25.2.3 因式分解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过复习因式分解方法和已学解方程方法，结合竖直上抛物体落回地面的物理情境问题，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生理解降次思路。 其亮点在于以问题驱动和方法对比为特色，通过物理情境培养数学眼光，对比配方法、公式法与因式分解法培养推理意识，步骤歌诀和解法选择表格强化模型意识。实例如例3选适当方法解方程，帮助学生提升解题能力，教师可高效实施教学。

25.2 降次—解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 第25章 一元二次方程 人教版九年级（上） 1 1. 理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程.(重点) 2. 学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程.(难点) 3. 通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，体会转化的思想方法. 素养目标 问题1：因式分解的方法有哪些？ (1) 提取公因式法： am + bm + cm = m(a + b + c) (2) 公式法： a2 - b2 = (a + b)(a - b) (3)十字相乘法： x2 + (p + q)x2 + pq = (x + p)(x + q) a²±2ab + b² = (a±b)² 复习导入 (1) 直接开平方法： (2) 配方法： (3) 公式法： x2=a(a≥0) 或 (mx + n)2 = a(a≥0) (x + h)2 = k (k≥0) 问题2：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 复习导入 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度 (单位：m) 约为 10x－5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 解：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即 10x－5x2＝0. ① 探究点1：因式分解法解方程 新知探究 解：移项，得 5x2 - 10x = 0. a = 5，b = -10，c = 0. ∴ Δ = b2－4ac = (-10)2－4×5×0 = 100. 公式法解方程 10x-5x2=0. 配方法解方程 10x - 5x2 = 0. 解：5x2 - 10x = 0. 二次项系数化为1，得 x2 - 2x = 0. 配方，得 x2 - 2x + 1 = 1. (x - 1)2 = 1. 由此可得 x1 = 2，x2 = 0. ∴ x1 = 2，x2 = 0. 探究点1：因式分解法解方程 新知探究 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 10 - 5x = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 10x - 5x2 = 0 ① x(10 - 5x) = 0 ② x = 0， 思考2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？ 探究点1：因式分解法解方程 x1 = 0，x2 = 2 新知探究 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 简记歌诀： 右化零，左分解； 两因式，各求解. 探究点1：因式分解法解方程 新知探究 例1 解下列方程： (1) x(x - 2) + x - 2 = 0； 解：(1) 左边因式分解，得 于是 x - 2 = 0，或 x + 1 = 0， 即 x1 = 2，x2 = -1. (x - 2)(x + 1) = 0. 转化为两个一元一次方程 探究点1：因式分解法解方程 新知探究 (2) 5x2 - 2x - = x2 - 2x - . 解：移项、合并同类项，得 4x2 - 1 = 0. 左边分解因式，得 (2x + 1)(2x - 1) = 0. 于是 2x + 1 = 0，或 2x - 1 = 0. 即 x1 = - ，x2 = . 探究点1：因式分解法解方程 新知探究 【练一练】1. 解下列方程： (1) (x + 1)2 = 5x + 5； 即 x1 = −1，x2 = 4． 解：(1) 移项，得 (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0. 左边分解因式，得 (x + 1)(x − 4) = 0. 于是 x + 1 = 0，或 x − 4 = 0， 探究点1：因式分解法解方程 新知探究 (2) x2 − 6x + 9 = (5 − 2x)2． 解：方程整理，得 (x − 3)2 − (5 − 2x)2 = 0， 左边分解因式，得 [(x − 3) + (5 − 2x)][(x − 3) − (5 − 2x)] = 0， 于是 2 − x = 0，或 3x − 8 = 0， 即 x1 = 2，x2 = . 即 (2 − x)(3x − 8) = 0. 探究点1：因式分解法解方程 新知探究 十字相乘法因式分解 运算法则： x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 条件： 1. 多项式为二次三项式； 2. 多项式的常数项可分解成两个因数，且两个因数的___等于一次项系数. 和 【拓展】 探究点1：因式分解法解方程 新知探究 例2 解方程：x2 − 5x + 6 = 0. x2 −5x + 6 ； 解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0 . · × -2 -3 −2x + ( −3)x = -5x ③ 检验确定，横写因式. ① 竖分常数项与二次项； ② 交叉相乘，积相加； 即 x1 = 2，x2 = 3. 于是 x − 2 = 0，或 x − 3 = 0， 探究点1：因式分解法解方程 新知探究 (1) x2 - 6x + 8 = 0； (2) x2 + 4x − 5 = 0. (1) (2) 用因式分解的十字相乘法解题较快. 解：(1) 分解因式， 得 (x − 2)(x − 4) = 0， 解：(2) 分解因式， 得 (x + 5)(x − 1) = 0， 即 x1 = −5，x2 = 1． 即 x1 = 2，x2 = 4. 2. 解方程： 【练一练】 于是 x − 2 = 0， 或 x − 4 = 0， 于是 x + 5 = 0， 或 x − 1 = 0， 探究点1：因式分解法解方程 新知探究 探究点2：选用适当的方法解方程 例3 用适当的方法解方程： (1) 3x (x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； (1) 有公因式时，可用因式分解法； (2) 方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 新知探究 (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解：移项，得 3x(x + 5) - 5(x + 5) = 0. 左边分解因式，得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 于是 3x - 5 = 0，或 x + 5 = 0. 即 x1= ， x2= -5. 于是 5x + 1 = 1， 或 5x + 1 = - 1. 即 x1 = 0， x2= -. 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 (3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. (3) 二次项系数为 1，可用配方法解较快； ∴ x1 = 6+，x2 = 6-. 解：(3) 配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62， (x - 6)2 = 40. 由此可得 x - 6 = ± 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 (4) 3x2 = 4x + 1. (4) 二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法. 解：(4) 移项，得 3x2 - 4x - 1 = 0. 因为 a = 3，b = −4，c = −1，所以 Δ = b2 - 4ac = 28 > 0， 方程有两个不等的实数根 即 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 解：化为一般式为 因式分解，得 x2 - 2x + 1 = 0. (x - 1)2 = 0. ∴ x - 1 = 0. 解得 x1 = x2 = 1. 解：因式分解，得 (2x + 11)( 2x - 11) = 0. ∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0. 3. 解方程： 解得 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 (4) x2 + 4x − 2 = 2x + 3. (3) 2x2 − 5x +1 = 0； 解：a = 2，b = −5，c = 1. ∴ Δ = (−5)2−4×2×1=17. 解：整理，得 x2 + 2x = 5， ∴ x2 + 2x + 1 = 5 + 1， 即 (x + 1)2 = 6. 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 一元二次方程的解法选择基本思路： 化成一般形式 ax2 + bx + c = 0 直接开平方法 因式分解法 b＝0，ax2 + c = 0 是 容易因式分解 c＝0，ax2 + bx = 0 否 公式法或配方法 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 定义 因式分解法 把原方程转化成两个______乘积等于 0 的形式，在使这两个______分别等于 0，从而实现降次 理论依据 若 ab = 0，则 a =___，b =___ 一般步骤 一次式 0 0 一移:使方程的右边为 0 二分:将方程的左边因式分解 三化:将方程化为两个一元一次方程 四解:写出方程的两个解 一次式 课堂小结 1. 已知一元二次方程的两根分别为x1＝1，x2＝－3，则这个方程可以是(　B　) A. (x－1)(x－3)＝0 B. (x－1)(x＋3)＝0 C. (x＋1)(x＋3)＝0 D. (x＋1)(x－3)＝0 B 当堂反馈 2. [高频易错]方程x2＝2026x的根为(　C　) A. x＝0 B. x＝2026 C. x1＝0，x2＝2026 D. 无实数根 3. [教材变式]用因式分解法解下列方程： (1)3y2－6y＝0； 书写通关 解：因式分解，得 ⁠. ∴ ⁠. 解得y1＝ ，y2＝ ⁠. C 3y(y－2)＝0　 3y＝0或y－2＝0　 0　 2　 当堂反馈 (2)x2－3x＝x－3； 解法一：左边提公因式，得x(x－3)＝(x－3).移项， 得x(x－3)－(x－3)＝0. 提公因式，得(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1. 解法二：移项合并，得x2－4x＋3＝0. 因式分解，得(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1. 左边提公因式，得x(x－3)＝(x－3).移项， 得x(x－3)－(x－3)＝0. 提公因式，得(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1. 移项合并，得x2－4x＋3＝0. 因式分解，得(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1. 当堂反馈 (3)(2x－1)2＝(x＋3)2. 解：移项，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0. 由平方差公式可得[(2x－1)－(x＋3)][(2x－1)＋(x＋ 3)]＝0， 即(x－4)(3x＋2)＝0，解得x1＝4，x2＝－. 解：移项，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0. 由平方差公式可得 [(2x－1)－(x＋3)][(2x－1)＋(x＋3)]＝0， 即(x－4)(3x＋2)＝0，解得x1＝4，x2＝－. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $