分层练58几何体的截面(交线)及动态问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦几何体截面、交线及动态问题，通过分层训练构建“几何性质+代数运算”双轨解题体系，强化空间观念与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（正方体截面判断、翻折垂直问题等）|空间坐标系建系、面面平行性质应用、轨迹方程转化|从几何体基本性质（棱长、中点）到截面形成原理（交线确定），再到动态轨迹（椭圆、圆）| |B级能力提升|4题（正四棱锥体积范围、正四面体截面周长等）|函数求导求最值、参数方程表示动点、分割法求体积|结合外接球、翻折不变量，实现几何性质与代数最值的综合应用|

分层练58几何体的截面(交线)及动态问题 【A级基础巩固】 1. 如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足.平面上的动点满足，则点的轨迹为（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 2. 已知过的平面与正方体的棱分别交于点，则下列关于截面的说法中不正确的是（ ） A.截面可能是矩形 B.截面可能是菱形 C.截面可能是梯形 D.截面不可能是正方形 3. 如图，已知正方体的棱长为，的中点为，过点的平面把正方体分成两部分，则较小部分的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ） A.存在某个位置，使得直线与直线垂直 B.存在某个位置，使得直线与直线垂直 C.存在某个位置，使得直线与直线垂直 D.对任意位置，三对直线“与”“与”“与”均不垂直 5. (多选)设动点在正方体上（含内部），且，当为锐角时，实数可能的取值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知边长为的正方形与所在的平面互相垂直，点分别是线段上的动点（包括端点），.设线段的中点的轨迹为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一个三棱锥形状的木块如图所示，其中两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内的一点将木块锯开，所得截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在棱长为的正方体中，点为平面上一动点，且满足，则满足条件的所有点围成的平面区域的面积为. 10. 已知正方体的棱长为，分别为的中点，是线段上的动点，与平面的交点的轨迹长为. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点是的中点，点在底面内（不包括边界）运动，若平面，则的长度的取值范围是. 12. 如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，分别是棱上的动点（不与顶点重合）. (1)作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则； (2)若均为其所在棱的中点，求点到平面的距离. 【B级能力提升】 13. 已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，直四棱柱的底面是边长为的正方形，，分别是的中点，过点的平面记为，则下列说法中正确说法的个数是（ ） ①点到平面的距离与点到平面的距离之比为； ②平面截直四棱柱所得截面的面积为； ③平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为； ④平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形. A. B. C. D. 15. (多选)已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为.点满足，过点作平面平行于和，设平面分别与该正四面体的棱相交于点，则（ ） A.四边形的周长为定值 B.当时，四边形为正方形 C.当时，截球所得截面的周长为 D.四棱锥的体积的最大值为 16. 如图①，在直角梯形中，，，，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图②，连接. (1)求证：； (2)当翻折至时，设是的中点，是线段上的动点，求线段长度的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. B[建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，则，. 由，即，所以点的轨迹是椭圆.] 2. C[如图①，当点，分别与对角顶点重合时，显然截面是矩形； 如图②，当，分别为棱，的中点时，显然截面是菱形，由正方体的性质及勾股定理易得截面不可能为正方形；根据对称性，其他情况下截面为平行四边形，故选C.] 3. C[如图，取的中点，连接，，，，则易知截面是等腰梯形，则较小的部分是三棱台. ，， 所以较小部分的体积，故选C.] 4.B[矩形在翻折前和翻折后的图形如图①②所示. 在图①中，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则点，不重合； 在图②中，连接. 对于A，若，由，，得平面，则，与，不重合矛盾，故选项A错误； 对于B，若，由，，得平面，所以，当时，满足，此时直线与直线垂直，故选项B正确； 对于C，若，由，，得平面，所以，已知，所以不存在这样的直角三角形，故选项C错误. 由B知选项D错误，故选B.] 5.CD[设，，正方体的棱长为1，则，在中，由余弦定理得. 若为锐角，则，则，在中，，. 于是由余弦定理得，于是，即，解得或，由，故（舍去）或，结合选项可选CD.] 6. A[以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，，由中点坐标公式易知，，，即，. ，，，，，，，， 中点的轨迹方程为轨迹为垂直于轴，且距离原点的平面内，半径为的四分之一圆周.] 7. B[如图，,取的中点，的中点，连接，，，则，又平面，平面，所以平面. 同理平面，又，所以可得平面平面. 因为是侧面内一点，能够满足平面，所以点在线段上时，满足满足平面. 由勾股定理可求得，，所以当点为的中点时，的长度最小，此时；当点与点或点重合时，的长度最大，此时. 故线段的长度的取值范围是，故选B.] 8. B[如图， 在平面内，过点作，分别交，于点，，在平面内，过点作交于点，在平面内，过点作交于点，连接，则四边形是过点且与，平行的截面. 易知四边形是平行四边形. 因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，所以平行四边形是矩形. 因为，所以，设相似比为，则.易知，则. 因为，所以易知，则，因为，所以，所以. 则，所以，当时，取得最大值，为，故选B.] 9. [设是的中点，如图：，连接，由正方体的性质易知在平面上的射影为，所以动点，只需即可，连接，所以点的轨迹是以为直径的圆，而，所以满足条件的所有点围成的平面区域的面积为.] 10. [如图所示，,连接，，连接，交于点，连接，，由于，即共面. 是线段上的动点，当重合于或时，，，，与平面的交点分别为，，即的轨迹为，由棱长为. 得，则，又，则，由，得，则.] 11. [如图， 取的中点，连接，，，过作于，连接，由正方体的性质知，，，，平面平面. 点在底面内的轨迹是线段（不含点和点）. 连接，，在中，，，. 平面，，，则当与重合时，的长度取得最小值. 的长度的最小值为，又，的长度的取值范围是. 12. 解(1)如图， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接，则所在的直线即平面与平面的交线. 因为平面平面，平面平面，平面平面，所以. 又平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以. (2)连接，，，由均为其所在棱的中点，易得，，所以，所以，故. 易知，则为等腰三角形，其底面上的高为，设点到平面的距离为，则由，得，解得，所以点到平面的距离为. 13. C[如图， 设该球的球心为，半径为，正四棱锥的底面边长为，高为，依题意得，，解得. 由题意及图可得解得所以正四棱锥的体积，所以，令，得，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又当时，；当时，；当时，，所以该正四棱锥的体积的取值范围是，故选C. 法二：如图， 设该球的球心为，半径为，正四棱锥的底面边长为，高为，依题意得，，解得. 由题意及图可得解得 又 ， 所以该正四棱锥的体积 （当且仅当 ，即 时取等号）， 所以该正四棱锥的体积的最大值为 ，排除 A,B,D,故选 C. 法三: 如图， 设该球的半径为 ，球心为 ，正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，正四棱锥的侧棱与高所成的角为 ， 依题意，得 ， 解得 ， 所以正四棱锥的底面边长 ，高 . 在 中，作 ，垂足为 ，则可得 ， 所以 ， 所以正四棱锥的体积 设 ，易得 ， 则 ， 则 . 令 ，得 ， 所以当 时，； 当 时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 又当 时，； 当 时，； 当 时，， 所以 ，所以 . 所以该正四棱锥的体积的取值范围是 . 故选 C. 14. D[如图， 连接并延长线段，交线段的延长线于点，连接，与交于点，连接，交线段的延长线于点，连接，与交于点，连接，，则五边形就是所求截面，，，所以，所以可得. 对于①，因为平面过线段的中点，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.又，所以点到平面的距离是点到平面距离的倍，所以点到平面的距离是点到平面的距离的倍，故①正确； 连接，易知，，且，所以五边形可分为等边三角形和等腰梯形两部分.等腰梯形的高，所以等腰梯形的面积为.又，所以五边形的面积为，故②正确； 记平面将直四棱柱分割成的较大部分的体积为，较小部分的体积为，则，所以，，故③正确.综上，正确说法的个数是3，故选D.] 15. ABD[如图所示， 将正四面体放置在正方体中考虑，因为正四面体的棱长为3，所以该正方体的棱长为.因为，平面，平面，所以，又，同理可得，可以证得四边形为平行四边形.又正四面体的对棱互相垂直，所以四边形为矩形，四边形的周长，为定值，故选项A正确；当时，，所以四边形为正方形，故选项B正确；设截该正四面体所得的圆的半径为，该正四面体的外接球的半径为，则，，球心到的距离，，所以，故选项C不正确；由上述分析可知，四棱锥的高为正方体棱长的倍，即，所以，令，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在时取得极大值，为最大值，故选项D正确.综上，选ABD.] 16.(1)证明因为四边形是直角梯形，分别是的中点，所以，，.又，所以平面，又平面，所以. (2)解由(1)可知平面，因为平面，所以.在中，，又，所以，即.以为原点，建立如图的空间直角坐标系， 则，，.设，，，所以，则，，， ， 则当时，有最小值， 所以线段长度的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $