数学活动 哪个积最大和刹车距离与刹车时车速的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，涵盖“和定两数最大积”及“刹车距离与车速关系”。通过观察两位数乘积特征猜想规律，用二次函数建模验证，类比推广至三位数，再结合刹车距离数据拟合函数，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“观察—猜想—建模—验证”为主线，培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。如从算式抽象变量关系，用函数推理验证积最大规律，通过刹车距离数据建模解决实际问题。归纳“设变量—建函数—求最值”流程，提升学生数据分析与建模能力，也为教师提供清晰教学案例。

数学活动：哪个积最大和刹车距离与刹车时车速的关系 第26章 二次函数 人教版 九年级（上） 1.掌握用二次函数求“和定两数”最大积的方法，能拟合刹车距离的二次函数模型. (难点、重点) 2.经历“观察一猜想一建模一验证”过程，提升数据分析与建模能力，感受数学的实用性. 素养目标 探究点一：哪个积最大 (1) 观察下列两个两位数的积 (两个乘数的十位上的数都是 9，个位上的数的和等于 10)，猜想其中哪个积最大：91×99，92×98， ···，98×92，99×91. 问题1：观察算式：两个乘数的十位都是 9，个位和为 10，这两个乘数的和是有什么样的特点？ 猜想：当两个乘数的差最小时，积最大，即 95×95的积最大. 问题2：观察算式特点，猜想：哪两个数的乘积最大？ 固定和为 189. 新知探究 问题3：你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 设第一个数的个位数字为 x，则第二个数的个位数字为 10 - x，两个乘数分别为 90 + x，100 - x. 设它们的积为 y，则 y = (90 + x)(100 - x) = -x² +10x + 9000 其中 x 为整数，且 0≤x≤10. 这是一个开口向下的二次函数，顶点横坐标为 当 x = 5 时，y 取得最大值，此时两个乘数为 95×95，验证猜想正确. 新知探究 (2) 观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是 9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大： 901×999，902×998，···，998×902，999×901. 问题1：类比两位数规律，这组算式的特征是什么？ 百位为 9，后两位和为 100，和为固定值 问题2：直接猜想：哪两个数的乘积最大？ 类比 95×95，猜想 950×950. 新知探究 问题3：仿照两位数的方法，如何建模验证？ 设第一个数的个位数字为 x，则第二个数的个位数字为 10 - x，两个乘数分别为 900 + x，1000 - x. 设它们的积为 y，则 y = (900+ x)(1000 - x) = -x² +100x + 900000 其中 x 为整数，且 0≤x≤100. 这是一个开口向下的二次函数，顶点横坐标为 当 x = 50 时，y 取得最大值，此时两个乘数为 950×950，验证猜想正确. 新知探究 问题4：结合两个例子，能总结出什么通用规律？ 和一定的两个正数，差越小，乘积越大；相等时乘积最大 新知探究 【归纳小结】 利用“二次函数顶点求最值”的核心性质，可得出结论—当两个数的和固定时，两数相等(或最接近)时积最大； 解题核心流程为“设变量→建二次函数→找顶点求最值”. 新知探究 探究点二：刹车距离与刹车时车速的关系 由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表： 刹车时车速/ (km/h) 40 48 56 64 72 80 刹车距离/m 17 22.4 27.9 35.3 43.4 52.8 新知探究 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 O （1）以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象. 刹车时车速 x (km/h)为横坐标，刹车距离为 y (m)纵坐标 根据图象，你能推测出这是个什么函数吗？ 二次函数 刹车时车速 x (km/h) 刹车距离为 y (m) 新知探究 （2）通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式. 设二次函数解析式为 y = ax² + bx + c，选取表格中 (40，17)，(64，35.3)，(80，52.8) 三组典型数据代入解析式，列方程组求解系数 a，b，c. 1600a + 40b + c = 17， 4096a + 64b + c = 35.3， 6400a + 80b + c = 52.8， 解得近似解析式: y≈0.0082x² - 0.1x + 7.7. 将 х = 56 代入验证，得 y≈27.82，与实测值 27.9 误差较小，说明模型合理. 新知探究 （3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为 70 m，已知这条高速公路限速 100 km/h. 请根据你确定的函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 当 y = 70 时，0.0082x² - 0.1x + 7.7 = 70. 解得 x≈93.5 (负值舍去). 这个结果小于高速限速 100 km/h，说明车辆未超速行驶. 新知探究 【归纳小结】刹车距离与车速呈二次函数关系，结合“函数模型拟合原则”，可通过“描点定类型→代入求解析式→多组数据验误差”建立实用模型；该模型是对实际问题的近似刻画，误差在合理范围内即可判定有效. 新知探究 1.二次函数的应用场景：求最值（如乘积最大值）、解决实际问题（如刹车距离问题）. 2.解题步骤: (1) 分析问题，设变量，找等量关系; (2) 建立二次函数模型； (3) 利用函数性质（顶点、单调性）解决问题； (4) 检验结果的实际意义. 3.数学思想：数形结合、建模思想、从特殊到一般. 课堂小结 1. 某汽车刹车距离解析式为 y = 0.005x² + 0.05x + 2，当车速为 60 km/h 时，刹车距离约为 米. (保留一位小数) 2. 已知两个数的和为 170，且十位数字均为 8，个位数字之和为10. (1) 设其中一个数的个位为 x，写出两数乘积的二次函数解析式； (2) 求这两个数的最大积，并写出对应的两个数. 30.2 解：(1) y = (80 + x)(90 - x) = - x² + 10x + 7200； (2) 最大积为 7225，对应两数为 85 和 85. 当堂反馈 学习用优翼 越来越优异 年举办公益 教研活动场次 优翼产品与服务 历年中小学生使用人次 优翼网教学资源 每年服务师生人次 3亿+ 300+ 3000万+ · 学练优 | 新领程 | 涂重点 | 优翼网 教学资源服务平台 www.youyi100.com 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $