10.5 带电粒子在匀强电场中直线和曲线（圆周）运动 提升训练-2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

**基本信息** 聚焦带电粒子在匀强电场中的运动，以受力分析为基础，整合运动合成、能量观点、动力学方程，构建“运动类型-方法策略-知识关联”的系统化训练体系，强化科学思维与模型建构。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线运动|5题|受力平衡分析、动能定理、洛伦兹力影响下的摩擦力变化|电场力与重力的合成→运动状态判断→功与能关系推导| |圆周运动|5题|等效重力场模型、向心力公式、电势能变化分析|电场力与重力的合力提供向心力→临界状态分析→能量守恒应用| |曲线运动|5题|类平抛运动分解、周期性电场中的运动合成、动量与动能关系|运动的正交分解→分运动规律应用→合运动轨迹与能量变化|

带电粒子在匀强电场中直线和曲线（圆周）运动 一．带电粒子（计重力）在匀强电场中的直线运动（共5小题） 1．（2026春•南昌月考）如图所示，光滑水平面上方空间中存在垂直纸面向外的匀强磁场，足够长的绝缘木板静止于水平面上，带负电物块放置于木板右端。0时刻水平向右的恒力F作用在木板上使得木板和物块由静止开始一起运动，t时刻物块开始相对于木板滑动。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．0～t内物块与木板间的摩擦力逐渐增大 B．0～t内物块做加速度逐渐减小的加速直线运动 C．t时刻后物块先做加速度逐渐减小的加速直线运动，后做匀速直线运动 D．t时刻后木板先做加速度逐渐减小的加速直线运动，后做匀速直线运动 2．（2026春•昆明月考）如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板距离相等。甲的质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液pH＝3，接通电源，不计粘滞阻力和甲、乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒运动到极板的过程中，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙先到达极板 B．甲、乙运动到极板时动能相同 C．甲、乙运动到极板时动量大小相同 D．增大pH值，甲受到的电场力变大 3．（2026•浙江开学）如图所示，真空中固定一个圆心为O、半径为R、带电量为Q的均匀带正电圆环。一根与水平面成30°角的固定绝缘长细杆，过圆心O且垂直于圆环平面穿过该圆环。一可视为质点的带负电小球，从杆上的a点以某一初速度沿杆向上运动，恰好能运动到杆上d点，已知小球电荷量为q（q≪Q），ab＝bO＝Oc＝cd＝R，静电力常量为k，重力加速度大小为g，绝缘细杆与小球间的动摩擦因数，则小球从a运动到d的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．圆环在b点产生的电场强度的大小 B．小球与圆环间的电势能先增大后减小 C．小球初速度大小等于 D．小球从a到O和从O到d的运动时间相等 4．（2026•青羊区校级开学）如图，足够大的空间内存在与水平方向夹角θ＝37°的匀强电场，长度为L、不可伸长的轻绳一端系于O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），O点距水平地面的高度为2L，其正下方P处固定一刀片，O、P间距离小于L。当小球处于静止状态时，轻绳与竖直方向的夹角为θ。现将小球拉至O点右侧等高位置（轻绳刚好拉直）静止释放，运动至O点正下方时轻绳被刀片割断，最终小球落到水平地面上。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小为 B．小球运动至O点正下方时的速度大小为 C．轻绳与刀片接触前瞬间的拉力大小为0.96mg D．小球落地点与O点的水平距离为L 5．（2026春•邗江区期末）如图所示，夹角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上，AB长度为L，空间存在沿斜面向上的匀强电场，一个质量为m，电荷量为q带正电的物块，静止在斜面最高点A点，重力加速度取g。求： （1）匀强电场的电场强度E； （2）若匀强电场方向突变为沿斜面向下，物块下滑到B点时重力的瞬时功率P。 二．带电粒子（计重力）在匀强电场中的圆周运动（共5小题） 6．（2026•河北模拟）如图所示，在竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质细绳的一端固定于O点，另一端系着一个带电小球，小球在竖直平面内做圆周运动，最高点为a，最低点为b。小球经过a点时速度最大。不计空气阻力，小球可视为质点，则（　　） A．小球带负电 B．小球在a点时电势能最大 C．运动过程中小球的机械能守恒 D．小球在b点时所受细绳拉力可能为零 7．（2026春•石景山区期末）角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器，其核心装置中有两个同心半球极板。垂直半球底面且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场，其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子a以初动能Ek，从入口M点垂直半球底面入射，从N点射出，电子b也从M点垂直半球底面入射，经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示，已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆，与OP交于H点，H、P两点间的电势差为U，OM＝r，NQ＝2HP，电子电荷量大小为e，重力不计。则（　　） A．P点的电场强度 B．电子a在H点受到的静电力大小为 C．电子b在P点动能小于在Q点动能 D．电子b从M点运动到Q点的过程中，克服静电力所做的功小于2eU 8．（2026•天祝县校级模拟）如图所示，竖直面内有一半径为R的光滑绝缘圆轨道，一质量为m，电荷量大小为q的带负电小球从轨道最低点出发，沿着轨道切线方向以大小为v0的初速度水平射出，整个装置处于竖直向下的匀强电场中，已知，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球在最低点对轨道的压力大小为 B．小球若能够不脱轨到达最高点，则初速度最小为 C．小球在最低点对轨道的压力大小为 D．小球若能够不脱轨到达最高点，则初速度最小为 9．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图所示，一电荷量为Q（Q＞0）的点电荷固定于O点，且在整个空间中存在竖直方向的匀强电场（图中未画出）。一个质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的带电粒子在水平面内绕O′做速率为v1的匀速圆周运动，两点电荷之间的距离为L，。若在某一时刻撤掉匀强电场，并从此时开始计时，经过时间t1速度方向第一次变化90°，紧接着又经过时间t2速度方向又变化了90°，此时带电粒子的速率为v2，已知静电力常量为k，不计粒子重力，则（　　） A．匀强电场方向竖直向下 B．匀强电场的电场强度大小为 C．v1＞v2 D．t1＞t2 10．（2026•梅河口市校级模拟）如图所示，长为l的绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在A点，此时细线与竖直方向的夹角为37°，重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．匀强电场的电场强度大小为 C．现用外力缓慢把小球拉到最低点，电势能减少 D．在最低点由静止释放小球，小球到达A点时细线的拉力大小为 三．带电粒子（计重力）在匀强电场中的曲线运动（共5小题） 11．（2026•湖北模拟）现有一竖直放置的电容器，板间距为d，两端接有一输出电压恒为U的电源，现有一质量为m，电荷量为q的小油滴从电容器上方沿两板中心线以速度v0落入电容器，恰好经过右极板的下端A点，此时小油滴的运动方向和竖直方向之间夹角为8°。已知重力加速度为g，不考虑电容器的边缘效应和空气阻力，则（cos8°，sin8°）（　　） A．小油滴带负电 B．小油滴在A点处的速度为v0 C．油滴的运动时间为 D．极板长度为d 12．（2026•宁夏模拟）如图所示，水平放置的两平行金属板间有一匀强电场，板长为L，板间距离为d，在距离板右端L处有一竖直放置的屏M。一带电荷量为q、质量为m的微粒沿两板中心线以速度v0水平向右射入板间，最后打在M屏与中心线的交点O，微粒未与金属板碰撞，重力加速度为g，则下列结论正确的是（　　） A．微粒打在O点时速度方向垂直于屏 B．整个过程中合力对微粒做功为零 C．板间电场强度大小为 D．两金属板间电势差为 （多选）13．（2026春•汉寿县校级期末）如图所示，在水平向左的匀强电场中，有一带电小球，质量为m，从O点斜向上抛出，初速度大小为v0，α＝37°，飞行一段时间后恰好竖直向下进入管口P，O点与P点等高，Q点为轨迹最高点，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．小球在上升和下降过程所用时间之比为2：1 B．小球在下降过程中机械能减少了 C．小球在上升和下降过程中，电场力做功大小之比为2：1 D．带电小球的重力与所受电场力的大小之比为3：2 14．（2026春•邗江区期末）面积足够大的两平行金属板距离为d，电势差为U。极板上O点处有一粒子源，连续向板间各个方向发射相同速率为v0的带负电粒子，粒子离开左板最远到达A点后返回。粒子质量为m、电荷量大小为q，不计粒子间相互作用及重力。求： （1）平行金属板间的电场强度大小E； （2）OA两点间的距离h； （3）粒子返回左板落点覆盖区域的面积S。 15．（2026•碑林区校级模拟）如图甲所示，在水平面的上方，A、B为同一竖直面内的两点，A、B之间的高度差为h，水平距离为2h，将质量为m的不带电小球自A点以一定初动能Ek0（未知）水平抛出，经过一段时间小球运动至B点。若该小球带正电、电荷量为q，并在竖直面内加上周期性变化的匀强电场，其变化规律如图乙所示。将小球在t＝0时刻仍从A点以的初动能水平向右抛出，在t＝T时，小球恰好以2Ek0的动能竖直向下经过B点。（m、q、h均为已知量，重力加速度为g，运动过程中小球的电荷量保持不变，小球始终没落到水平面上）。求： （1）不带电小球水平抛出初动能Ek0； （2）0～T时间内匀强电场的场强E0的大小； （3）从抛出开始计时经过3T的时间内，带电小球动能的最小值和全过程位移的大小。 答案和解析 一．带电粒子（计重力）在匀强电场中的直线运动（共5小题） 1．（2026春•南昌月考）如图所示，光滑水平面上方空间中存在垂直纸面向外的匀强磁场，足够长的绝缘木板静止于水平面上，带负电物块放置于木板右端。0时刻水平向右的恒力F作用在木板上使得木板和物块由静止开始一起运动，t时刻物块开始相对于木板滑动。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．0～t内物块与木板间的摩擦力逐渐增大 B．0～t内物块做加速度逐渐减小的加速直线运动 C．t时刻后物块先做加速度逐渐减小的加速直线运动，后做匀速直线运动 D．t时刻后木板先做加速度逐渐减小的加速直线运动，后做匀速直线运动 【分析】整体在恒力作用下从静止开始运动，物块与木板在0到t时间内保持相对静止，系统具有共同加速度，物块所受静摩擦力提供其加速度，因此该阶段摩擦力保持不变，物块做匀加速直线运动。t时刻后物块开始相对滑动，物块所受洛伦兹力随速度增大而增加，导致木板对物块的支持力减小，滑动摩擦力随之减小，物块加速度逐渐减小；当支持力减为零时摩擦力消失，物块将做匀速直线运动。 【解答】解：对系统进行受力分析，整体在恒力F作用下运动。 AB、在0到t时间内，物块与木板保持相对静止，系统具有共同的加速度，该加速度为定值。对于物块，静摩擦力提供其加速度，即f＝ma，因此摩擦力在此阶段保持不变，物块做匀加速直线运动，故AB错误； CD、物块带负电，向右运动时，根据左手定则可知其受到的洛伦兹力方向竖直向上。随着速度v增加，洛伦兹力FL＝qvB增大，木板对物块的支持力N＝mg﹣qvB逐渐减小，则最大静摩擦力fmax＝μN逐渐减小。当fmax减小到等于ma时，物块开始相对滑动。时刻t后，物块受到的滑动摩擦力f＝μ（mg﹣qvB）随速度增大而减小，物块的加速度逐渐减小，当时，支持力降为零，摩擦力消失，物块此后做匀速直线运动；对于木板，其受到的合力为F﹣f，由于滑动摩擦力f逐渐减小，其加速度逐渐增大，当f＝0后，木板在恒力作用下做匀加速直线运动，故C正确，D错误。 故选：C。 2．（2026春•昆明月考）如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板距离相等。甲的质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液pH＝3，接通电源，不计粘滞阻力和甲、乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒运动到极板的过程中，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙先到达极板 B．甲、乙运动到极板时动能相同 C．甲、乙运动到极板时动量大小相同 D．增大pH值，甲受到的电场力变大 【分析】颗粒悬浮时，重力等于浮力。调节溶液pH＝3，由图读出甲、乙两颗粒的带电量。接通电源后，根据牛顿第二定律分析加速度关系，再判断到达极板的先后；根据电场力做功关系，分析到达极板动能关系，再由分析运动到极板时动量关系；由图可知，增大pH值，甲的带电量先减小后增大，由F＝qE分析其受到的电场力变化。 【解答】解：A、未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮，重力等于浮力。调节溶液pH＝3，从图b中可知甲带电量为﹣2q0，乙带电量为2q0，接通电源后，由牛顿第二定律可得Eq＝ma，因甲的质量是乙的两倍，则甲的加速度为乙的一半，二者到相应极板距离相同，则乙比甲先到达极板，故A错误； BC、甲、乙运动过程中电场力都做相同的正功，由动能定理可知，甲、乙颗粒运动到极板时动能相同，根据可知动量大小不相同，故B正确，C错误； D、由图可知，增大pH值，甲的带电量先减小后增大，由F＝qE分析知甲受到的电场力也是先减小后增大，故D错误。 故选：B。 3．（2026•浙江开学）如图所示，真空中固定一个圆心为O、半径为R、带电量为Q的均匀带正电圆环。一根与水平面成30°角的固定绝缘长细杆，过圆心O且垂直于圆环平面穿过该圆环。一可视为质点的带负电小球，从杆上的a点以某一初速度沿杆向上运动，恰好能运动到杆上d点，已知小球电荷量为q（q≪Q），ab＝bO＝Oc＝cd＝R，静电力常量为k，重力加速度大小为g，绝缘细杆与小球间的动摩擦因数，则小球从a运动到d的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．圆环在b点产生的电场强度的大小 B．小球与圆环间的电势能先增大后减小 C．小球初速度大小等于 D．小球从a到O和从O到d的运动时间相等 【分析】题目中带电圆环在轴线上产生电场，带负电小球沿倾斜绝缘杆运动。分析圆环轴线上电场强度分布，需明确b点位于圆环轴线上，其电场强度由圆环电荷分布决定，而非简单的点电荷公式。小球电势能变化取决于电场力做功方向，电场力指向圆心，从a到O电场力做正功电势能减小，从O到d做负功电势能增大。小球从a到d全过程，利用对称性可知a、d两点电势相等，电场力总功为零，只需考虑重力做功和摩擦力做功，根据动能定理关联初速度与各力做功。比较a到O和O到d两段运动时间，需分析两段过程中小球所受合力大小差异，由于电场力方向变化导致减速加速度不同，位移相同但平均速度不同，因此时间不相等。 【解答】解：A、根据均匀带电圆环轴线上的电场强度公式，在b点时x＝R，代入解得，故A错误； B、圆环带正电，小球带负电，小球受到的电场力方向始终指向圆心O。从a到O的过程中，电场力做正功，电势能减小；从O到d的过程中，电场力做负功，电势能增大，即电势能先减小后增大，故B错误； C、小球从a运动到d的过程中，根据对称性可知a、d两点电势相等，电场力做功为零。重力做功WG＝﹣mg•4Rsin30°，解得：WG＝﹣2mgR。支持力N＝mgcos30°，摩擦力f＝μN，代入与，解得：。摩擦力做功Wf＝﹣f•4R，解得：。根据动能定理有，即，解得：，故C正确； D、小球从a到O的过程中，电场力沿杆向上，与运动方向相同，阻碍小球减速的合力较小；从O到d的过程中，电场力沿杆向下，与运动方向相反，阻碍小球减速的合力较大。由于两段位移大小相等，且第一段过程的平均速度大于第二段过程的平均速度，所以小球从a到O的运动时间小于从O到d的运动时间，故D错误。 故选：C。 4．（2026•青羊区校级开学）如图，足够大的空间内存在与水平方向夹角θ＝37°的匀强电场，长度为L、不可伸长的轻绳一端系于O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），O点距水平地面的高度为2L，其正下方P处固定一刀片，O、P间距离小于L。当小球处于静止状态时，轻绳与竖直方向的夹角为θ。现将小球拉至O点右侧等高位置（轻绳刚好拉直）静止释放，运动至O点正下方时轻绳被刀片割断，最终小球落到水平地面上。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小为 B．小球运动至O点正下方时的速度大小为 C．轻绳与刀片接触前瞬间的拉力大小为0.96mg D．小球落地点与O点的水平距离为L 【分析】A、小球静止时对其受力分析，根据平衡条件分析； B、根据动能定理分析小球由释放至O点正下方的过程； C、根据牛顿第二定律分析； D、沿水平和竖直两个方向分别讨论。 【解答】解：A、小球静止时对其受力分析，构建矢量三角形如图所示： 有Eq＝mgsinθ，代入数据可得E，故A错误； B、小球由释放至O点正下方，由动能定理可知，代入数据可得v＝0.4，故B错误； C、轻绳与刀片接触前瞬间，对小球受力分析如图所示： 由牛顿第二定律可知T'+Eqsinθ﹣mg，代入数据可得T'＝0.96mg，故C正确； D、轻绳切断后，对小球受力分析如图所示： 沿水平方向做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知Eqcosθ＝ma1，由匀变速直线运动规律可知x＝vt， 沿竖直方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可知mg﹣Eqsinθ＝ma2，由匀变速直线运动规律可知L，代入数据可得x，故D错误。 故选：C。 5．（2026春•邗江区期末）如图所示，夹角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上，AB长度为L，空间存在沿斜面向上的匀强电场，一个质量为m，电荷量为q带正电的物块，静止在斜面最高点A点，重力加速度取g。求： （1）匀强电场的电场强度E； （2）若匀强电场方向突变为沿斜面向下，物块下滑到B点时重力的瞬时功率P。 【分析】（1）根据共点力的平衡条件计算； （2）根据牛顿第二定律，运动学公式，重力的瞬时功率计算。 【解答】解：（1）物块静止在斜面最高点A点，根据平衡条件有mgsinθ＝Eq 可得电场强度 （2）受力分析如图所示 根据牛顿第二定律有mgsinθ+Eq＝ma 解得加速度为a＝2gsinθ 物块下滑到B点时有 重力的瞬时功率为 答：（1）匀强电场的电场强度为； （2）物块下滑到B点时重力的瞬时功率为。 二．带电粒子（计重力）在匀强电场中的圆周运动（共5小题） 6．（2026•河北模拟）如图所示，在竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质细绳的一端固定于O点，另一端系着一个带电小球，小球在竖直平面内做圆周运动，最高点为a，最低点为b。小球经过a点时速度最大。不计空气阻力，小球可视为质点，则（　　） A．小球带负电 B．小球在a点时电势能最大 C．运动过程中小球的机械能守恒 D．小球在b点时所受细绳拉力可能为零 【分析】由小球经过a点时速度最大，可知a点为等效最低点，a点电势最低，牛顿第二定律，只有重力和电场力做功，小球的机械能与电势能之和守恒确定。 【解答】解：A．小球经过a点时速度最大，由动能定理知，a点为等效最低点，小球受电场力方向向上，可知小球带正电，故A错误； B．因a点电势最低，故带正电的小球在a点时电势能最小，故B错误； C．运动过程中只有重力和电场力做功，故小球机械能与电势能的总和保持不变，故C错误； D．b点为等效最高点，则当满足时，此时小球在b点时所受细绳拉力为零，故D正确。 故选：D。 7．（2026春•石景山区期末）角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器，其核心装置中有两个同心半球极板。垂直半球底面且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场，其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子a以初动能Ek，从入口M点垂直半球底面入射，从N点射出，电子b也从M点垂直半球底面入射，经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示，已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆，与OP交于H点，H、P两点间的电势差为U，OM＝r，NQ＝2HP，电子电荷量大小为e，重力不计。则（　　） A．P点的电场强度 B．电子a在H点受到的静电力大小为 C．电子b在P点动能小于在Q点动能 D．电子b从M点运动到Q点的过程中，克服静电力所做的功小于2eU 【分析】已知电子a入射动能，其恰好做匀速圆周运动，根据电场力提供向心力解得圆弧MN上各点的电场强度大小，以及电子a在H点受到的电场力大小，根据P点处电场线与H点处的电场线疏密程度的比较，可知P点处电场强度大小与圆弧MN上各点的电场强度大小的关系；根据沿电场方向电势降低，得到Q点电势与P点的高低关系，根据电势能与电势的关系可得电子b在Q点电势能与在P点的大小关系，根据能量守恒判断电子b在P点时的动能与在Q点时的动能的关系；由电场线的疏密分布情况分析HP之间平均电场强度大小与NQ之间的平均电场强度大小的关系，根据电势差与电场强度的关系得到HP之间与NQ之间的电势差的关系，根据电场力做功与电势差的关系解答D选项。 【解答】解：AB.a粒子入射动能为Ek，根据动能的表达式有 粒子恰好做圆周运动，则 联立解得 ， 根据电场强度的分布可知P点的电场强度小于 故AB错误； C.已知NQl＝2|HPl，因为HN在同一等势线上，且沿电场方向电势降低，则Q点电势小于P点，电子在电势低处电势能大，则b粒子在Q点电势能大，根据能量守恒可知，b粒子在Q点动能较小，故C错误； D.由电场线密度分布情况可知，沿径向向外电场强度减小，则HP之间平均电场强度大小大于NQ之间的平均电场强度大小，根据 可知 UNQ＜2UHP 则b粒子全程的克服电场力做功 W＝eUNQ＜2eUHP＝2eU 故D正确。 故选：D。 8．（2026•天祝县校级模拟）如图所示，竖直面内有一半径为R的光滑绝缘圆轨道，一质量为m，电荷量大小为q的带负电小球从轨道最低点出发，沿着轨道切线方向以大小为v0的初速度水平射出，整个装置处于竖直向下的匀强电场中，已知，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球在最低点对轨道的压力大小为 B．小球若能够不脱轨到达最高点，则初速度最小为 C．小球在最低点对轨道的压力大小为 D．小球若能够不脱轨到达最高点，则初速度最小为 【分析】小球在最低点做圆周运动，合外力提供向心力，求得支持力，利用牛顿第三定律可得压力；若能够不脱轨到达最高点，则在最高点轨道对小球的弹力刚好为零，根据牛顿第二定律与动能定理解得最小初速度。 【解答】解：AC．小球在最低点做圆周运动，合外力提供向心力有 解得 根据牛顿第三定律有小球在最低点对轨道的压力大小为，故AC错误； BD．若能够不脱轨到达最高点，当在最高点轨道对小球的弹力刚好为零，即小球在重力和电场力作用下做圆周运动，则有 解得小球经过最高点的最小速度为 由动能定理可得 解得初速度最小值为，故B正确，D错误。 故选：B。 9．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图所示，一电荷量为Q（Q＞0）的点电荷固定于O点，且在整个空间中存在竖直方向的匀强电场（图中未画出）。一个质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的带电粒子在水平面内绕O′做速率为v1的匀速圆周运动，两点电荷之间的距离为L，。若在某一时刻撤掉匀强电场，并从此时开始计时，经过时间t1速度方向第一次变化90°，紧接着又经过时间t2速度方向又变化了90°，此时带电粒子的速率为v2，已知静电力常量为k，不计粒子重力，则（　　） A．匀强电场方向竖直向下 B．匀强电场的电场强度大小为 C．v1＞v2 D．t1＞t2 【分析】题目描述带电粒子在点电荷和匀强电场共同作用下做水平匀速圆周运动，撤去电场后仅受库仑力作用，速度方向发生两次90度变化。分析需明确初始状态受力平衡条件，粒子带负电，竖直方向库仑力分力向上，为保持竖直合力为零，电场力需向下，由此判断电场方向。撤电场后粒子在中心力场中运动，库仑力做正功导致速率增加，且角动量守恒使轨道半径减小，相同角度变化所需时间随角速度增大而缩短，从而比较时间关系。 【解答】解：A、设O点坐标为，圆轨道位于xy平面，圆心O'位于原点（0，0，0）。粒子所在位置距离O点为L，由勾股定理，圆轨道半径，解得：。粒子受库仑力，方向指向O点。该力在竖直方向的分量，解得：，方向向上。由于粒子在水平面内做匀速圆周运动，竖直方向合力为0，故电场力qE必须向下。由于粒子带负电﹣q，电场强度E方向应竖直向上，故A错误； B、根据，解得：，与选项B中给出的数值不符，故B错误； C、撤去电场后，粒子仅受库仑力作用。粒子在中心力场中做向心运动，由于库仑力做正功，动能增加，速率v2＞v1，故C错误； D、根据角动量守恒，随着粒子靠近O'点，轨道半径减小，粒子扫过相同圆心角（90°）时的平均角速度增大，故时间t1＞t2，故D正确。 故选：D。 10．（2026•梅河口市校级模拟）如图所示，长为l的绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在A点，此时细线与竖直方向的夹角为37°，重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．匀强电场的电场强度大小为 C．现用外力缓慢把小球拉到最低点，电势能减少 D．在最低点由静止释放小球，小球到达A点时细线的拉力大小为 【分析】这是一道重力场与匀强电场叠加的力学综合题，核心考点包括：受力平衡、电场强度计算、电势能变化、动能定理与圆周运动的结合。题目以带电小球在复合场中的平衡与运动为背景，考查了静力学、电场能、动力学的综合应用，是高中物理“复合场问题”的典型题型。 【解答】解：A.本题考查静电场，目的是考查学生的推理论证能力。小球静止时细线向左偏，电场水平向右，故小球受到向左的电场力，它带负电，故A错误； B.由平衡条件有qE＝mgtan37°，，解得，故B错误； C.将小球拉到最低点的过程中，电场力做的功，电场力做负功，电势能增加，故C错误； D.小球从最低点到A点，由动能定理有 代入数据得v2＝0.5gl在A点，有 解得，故D正确。 故选：D。 三．带电粒子（计重力）在匀强电场中的曲线运动（共5小题） 11．（2026•湖北模拟）现有一竖直放置的电容器，板间距为d，两端接有一输出电压恒为U的电源，现有一质量为m，电荷量为q的小油滴从电容器上方沿两板中心线以速度v0落入电容器，恰好经过右极板的下端A点，此时小油滴的运动方向和竖直方向之间夹角为8°。已知重力加速度为g，不考虑电容器的边缘效应和空气阻力，则（cos8°，sin8°）（　　） A．小油滴带负电 B．小油滴在A点处的速度为v0 C．油滴的运动时间为 D．极板长度为d 【分析】根据极板电势的高低判断场强的方向，结合小油滴的运动方向判断小油滴的电性；根据运动的合成与分解找出速度关系，再根据运动学公式求解即可。 【解答】解：A.电容器左极板的电势高于右极板，则电容器中电场强度向右，粒子带正电，故A错误； B.分析油滴的受力，其受到重力和电场力。将油滴的运动分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的匀加速运动。得： VA•sin8°＝gt VAcos8°＝v0+gt 联立解得 故B错误，C正确； D.水平方向： 竖直方向： 解得 故D错误。 故选：C。 12．（2026•宁夏模拟）如图所示，水平放置的两平行金属板间有一匀强电场，板长为L，板间距离为d，在距离板右端L处有一竖直放置的屏M。一带电荷量为q、质量为m的微粒沿两板中心线以速度v0水平向右射入板间，最后打在M屏与中心线的交点O，微粒未与金属板碰撞，重力加速度为g，则下列结论正确的是（　　） A．微粒打在O点时速度方向垂直于屏 B．整个过程中合力对微粒做功为零 C．板间电场强度大小为 D．两金属板间电势差为 【分析】A、微粒在板间受电场力和重力，做类平抛运动，之后只受重力，做斜抛运动，将运动正交分解，根据平抛运动规律分析； B、分别分析重力和电场力做功情况； C、根据牛顿第二定律分析在板间的加速度； D、根据电势差和电场强度的关系分析。 【解答】解：A、微粒由A到B在板间受电场力和重力，做类平抛运动，由B到O只受重力，做斜抛运动，轨迹如图所示： 将运动正交分解，水平方向做匀速直线运动，由A到B运动时间，由B到O运动时间，即t1＝t2， 竖直方向，由A到B，向上做匀加速直线运动，设竖直位移为y1，在B点竖直分速度为vy1，有，vy1＝at1，由B到O，做竖直上抛运动，设竖直位移为y2，有， 因为微粒打在O点，总竖直位移为0，即y1+y2＝0，代入数据可得，在O点竖直方向速度vy2＝vy1﹣gt2，代入数据可得vy2，即速度方向不垂直于屏，故A错误； B、整个过程中，微粒起点和终点在同一水平线上，重力做功为零，有A到B，电场力做正功，合力做功不为零，故B错误； C、在板间，由牛顿第二定律可知qE﹣mg＝ma，代入数据可得，故C错误； D、两金属板间电势差，故D正确。 故选：D。 （多选）13．（2026春•汉寿县校级期末）如图所示，在水平向左的匀强电场中，有一带电小球，质量为m，从O点斜向上抛出，初速度大小为v0，α＝37°，飞行一段时间后恰好竖直向下进入管口P，O点与P点等高，Q点为轨迹最高点，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．小球在上升和下降过程所用时间之比为2：1 B．小球在下降过程中机械能减少了 C．小球在上升和下降过程中，电场力做功大小之比为2：1 D．带电小球的重力与所受电场力的大小之比为3：2 【分析】A.根据小球在竖直方向的受力情况判断小球的运动情况，进而求出小球在上升和下降过程所用时间之比； BC.由逆向思维求出上升和下降过程中水平位移之比，结合能量守恒定律求出小球在下降过程中机械能减少量和小球在上升和下降过程中，电场力做功大小之比； D.根据运动学公式求出带电小球的重力与所受电场力的大小之比。 【解答】解：A．根据题意可知，小球在竖直方向上仅受重力的作用，所以小球做竖直上抛运动，则上升和下降过程所用时间之比为1：1，故A错误； BC．整个过程中，水平方向做匀减速运动，水平末速度减为零，根据逆向思维可知，上升和下降过程中水平位移之比为3：1，则电场力做功大小之比为3：1，整个过程中机械能减小量为 则小球在下降过程中克服电场力做功为 即小球的机械能减少了，故B正确，C错误； D．根据题意可知竖直方向 水平方向 解得mg：qE＝3：2，故D正确。 故选：BD。 14．（2026春•邗江区期末）面积足够大的两平行金属板距离为d，电势差为U。极板上O点处有一粒子源，连续向板间各个方向发射相同速率为v0的带负电粒子，粒子离开左板最远到达A点后返回。粒子质量为m、电荷量大小为q，不计粒子间相互作用及重力。求： （1）平行金属板间的电场强度大小E； （2）OA两点间的距离h； （3）粒子返回左板落点覆盖区域的面积S。 【分析】（1）由匀强电场电势差与场强的关系求解； （2）根据动能定理求出OA两点间的距离h； （3）（3）粒子返回左板落点覆盖区域的面积需要考虑不同发射角度下粒子的运动轨迹，通过分析粒子在电场中的类平抛运动，确定最大落点距离后计算圆形覆盖面积。 【解答】解：（1）平行金属板间为匀强电场，由匀强电场电势差与场强的关系得 （2）从O点沿着OA方向射出的粒子能到达最远点A，则根据动能定理有 解得 （3）设初速度方向与极板成α角，回到左极板时距离O点的距离r＝v0cosα•t， 可得，其中 化简得，可知当α＝45°时，r取得最大值为 粒子返回左板落点覆盖区域的面积 答：（1）平行金属板间的电场强度大小E为； （2）OA两点间的距离h为； （3）粒子返回左板落点覆盖区域的面积S为。 15．（2026•碑林区校级模拟）如图甲所示，在水平面的上方，A、B为同一竖直面内的两点，A、B之间的高度差为h，水平距离为2h，将质量为m的不带电小球自A点以一定初动能Ek0（未知）水平抛出，经过一段时间小球运动至B点。若该小球带正电、电荷量为q，并在竖直面内加上周期性变化的匀强电场，其变化规律如图乙所示。将小球在t＝0时刻仍从A点以的初动能水平向右抛出，在t＝T时，小球恰好以2Ek0的动能竖直向下经过B点。（m、q、h均为已知量，重力加速度为g，运动过程中小球的电荷量保持不变，小球始终没落到水平面上）。求： （1）不带电小球水平抛出初动能Ek0； （2）0～T时间内匀强电场的场强E0的大小； （3）从抛出开始计时经过3T的时间内，带电小球动能的最小值和全过程位移的大小。 【分析】（1）对不带电的小球由A到B的过程，根据平抛规律求出初速度后，再求初动能； （2）将小球的运动沿水平与竖直方向分解，由力与运动的关系，结合电场力做功，分别求得电场力沿水平与竖直方向的分量，再由矢量合成求得电场强度； （3）根据交变电场的变化规律，将小球的运动沿水平与竖直方向分解，由力与运动的关系推断小球在两方向上的运动规律，由得到的运动规律求解。 【解答】解：（1）小球从A点运动到B点做平抛运动，可知 2h＝v0t 小球在A点的动能 （2）带电小球从A点运动到B点的过程中，在水平方向做匀减速直线运动，设在A点时的水平方向速度为vx，在水平方向的加速度为ax。由牛顿第二定律有Exq＝max 由运动学公式有 由题可知 解得电场强度的水平向左分量 带电小球从A点运动到B点的过程中，在竖直方向做匀加速直线运动，设在B点时的速度为vy，在竖直方向的加速度为ay。由牛顿第二定律有mg+Eyq＝may 由运动学公式有 由题可知 解得电场强度的竖直向下分量 则电场强度的大小 （3）小球在水平方向的运动规律是：0～T内小球水平向右做加速度为ax的匀减速直线运动；T～2T内电场反向，电场力的水平分力向右，小球水平向右做加速度为ax的匀加速直线运动，之后再重复前面的运动。因此，小球在0～3T时间内水平位移x＝3×2h＝6h 小球在竖直方向的运动规律是：0～T内小球竖直向下做加速度为ay的匀加速直线运动；T～2T内电场反向，竖直向上的电场力分力与重力平衡，所以小球竖直向下做匀速直线运动，之后重复前面的运动。因此，小球在竖直方向，0～T时间内位移v＝ayT T～2T时间内位移y2＝vT＝2h 2T～3T时间内位移 所以在3T时间内竖直方向的总位移为y＝y1+y2+y3＝6h 小球的位移大小 当带电小球的运动方向与小球所受的合力方向垂直时动能最小，电场力与重力的合力 设合力与竖直方向的夹角为α，则 如图所示 所以带电小球动能的最小值 答：（1）不带电小球水平抛出初动能为mgh； （2）0～T时间内匀强电场的场强E0的大小为； （3）从抛出开始计时经过3T的时间内，带电小球动能的最小值为，全过程位移的大小为。 学科网（北京）股份有限公司 $