21.4 第3课时 二次函数应用中的其他问题1（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

第3课时　二次函数应用中的其他问题

1．掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(重点、难点)

2．进一步体会数形结合的数学思想方法．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

一、情境导入

红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？

 

二、合作探究

探究点一：利用二次函数解决利润问题

深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）由题意，设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元．
3000-10（x-10）=2600，解得：x=50．
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元．

（2）由题意，①当0＜x≤10时，y=（3000-2400）x=600x,∴当x=10时，y最大=600×10=6000（元）；
②当10＜x≤50时，y=[3000-10（x-10）-2400]x=-10x2+700x=-10（x-35）2+12250，
∴当x=35时，y最大=12250（元）．
③当50＜x≤60时，y=（2600-2400）x=200x,∴当x=60时，y最大=200×60=12000（元）．
综上所述，当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元．

 

探究点二：利用二次函数进行决策和判断

某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图所示．

(1)求演员运动过程中距离地面的最大高度；

(2)已知人梯高BC＝3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演能否成功？请说明理由．

解析：(1)转化为求二次函数y＝－x2＋3x＋1的最大值问题；(2)求x＝4时对应的y值，然后与BC比较，若等于3.4，即表演成功，否则就不成功．

解：(1)y＝－x2＋3x＋1＝－(x－)2＋.∵a＝－<0，∴函数有最大值为.∴演员运动过程中距离地面的最大高度是m；

(2)将x＝4代入函数关系式中得y＝3.4.∵BC＝3.4m，∴这次表演能成功．

方法总结：将生活中的问题转化为二次函数问题求解，要把握函数的相关性质与生活中实际问题的对应关系．

 

探究点三：二次函数的综合运用

 如图，矩形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)和(2，0)，且BC＝2.直线AC与直线x＝4交于点E.求以直线x＝4为对称轴，且过点C与原点O的抛物线对应的函数表达式，并说明此抛物线一定过点E.

解析：以x＝4为对称轴的抛物线，我们一般可以设其对应的函数表达式为y＝a(x－4)2＋m，然后再根据抛物线经过点O与点C求出a与m的值．

解：由已知得点C的坐标为(2，2)．

设抛物线所对应的函数表达式为y＝a(x－4)2＋m，∵该抛物线过点O(0，0)，C(2，2)，

∴解得

∴所求抛物线对应的函数关系式为y＝－(x－4)2＋.