球回到点时的速度，恰好做自由落体运动，故D正确。 故选CD。 8. （24-25高二上·山东德州·阶段检测）（多选）如图所示，光滑水平面上放置着半径为R、质量为3m的半圆形槽，AB为槽的水平直径。质量为m的小球自左端槽口A点的正上方距离为R处由静止下落，从A点切入槽内。已知重力加速度大小为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（     ） A．槽向左运动的最大位移为R B．小球在槽中运动的最大速度为 C．小球能从B点离开槽，且上升的最大高度小于R D．若槽固定，小球在槽中运动过程中，重力做功的最大功率为 【答案】BD 【详解】A．系统水平方向动量守恒，则有 同乘t则有mx1＝3mx2 同时有x1+x2＝2R 联立解得x2＝0.5R，故A错误； B．小球最大速度在最低点，由机械能守恒定律可得 根据动量守恒定律有mv1＝3mv2 解得，故B正确； C．系统机械能守恒，小球从B点离开时，槽速度为0，故小球上升最大高度为R，故C错误； D．若槽固定，设小球下落到槽内速度和水平方向夹角为θ时重力功率最大，即竖直方向速度最大，则有 根据牛顿第二定律有 同时有Ncosθ＝mg 联立解得， 则有 则重力功率为P＝mgvsinθ 解得，故D正确。 故选BD。 【培优拔高】 9. （25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）如图所示，足够长的水平传送带逆时针匀速传送的速度大小，其左端的平台边缘静置有质量的小物块，某时刻与小物块质量相等的小球以初速度射入物块，并与物块立即合为一体，已知物块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度g取，不计小球与物块的作用时间和它们的大小，求： (1)从小球射入物块到物块速度减为零的过程中，物块与传送带间由于摩擦而产生的热量Q。 (2)从小球射入物块到物块再次返回传送带左端所经历的时间t。 【答案】(1)60J (2)3.2s 【详解】（1）依据图中传送带上表面向左运动、小球向右射入物块，碰撞时间极短，碰撞过程中水平方向动量守恒。设小球与物块合为一体后的速度为，取向右为正，有 解得 合体后物块相对传送带向右运动，受到向左的滑动摩擦力，大小为 加速度大小为 物块速度减为零所用时间为 此过程中物块相对地面向右位移为 传送带上表面向左运动位移大小为 两者相对滑动距离为 摩擦产生的热量为 （2）由小问1可知，物块从碰后向右减速到零用时，向右位移为 之后物块在摩擦力作用下向左加速，直到速度与传送带相同。加速到所用时间为 此过程物块向左位移为 随后物块相对传送带静止，随传送带向左匀速运动，距左端还剩 匀速返回左端所用时间为 所以从小球射入物块到物块再次返回传送带左端的总时间为 10. （25-26高三上·江苏南通·期中）如图所示，质量为的A球从高度为H处由静止开始沿曲面下滑至水平面球始终没脱离曲面，曲面与水平面平滑连接，刚到达曲面底部时对曲面的压力大小为。A球与静止在水平面上质量为的B球发生弹性正碰，两球直径大小相同，碰撞时间极短。不计一切摩擦，水平面足够长，重力加速度大小为g。 (1)求曲面底部的曲率半径； (2)若，求两球发生第一次碰撞后各自的速度大小、； (3)若，求两球碰撞的次数。 【答案】(1)2H (2)， (3)2次 【详解】（1）依据图中A球从左侧高度为处沿光滑曲面下滑到水平面，曲面与水平面平滑连接，A球刚到曲面底部时速度沿水平方向。 A球下滑过程机械能守恒，有 解得曲面底部速度大小为 在曲面底部，曲面对A球的支持力竖直向上，重力竖直向下，合力提供向心力。 由题意及牛顿第三定律可知支持力大小为 由牛顿第二定律有 代入得 解得曲面底部的曲率半径为 （2）取A球刚到达曲面底部后向右运动的方向为正方向，第一次碰撞前A球速度为，B球静止。两球发生弹性正碰，碰撞时间极短，水平方向动量守恒，机械能守恒。 由动量守恒有 由机械能守恒有 联立解得， 因为，第一次碰撞后A、B均向右运动，所以速度大小分别为， （3）当时，第一次碰撞后A球速度为，B球速度为 第一次碰撞后A球向左返回曲面，沿曲面上升后又滑回水平面。由于曲面光滑，A球再次到达底部时速度大小仍为，方向向右。 此时B球一直向右做匀速直线运动，速度大小为。因为，所以A球能追上B球，发生第二次碰撞。 第二次碰撞前有，。弹性正碰后，A球速度为 代入得 B球速度为 代入得 第二次碰撞后A、B均向右运动，且，B球在前且速度更大，之后不会再相碰。 因此两球碰撞的次数为次。 11. （2025高三·河北·专题练习）如图所示，带有锁扣装置的、质量为的光滑的半圆形凹槽静止在光滑的水平桌面上，质量为的小球静止在凹槽的最低点，左侧有个相同的小物块，质量均为。现给凹槽一个水平向左的冲量使其获得速度后，经过时间，小球恰好到达凹槽右端，立即被锁扣装置锁死，且此过程中凹槽未与小物块相碰。已知，重力加速度为，所有的碰撞均为弹性碰撞。求： (1)凹槽的半径； (2)开始时凹槽离小物块右边缘至少多远； (3)小物块1的最终速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）取水平向左为正方向，小球恰好到达凹槽右端时相对凹槽的速度为零，设此时凹槽与小球的共同速度为。系统水平方向不受外力，根据动量守恒定律有 凹槽和小球组成的系统机械能守恒，有 联立解得 代入得 （2）设时间内凹槽向左移动的距离为，小球相对凹槽向右移动的水平距离为，因此小球相对地面向左移动的距离为。系统水平方向的质心做匀速直线运动，有 解得 代入和得 为保证此过程中凹槽不与小物块相碰，开始时凹槽离小物块右边缘的距离至少为 （3）小球被锁死后，凹槽与小球组成质量为的整体，其初速度为。设该整体第次与静止的1号小物块碰撞前速度为，碰撞后整体速度为，1号小物块速度为，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有， 联立解得， 由递推得， 质量相同的小物块发生弹性正碰时交换速度，第1次碰撞产生的速度依次传递至号小物块，第2次碰撞产生的速度依次传递至号小物块，依此类推，第次碰撞后1号小物块保留速度，因此其最终速度大小为 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $