21.2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

1．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象；

2．配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握二次函数的性质；(重点)

3．二次函数性质的综合应用．(难点)

 

一、情境导入

火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？

 

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

【类型一】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值

已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是(　　)

A．－10.5            B．2          C．－2.5             D．－6

解析：y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2，∵自变量取值范围为0≤x≤，∴图象都在对称轴的左侧，且y随x的增大而增大．∴当x＝时，y有最大值，最大值为y＝－2x2＋8x－6＝－2×()2＋8×－6＝－2.5.故选C.

方法总结：二次函数求最值最常用的方法是配方法和公式法，需要注意的是，当自变量限制范围时，如果对称轴取值不在范围内，则可以根据二次函数图象的增减性在取值范围内求最值．

 

【类型二】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性

如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　)

 

A．a＞1                 B．－1＜a≤1

C．a＞0                 D．－1＜a＜2

解析：抛物线的对称轴为x＝－＝1，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1.故选B.

方法总结：抛物线的增减性：当a＞0时，开口向上，对称轴左降右升；当a＜0时，开口向下，对称轴左升右降．

 

【类型三】 在同一坐标系中确定二次函数与一次函数的图象

在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(　　)

解析：当二次函数图象开口向上时，－m>0，即m<0，对称轴x＝＝<0，这时抛物线的对称轴在y轴左侧．当m<0时，一次函数y＝mx＋m的图象经过第二、三、四象限．故选D.

方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．

 

探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的平移

在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是(　　)

A．(－3，－6)         B．(1，－4)          C．(1，－6)       D．(－3，4)

解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x＋1)2－5，将y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)．故选C.

方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．

 

 

探究点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的位置与系数a、b、c的关系

如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是(　　)