2.2 第3课时 公式法（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的公式法，核心内容包括求根公式的推导、公式法解方程及根的判别式应用。课堂导入通过复习配方法步骤及解方程，搭建从配方法到公式法的学习支架，衔接旧知与新知。 资料特色在于引导学生经历求根公式推导过程，培养推理意识，典例与练习结合规范步骤提升运算能力，根的判别式探究发展数学思维，分层反馈巩固应用，助力学生理解数学原理并形成理性精神。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第3课时 公式法 【学习目标】 1. 经历求根公式的推导过程. 2. 会用公式法解简单系数的一元二次方程. 3. 理解并会求一元二次方程根的判别式. 4. 会用判别式判断一元二次方程根的情况. 学习重点：经历求根公式的推导过程. 学习难点：会用公式法解简单系数的一元二次方程. 【复习导入】 1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0 ? 【合作探究】 探究点1：用公式法解一元二次方程 合作探究 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多. 你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 吗？ 【归纳总结】 求根公式：______________ 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 注意：用公式法解一元二次方程的前提是： 1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)； 2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算. 【典例精析】 例1 解方程. （1）x2 -7x -18 = 0 （2）4x2 + 1 = 4x. 【要点归纳】 公式法解方程的一般步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 - 4ac 的值； 4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解； 若 b2 - 4ac＜ 0，则方程没有实数根. 探究点2：一元二次方程根的判别式 尝试·思考 (1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ (2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当 b2 - 4ac＜0 时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流. 归纳总结： 因此把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示， 即Δ= b2－4ac. 判别式的情况 根的情况 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2－4ac 来判定。我们把 b2－4ac 叫作一元二次方程 aax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示。 练一练 按要求完成下列表格. Δ的值 根的情况 【典例精析】 例2 若关于x的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( ) a. k＞-1 b. k＞-1且 k ≠ 0 c. k＜1 D. k＜1且 k ≠ 0 练一练 1.不解方程，判断下列方程根的情况． (1)3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1). 2.用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0； (2) 2x2 − x + 1 = 0； (3) 5x2－3x = x + 1； (4) x2+ 17 = 8x. 当堂反馈 1.一元二次方程x2－5x＋4＝0根的判别式的值是(　　) A.21 B.16 C.9 D.1 2.一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是(　　) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是(　　) A.2x2－6x＋1＝0 B.3x2－x－5＝0 C.x2＋x＝0 D.x2－4x＋4＝0 4.若方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　. 5.用公式法解下列方程： (1)x2－5x－6＝0； 书写通关 解：a＝　　，b＝　　，c＝　　. ∵Δ＝　 　＞0， ∴x＝　 　. 即x1＝　　，x2＝　　. (2)x2－3x＋4＝0； (3)16x2＋8x＝3； (4)4x(x－1)＝－3. 参考答案 【合作探究】 探究点1：用公式法解一元二次方程 解：方程两边都除以 a，得 配方，得 移项，得 例题精析 例1 （1）解：这里 a = 1，b = －7，c = －18， 因为 b2－4ac = (－7)2－4×1×(－18) = 121＞0. 所以 即 x1 = 9，x2 = －2. （2）解：将原方程化为一般式：4x2 - 4x + 1 = 0. 这里 a = 4，b = -4，c = 1， 因为 b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0. 所以 即 探究点2：一元二次方程根的判别式 尝试·思考(1) 将方程转化为 (x - 1)2 = -2，原方程无实数根. (2) 当 b2 - 4ac＜0 时， ∴ 此时方程无实数根. 填一填 典例精析 例2 解析：由题知，方程有两个不相等的实数根， 则b2－ 4ac＞0，同时要求二次项系数不为0，即 (-2)2 + 4k＞0，k≠0. 解得k＞-1且k≠0，故选B. 练一练1. 解：（1)这里a=3，b=4，c=-3。 因为 b²－4ac= 3²－4×3×(－3)=52>0， 所以方程有两个不相等的实数根 (2)将原方程化为一般形式，得4－12x+9=0， 因为 b²－4ac =(－12)²－4×4×9 = 0， 所以方程有两个相等的实数根。 (3) 将原方程化为一般形式，得 5y2 - 7y + 5 = 0。 因为 b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5 = -51＜0. 所以方程无实数根． 2.(1) 解：这里 a = 1，b = −4，c = −7。 因为 b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. 所以 即 (2) 解：这里 a = 2，b = − ，c = 1。 因为 b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0， 所以 即x1 = x2 = 。 (3) 解： 将原方程化为一般形式，得 5x2－4x－1 = 0。 这里 a = 5，b = －4，c = －1。 因为 b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0. 所以 即 (4) 解：将原方程化为一般形式，得 x2－8x + 17 = 0。 这里 a = 1，b = −8，c = 17。 因为 b2 − 4ac = (−8)2 − 4×1×17 = −4＜0。 所以方程没有实数根。 当堂反馈 1.　C　 2.　B　 3.D　 4.　k＜4　. 5.(1) 解：a＝　1　，b＝　－5　，c＝　－6　. ∵Δ＝　(－5)2－4×1×(－6)＝49　＞0， ∴x＝　　. 即x1＝　6　，x2＝　－1　. (2)解：x1＝2，x2＝. (3)　　　.解：x1＝，x2＝－. (4)解：无实数根. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $