25.1 一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的意义，通过雕像比例设计、矩形铁皮制方盒、排球邀请赛安排等实际问题导入，引导学生从具体情境抽象出方程，建立与一元一次方程的联系，搭建从实际到数学的学习支架。 其亮点在于以真实问题情境发展抽象能力与模型意识，如通过雕像比例问题抽象出方程x²+5x-25=0；注重概念辨析与推理意识培养，对比方程共同点总结定义，强调一般形式中a≠0的逻辑必然性；例题变式结合整体思想，如已知根求代数式值，提升运算能力。学生能从情境到抽象理解概念本质，教师可借助结构化流程与分层练习提升教学效率。

人教版九年级（上） 第25章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 1 1. 理解一元二次方程的概念.(重点) 2. 掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方 程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系 数和常数项. (难点) 3. 理解一元二次方程的根的意义. 4. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，发展数学思维. 素养目标 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感，如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 情境导入 ∠1 = ∠2 已知 AB = 5m， 求 BC 长度. 实际问题 几何问题 AC∶BC = BC∶5， 即 BC² = 5AC. A C B 情境导入 解：设雕像下部 BC = x m， x m (5 - x) m A C B 想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？ 列方程得 x2 = 5(5 - x )， 整理得　x 2 + 5x - 25 = 0．① BC² = 5AC. 情境导入 问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 100 cm 50cm 探究点1：一元二次方程的概念 x 新知探究 由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 分析：要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则盒底的长为 cm，盒底的宽为 cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积 3600 cm2，可列方程为 . 100 cm 50 cm 3600 cm2 x (50 - 2x) x (100 - 2x) (100-2x)(50-2x) = 3600 化简，得 x² - 75x + 350 = 0② 探究点1：一元二次方程的概念 方程②中未知数的个 数和最高次数各是多少? 新知探究 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛 1 场)，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 分析：本次排球比赛的总比赛场数为 场.设邀请 支队参赛，则每支队与其他 支队都要赛一场.根据题意，你列出的方程 28 x (x - 1) x2 - x = 56 x(x -1) = 28 ③ 是 .整理为 . 探究点1：一元二次方程的概念 由方程③可以得出应邀请的球队数. 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少? 新知探究 方程 ① ② ③ 有什么共同点？ (1) 方程的两边都是_____； (2) 都只含_____个未知数； (3) 未知数的最高次数都是__. x2 - 75x＋350 = 0 ② x2 + 5x - 25 = 0 ① x2 - x = 56 ③ 类比一元一次方程的特征填空. 整式 1 2 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程. 【知识要点】 ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项. 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 想一想：为什么一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0， 当 a≠0，b = 0 时， ax2＋c = 0， 当 a≠0，c = 0 时， ax2＋bx = 0， 当 a≠0，b = c = 0 时， ax2 = 0， 总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 三个判断条件： ①方程两边都是整式；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是 2. 总结 C. (x - 1)(x - 2) =0 D. 4x² - 1 = (2x + 3)² A. x² + = 0 B. 3x² - 5xy + y² = 0 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 (8) 2 - - 6 = 0. 1.判断下列方程是否为一元二次方程：  × × × ×  × × (1) x² + x = 36； (3) x + 3y =36； (5) x + 1 = 0； (7) ax² + bx + c = 0； (2) x3 + x² = 36； (4) - = 0； (6) = 6； 【练一练】 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？ (1) ax2－x = 2x2； (2) (a－1) x |a| + 1－2x－7 = 0. (a - 2) x2 - x = 0 a ≠ 2 (1) a - 2 ≠ 0 (2) | a | + 1 = 2 a = 1 或 -1 a - 1 ≠ 0 a ≠ 1 a = -1 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 2. 已知方程 (2a－4)x2 − 2bx + a = 0. (1) 在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？ (2) 在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？ 解：(1) 当 2a − 4≠0，即 a≠2 时，是关于 x 的一元 二次方程. (2) 当 a = 2 且 b≠0 时，是关于 x 的一元一次方程. 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 系数和项均包含前面的符号. 总结 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项系数是 3，一次项系数是 -8，常数项是 -10. 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 探究点2：一元二次方程的根 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根? – 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x – 6 14 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6 总结：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 新知探究 例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0. 总结: 已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值. ∴ a = . 探究点2：一元二次方程的根 新知探究 变式 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2026 的值. 解：由题意得 a2 + 2a - 2 = 0，即 a2 + 2a = 2. 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解 ∴ 2a2 + 4a + 2026 = 2(a2 + 2a) + 2026 = 2×2 + 2026 = 2030 探究点2：一元二次方程的根 新知探究 定义 一元二次方程 只含有__个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是__(二次) 的方程 一般形式 1 2 ax2 + bx + c = 0(a___0) ≠ 一元二次方程的根(解) 使方程左右两边____的未知数的值 相等 课堂小结 A. 3x2＋＝0 B. 2x－3y＋1＝0 C. (x－3)(x－2)＝x2 D. (3x－1)(3x＋1)＝3 D 1. 下列方程是一元二次方程的是(　D　) 当堂反馈 2. 已知 x＝2 是一元二次方程 x2＋mx＋2＝0 的一个解，则 m 的值是(　A　) A. －3 B. 3 C. 0 D. 0或3 A 当堂反馈 3. 方程2x2－1＝x的二次项系数是 ， 一次项系数是 ，常数项是 ⁠. 4. [高频易错]若方程 (m－1)x｜m＋1｜＋2x－7＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 ⁠. 2　 －　 －1　 －3　 当堂反馈 (1)一个微信群里共有 x 个好友，每个好友都分别给 群里其他好友发送一条消息，这样共有 756 条消息；意得x2＋(x＋2)2＝130.一般形式：2x2＋4x－ 126＝0. 解：(1)依题意得 x(x－1)＝756. 一般形式：x2－x－756＝0. 解：(2)设这两个连续奇数分别为 x，x＋2， 根据题意得 x2＋(x＋2)2＝130. 一般形式：2x2＋4x－126＝0. 5. [教材变式]根据下列问题列方程，并将所 列方程化成一元二次方程的一般形式. (2)两个连续奇数的平方和为 130，求这两个奇数. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $