21.4 第3课时 二次函数应用中的其他问题2（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

第3课时　二次函数应用中的其他问题

教学目标

【知识与技能】

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或小)值,培养学生解决问题的能力.

【过程与方法】

应用已有的知识,经过自主探索和合作交流尝试解决问题.

【情感、态度与价值观】

在经历和体验数学知识发现的过程中,提高思维品质,在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心.

重点难点

【重点】

二次函数在最优化问题中的应用.

【难点】

从现实问题中建立二次函数模型,学生较难理解和掌握.

教学过程

一、问题引入

在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可使面积最大、利润最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题,这类问题称为最优化问题.其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.如何利用二次函数分析解决这样的问题呢?

本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用.

做一做:从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是:h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?

我们可以借助函数图象解决这个问题,画出函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象,如图所示,可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.

因此,当t=-=-=3时,h有最大值=45,也就是说,小球运动的时间是3s时,小球最高,小球运动中

的最大高度是45 m.

一般地,当a>0(或a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(或高)点,也就是说,当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(或大)值.

二、新课教授

问题1.某商品现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

师生活动:

教师分析存在的问题,书写解答过程.

分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.

设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之改变.我们先来确定y随x变化的函数关系式,涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)元.销售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润为

y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),(0≤x≤30)

即y=-10x2+100x+600

=-10(x2-10x)+600

=-10(x2-10x+25)+850

=-10(x-5)2+850(0≤x≤30)

所在,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大为850元.

思考:在降价的情况下,最大利润是多少?

(降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大为6 125元.)

思考:由上面的讨论及现在的销售情况,你知道如何定价才能使利润最大了吗?

(在涨价的情况下,定价65元;在降价的情况下,定价57.5元.)

问题2:图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.若水面下降1 m,水面宽度增加多少?

师生活动:

学生完成解答.

教师分析存在的问题,书写解答过程.

分析:我们知道二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.

可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.

由抛物线经过点(2,-2),可得

-2=a×22,解得a=-,

这条抛物线表示的二次函数为y=-x2.

水面下降1 m,水面所在位置的纵坐标为y=-3,代入上述表达式得x=±.