第4章 第2讲 抛体运动(教参Word版)-【创新教程】2027年高考物理总复习大一轮讲义

该高中物理讲义围绕抛体运动高考核心考点，系统梳理平抛运动的定义性质规律、斜抛运动的分解应用及临界极值问题，按“概念-规律-应用”逻辑架构知识点。通过考点梳理、方法指导（如化曲为直思想）、真题训练（2024年多省卷实例）等环节，帮助学生构建运动观念，突破解题难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以科学思维培养为特色，创新采用“真题改编+分层练习”模式，如在斜抛运动分析中，引导学生分解速度与加速度建立模型，通过对比不同抛射角下的轨迹对称性培养推理能力。设置基础巩固、能力提升、高考真题三层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第2讲　抛体运动 [知识点一]　平抛运动　 1．定义 将物体以一定的初速度沿　水平方向　抛出，物体只在　重力　作用下所做的运动． 2．性质 加速度为　重力加速度　的匀变速曲线运动，轨迹是　抛物线　. 3．条件：v0≠0，沿　水平方向　；只受　重力　作用． [知识点二]　平抛运动的基本规律　 1．研究方法 平抛运动可以分解为水平方向的　匀速直线　运动和竖直方向的　自由落体　运动． 2．基本规律 (1)位移关系 (2)速度关系 [知识点三]　斜抛运动　 1．定义：将物体以初速度v0　斜向上方　或斜向下方抛出，物体只在　重力　作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的　匀变速　曲线运动，运动轨迹是　抛物线　. 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：　匀速　直线运动； (2)竖直方向：　匀变速　直线运动． 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) (1)水平方向：v0x＝　v0cos_θ　，F合x＝0； (2)竖直方向：v0y＝　v0sin_θ　，F合y＝mg. 1.(人教版必修第二册 P13·T1改编)某同学用如图所示的装置研究平抛运动．在实验中，小球每次都从斜面上的同一高度下落，而放有复写纸和白纸的木板离水平桌面的高度依次调为h、2h、3h，根据小球撞击木板时在白纸上留下的点迹，可得小球平抛时的水平位移分别为x1、x2、x3，已知平抛运动在竖直方向的运动规律与自由落体运动相同，则(　　) A．若x1∶x2∶x3＝1∶2∶3，则能说明小球在水平方向做匀速直线运动 B．若x1∶x2∶x3＝1∶∶，则能说明小球在水平方向做匀速直线运动 C．若x1∶x2∶x3＝1∶4∶9，则能说明小球在水平方向做匀速直线运动 D．若x3－x2＝x2－x1，则能说明小球在水平方向做匀速直线运动 解析：B　[已知平抛运动在竖直方向的运动规律与自由落体运动相同，根据自由落体运动规律有h＝gt2，得t＝，则下降高度分别为h、2h、3h时，所用的时间之比为1∶∶，则当水平位移之比为1∶∶时，说明小球在水平方向上做匀速直线运动，选项B正确．] 2．(人教版必修第二册P17·例题2改编)无人机在距离水平地面高度h处，以速度v0水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g. (1)求包裹释放点到落地点的水平距离x； (2)求包裹落地时的速度大小v； (3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程． 解析：(1)包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则有 h＝gt2，解得t＝， 水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离 x＝v0t＝v0. (2)包裹落地时，竖直方向速度vy＝gt＝， 落地时速度v＝＝， (3)包裹做平抛运动，分解位移，水平方向上有x＝v0t′，竖直方向上有y＝gt′2， 联立上式解得包裹的轨迹方程为y＝x2. 答案：(1)v0　(2)　(3)y＝x2 3．(人教版必修第二册 P20·T7改编)如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)．求： (1)A点与O点的距离L； (2)运动员离开O点时的速度大小． 解析：(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有 y＝Lsin 37°＝gt2. 得A点与O点的距离L＝＝75 m. (2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即x＝Lcos 37°＝v0t，解得v0＝＝20 m/s. 答案：(1)75 m　(2)20 m/s 考点一　平抛运动规律的基本应用 1．飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关． 2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关． 3．落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关． 4．速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示． [典例1]　(2024·海南卷)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　) A．0.5m　 B．5m　　 C．10m　　 D．20m [解析]　B　[车做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向h＝gt2，水平方向d＝v0t，其中d＝25 m、v0＝25 m/s，解得h＝5 m，故选B.] 　(本题源于人教版必修第二册P19·T4)在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示．摩托车后轮离开地面后失去动力，可以视为平抛运动．摩托车后轮落到壕沟对面才算安全．摩托车的速度至少要多大才能越过这个壕沟？g取10 m/s2. 答案：5 m/s [典例2]　(2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上．设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方．将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　) A．荷叶a　　　　　 B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d [解析]　C　[青蛙做平抛运动，水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2，可得v＝x，因此水平位移越小，竖直高度越大，初速度越小，因此青蛙跳到荷叶c上面时，初速度最小．] [典例3]　(2024·北京卷)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d.假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径．求： (1)水从管口到水面的运动时间t； (2)水从管口排出时的速度大小v0； (3)管口单位时间内流出水的体积Q. [解析]　(1)水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向h＝gt2， 解得水从管口到水面的运动时间t＝. (2)由平抛运动规律得，水平方向d＝v0t， 解得水从管口排出时的速度大小v0＝d. (3)管口单位时间内流出水的体积Q＝Sv0＝Sd. [答案]　(1)　(2)d　(3)Sd 　(本题源于人教版必修第二册P20·B组·T2)环保人员在一次检查时发现，有一根排污管正在向外满口排出大量污水．这根管道水平设置，管口离地面有一定的高度，如图所示．现在，环保人员只有一把卷尺，请问需要测出哪些数据就可大致估测该管道的排污量？写出测量每秒排污体积的表达式． 答案：需要测量的物理量：竖直高度h.水平位移x，出水口的直径d. 每秒排污体积的表达式为Q＝πd2x 　化曲为直思想求解(类)平抛运动 (1)求解(类)平抛运动的基本思想是将平抛运动分解为两个直线运动，即水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．此类问题一般画出合位移与两个分位移、合速度与两个分速度的矢量分解图，依据三角形知识即可求解． (2)在解题过程中要注意：两个分运动具有等时性、独立性，即时间相等、独立进行互不影响．分运动的时间就是合运动的时间，两个分运动与合运动遵循平行四边形定则． 如图所示，两玩具枪的枪口水平正对，A、B两小球以相同大小的速度同时被水平射出，经过时间t在空中相遇．若调节两玩具枪使两球射出枪口的速度都减为原来的一半，则两球从射出到相遇经过的时间为(　　) A．t　　B.　　C．2t　　D. t 解析：C　[根据题意可知，A、B两小球在水平方向上始终做匀速直线运动，则有x＝(vA＋vB)t，若调节两玩具枪使两球射出枪口的速度都减为原来的一半，则时间变为2t.故选C.] 考点二　斜抛运动 1．斜抛运动的条件及性质 条件 ①只受重力． ②初速度方向斜向上或斜向下． 性质 匀变速曲线运动. 2.抛体运动的规律 共同点 物体均只受重力作用，加速度均为重力加速度g，且保持不变． 不同点 竖直方向上的抛体运动为匀变速直线运动，平抛、斜抛为匀变速曲线运动． 研究方法 对平抛、斜抛运动，通过分解将其转化为直线运动，根据分运动遵循的规律列方程，要注意区分合运动与分运动. [典例4]　(2024·江苏卷)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　) A．加速度相同　　　　 B．初速度相同 C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同 [解析]　A　[不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知tb＞ta，va≠vb，D错误；BC.最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，BC错误．] 　本题情景取材于人教版必修第二册P18图5.4－6，喷出的水做斜抛运动． [典例5]　(2023·湖南卷，2)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种．某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上．忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于v1 C．两谷粒从O到P的运动时间相等 D．两谷粒从O到P的平均速度相等 [审题指导]　(1)本题中两谷粒水平位移相同，可根据运动时间比较水平分速度． (2)谷粒2在最高点的速度就是水平速度，从最高点到P点竖直分运动是自由落体运动，下落高度更大，与谷粒1比较可看出t1＜t2. [解析]　B　[A.抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；C.谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同．在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；B.谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度．与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于v1，B正确；D.两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误．故选B.] [典例6]　(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力．重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．运动时间为2s B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10 m D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m 　(1)重物从P点做斜上抛运动至最高点，结合速度的合成与分解和运动学公式求解此过程的时间． (2)重物从最高点做平抛运动至Q点，将初速度和重力加速度分解，重物的运动分解为两个匀变速直线运动，再结合运动学公式求解距离及速度关系． [解析]　BD　[AC.将初速度分解为沿PQ方向分速度v1和垂直PQ分速度v2，则有v1＝v0cos 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝10 m/s， 将重力加速度分解为沿PQ方向分加速度a1和垂直PQ分加速度a2，则有a1＝g sin 30°＝5 m/s2， a2＝gcos 30°＝5m/s2， 垂直PQ方向，根据对称性可得重物运动时间为 t＝2×＝4 s， 重物离PQ连线的最远距离为 dmax＝＝10m，故AC错误； B．重物落地时竖直分速度大小为 vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s， 则落地速度与水平方向夹角正切值为tan θ＝ ＝＝，可得θ＝60°，故B正确； D．从抛出到最高点所用时间为 t1＝＝1 s， 则从最高点到落地所用时间为t2＝t－t1＝3 s， 轨迹最高点与落点的高度差为h＝gt＝45 m，故D正确．] 　斜抛运动的对称性 (1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间． (2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等． (3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称． (多选)以相同的初速率，不同的抛射角同时抛出三个小球，A、B、C三球在空中的运动轨迹如图所示，下列几句话中正确的是(不计空气阻力)(　　) A．A、B、C三球在运动过程中，加速度都相同 B．B球的射程最远，所以最迟落地 C．A球的射高最大，所以最迟落地 D．A、C两球的射程相等，两球的抛射角互为余角，即θA＋θC＝ 解析：ACD　[A、B、C三球在运动过程中，只受到重力作用，故具有相同的加速度g，A项正确．斜抛运动可以分成上升和下落两个过程，下落过程就是平抛运动，根据平抛物体在空中运动的时间只取决于抛出点的高度可知，A球从抛物线顶点落至地面所需的时间最长，再由对称性可知，斜抛物体上升和下落所需的时间是相等的，所以A球最迟落地，故B项错误，C项正确．已知A、C两球的射程相等，根据射程公式x＝可知sin 2θA＝sin 2θC，在θA≠θC的情况下，必有θA＋θC＝才能使等式成立，故D项正确．] 考点三　抛体运动中的临界、极值问题 在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况． 1．临界点的确定 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点． (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点． (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点． 2．求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)找出临界状态对应的临界条件． (2)分解速度或位移． (3)若有必要，画出临界轨迹． [典例7]　(2023·新课标卷，24)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”．要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ.为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g) [解析]　石子做平抛运动，落到水面时竖直方向的速度为vy，由v＝2gh，得vy＝ 又由题意可知，速度夹角为θ，有≤tan θ，则初速度v0≥，即抛出时的最小速度为. [答案]　抛出时的最小速度为 [典例8]　如图所示，P处能持续水平向右发射初速度不同的小球．高度为L的挡板AB竖直放置，离O点的水平距离为4L.挡板上端A与P点的高度差为Lx，可通过改变发球点P的竖直位置调整A、P两点的竖直高度差Lx，重力加速度为g. (1)当Lx＝L时，调节初速度使小球能够击中挡板AB，求发射小球的初速度取值范围； (2)当竖直高度Lx调整为多大时，小球击中A点时的速度取得最小值？并求出该最小值的大小． [解析]　(1)设小球平抛初速度为v1恰好打在探测屏A点，则有：4L＝v1t1，L＝gt， 解得：v1＝2， 设小球平抛初速度为v2恰好打在探测屏B点，则有：4L＝v2t2,2L＝gt， 解得：v2＝2， 综上可知：使小球能够击中挡板AB的初速度应满足2≤v0≤2. (2)从P点到A点满足Lx＝gt2,4L＝v0At 解得：v0A＝4L，vy＝gt＝ 故知：vA＝＝ 由数学知识可得当＝2gLx时，即Lx＝2L时vA有最小值 可知击中A点最小速度vmin＝2. [答案]　(1)2≤v0≤2；(2)2L,2 (多选)飞镖运动于15世纪兴起于英格兰，20世纪初，成为人们日常休闲的必备活动．一般投飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小．现有一靶的第10环的半径为1 cm，第9环的半径为2 cm，……以此类推，若靶的半径为10 cm，在进行飞镖训练时，若人离靶的距离为5 m，将飞镖对准第10环中心以水平速度v投出，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是(　　) A．当v≥50 m/s时，飞镖将射中第8环的线内 B．当v＝50 m/s时，飞镖将射中第6环线 C．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v至少为50 m/s D．若要击中靶子，飞镖的速度v至少为25 m/s 解析：BD　[当v＝50 m/s时，运动的时间t＝＝0.1 s，则飞镖在竖直方向上的位移y＝gt2＝0.05 m＝5 cm，将射中第6环线，当v≥50 m/s时，飞镖将射中第6环线以内，A错误，B正确；若要击中第10环的线内，飞镖下降的最大高度为0.01 m，根据h＝gt2得t1＝ s，则飞镖的最小初速度vm1＝＝50 m/s，C错误；若要击中靶子，飞镖下降的高度不能超过0.1 m，根据h＝gt2，得t2＝ s，则飞镖的最小速度vm2＝＝25 m/s，D正确．] 有约束条件的抛体运动 常见模型及分析方法 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v＝－2a1d得t＝， d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ [典例1]　(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则(　　) A．落于B点的小球飞行时间为t B．v2＝gt C．落于C点的小球的水平位移为gt2 D．A点距水平面MN的高度为gt2 [解析]　ACD　[落于C点的小球速度垂直于QO，则两分速度相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，故选项C正确；落于B点的小球分解位移如图所示， 其中，B、C在同一水平面，故飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝＝，所以v2＝，故选项A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，联立以上几式可得h＝gt2，故A距水平面高度 H＝h＋gt2＝gt2，故选项D正确．] [典例2]　如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内．现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平踢出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法正确的是(　　) A．两球踢出的速率之比为1∶4 B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球踢出的速率之和不变 D．若仅从M点水平踢出小球，改变小球踢出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中 [解析]　B　[由几何关系得，M、N的水平位移分别为、R，运动时间相等，由平抛运动规律得xM＝v1t，xN＝v2t，可得v1∶v2＝1∶3，A错误；若只增大v1，M运动轨迹将向右一些，两球在空中相遇，B正确；只要两球落在坑中同一点，水平位移之和为2R，则(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直位移不同，t不同，v1＋v2不是定值，C错误；如果能垂直落入坑中，速度反向延长线过圆心，而平抛运动速度反向延长线必过水平位移的中点，可知水平位移为2R即应打在N点，但由平抛知识，不可能打在N点，故不可能垂直落入坑中，D错误．] 学科网（北京）股份有限公司 $