【教案】2.4 第1课时 行程(或动点)问题及平均变化率问题（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该教案聚焦一元二次方程的应用，核心知识点为平均变化率问题及行程（或动点）问题。课堂导入通过知识链接复习解一元二次方程的方法和列方程步骤，结合配套课件创设情境，搭建新旧知识桥梁形成学习支架。 特色在于问题驱动的探究式教学，以药品成本下降率、梯子滑动等实例引导学生用数学眼光观察现实，总结平均变化率公式培养模型意识，体现数学语言表达。分层例题设计提升推理能力，助力学生发展分析解决问题能力，为教师提供清晰教学流程与实例支持。

4　一元二次方程的应用 第1课时　平均变化率问题及行程（或动点）问题 1.掌握列一元二次方程解决实际问题的方法． 2.培养学生将实际问题向数学模型转化的能力，根据实际问题中蕴含的相等关系列一元二次方程，并应用它解决实际问题，体会数学建模的思想． 3.初步认识一元二次方程的应用价值，发展学生分析和解决问题的能力． 重点：通过建立问题中的数量关系并建立一元二次方程模型． 难点：正确分析数学模型以解决平均变化率问题及行程（或动点）问题． 知识链接 　　解一元二次方程的方法有哪几种？列方程解决实际问题的基本步骤是什么？ 创设情境——见配套课件 　探究点一：平均变化率问题与一元二次方程 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，成本逐步下降，设下降率是x，则去年生产1吨甲种药品的成本是　5000（1－x）　元，如果保持这个下降率，那么今年生产1吨甲种药品的成本是　5000（1－x）2　元． 问题1：如果今年生产1吨甲种药品的成本是4050元，试求甲种药品成本的年平均下降率． 解：根据题意列方程，得5000（1－x）2=4050， 解方程，得x1=0.1，x2=1.9. ∵下降率不可为负，且不大于1. ∴x=0.1，即甲种药品成本的年平均下降率为10%．  某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少． 解：设平均增长率为x． 根据题意，得200＋200（1＋x）＋200（1＋x）2=950， 整理方程，得4x2＋12x－7=0. 解得x1=－3.5（舍去），x2=0.5=50%． 即平均增长率为50%． 思考：你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？ 若平均增长（或下降）百分率为x，增长（或下降）前的量是a，增长（或下降）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a（1±x）n=b（其中增长取“＋”，下降取“－”）． 　探究点二：利用一元二次方程解决行程（动点）问题 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m． 问题2：梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ 解：设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动x m，根据题意，得（8－x）2＋（6＋x）2=102，整理，得x2－2x=0，解得x1=0，x2=2.即梯子顶端下滑2 m． 问题3：如果梯子的长度是13 m，梯子顶端到地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 解：设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得（12－x）2＋（5＋x）2=132，整理，得x2－7x=0.解得x1=0（舍），x2=7.即梯子顶端下滑7 m时与梯子的底端滑动的距离相等．  （教材P51例1）在配套课件中展示 1.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶2500个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，则可列方程为(　A　) A.1000(1＋x)2＝2500 B.1000(1－x)2＝2500 C.(1－x)2＋1000＝2500 D.x2＋1000＝2500 2.某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下降的百分率是　40％　. 3.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为　15＋15(1＋x)＋15(1＋x)2＝60　. （见配套PPT） 　　 　　 　　 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $