【教案】25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．

2.通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与两根之和与两根之积的规律发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程．

1.一元二次方程根与系数的关系及其推导过程．（重点）

2.一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用．（难点）

知识链接：前面我们学习了公式法解一元二次方程，回顾一下，求根公式得出的两个根在形式上有哪些相同点和不同点？

创设情境——见配套课件

　探究点：一元二次方程的根与系数的关系

思考1：观察求根公式x=，它有什么特点？

整体上看，两个根分别是“m＋n”和“m－n”的形式，而且式子“n”中含有根号．这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁．

教师引导学生推导教材P15的证明过程．

归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系：如果ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么x1＋x2=－，x1•x2=．

思考2：我们知道，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的左边可以分解因式为a（x－x1）（x－x2），那么方程ax2＋bx＋c=0的两个根为x1和x2．反过来，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根为x1和x2，那么上面的关系还能通过什么方法得出？

ax2＋bx＋c=a（x－x1）（x－x2），即ax2＋bx＋c=ax2－a（x1＋x2）x＋ax1x2．由此可得－a（x1＋x2）=b，ax1x2=c．因此x1＋x2=－，x1x2=．

利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积．

（1）x2－6x－15=0；　　　（2）3x2＋7x－9=0；　　　（3）5x－1=4x2.

解：（1）∵a=1，b=－6，c=－15，∴Δ=b2－4ac=（－6）2－4×1×（－15）=96＞0.∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2=－（－6）=6，x1x2=－15.

（2）（3）学生自行解答．

归纳总结：求两根之和、两根之积的步骤：化为一般式→判断Δ≥0→代入a，b，c．

知识拓展：常见的求值式子如下：

（1）＋=；