21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题1（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

第2课时　实物型抛物线及运动中的抛物线问题

1．能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题；(重点、难点)

2．经历探索解决实际问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学建模的思想和数学的应用价值．

 

一、情境导入

跳绳是同学们非常喜欢的一种体育活动，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，设拿绳的手此时距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？

要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？

 

二、合作探究

探究点一：二次函数在建筑问题中的应用

如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．

解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2＝－3，x＝±.故答案为2.

方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数解析式解决实际问题．

 

探究点二：二次函数在体育活动中的应用

【类型一】 运动轨迹问题

某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．

 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？

 (2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？

解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．

解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．

设二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4.

将点C的坐标代入上式，得左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；

(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．

 

【类型二】 落点问题

如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4＝7)?

(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米(取2＝5)?

解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点M