13.2 勾股定理的应用（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，涵盖实际测距、最短路径、折叠问题等核心知识点。通过情境导入让学生观察物体运动过程计算路程，衔接勾股定理基础，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于以蚂蚁爬行、卡车过门等情境化实例为载体，结合数学眼光抽象直角三角形模型，通过典例精析和解题步骤总结培养数学思维。分层练习与详细解析助力学生发展模型意识和应用能力，教师可借此提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第13章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用 2026年8月4日 华东师大版八年级上册13.2 勾股定理的应用同步练习题（含解析） 考查知识点：勾股定理实际生活应用、最短路径问题、折叠几何问题、立体图形展开求边长、航海测距问题、高度与距离计算、几何综合求值、实际问题建模思想、应用题型易错点辨析 答题时长：40分钟 满分：100分 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 小明想测量池塘两端A、B的距离，在岸边取一点C，测得AC=6m，BC=8m，∠C=90°，则AB的长为（） A. 10m B. 12m C. 14m D. 48m 2. 一架梯子长13米，斜靠在墙上，梯子底部离墙5米，则梯子顶端离地高度为（） A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米 3. 长方体立体图形求表面最短路径，核心方法是（） A. 直接测量棱长和 B. 展开立体图形为平面，用勾股定理 C. 估算长度 D. 棱长直接相加 4. 直角三角形纸片折叠后，重合线段的长度关系是（） A. 折叠前后对应线段相等 B. 折叠后线段变长 C. 折叠后线段变短 D. 无固定关系 5. 一艘船从港口出发，向正东航行9km，再向正北航行12km，此时船离港口直线距离为（） A. 15km B. 21km C. 3km D. 10km 6. 一棵大树在离地5米处折断，树顶落在离树根12米处，则大树折断前总高度为（） A. 13米 B. 17米 C. 18米 D. 20米 7. 下列实际问题不需要用到勾股定理的是（） A. 求直角场景中两点直线距离 B. 立体图形最短路径求解 C. 任意三角形周长计算 D. 折叠图形边长求值 8. 已知长方形长8、宽6，则长方形对角线长为（） A. 10 B. 12 C. 14 D. 48 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 解决实际直角距离问题的核心公式：在Rt△中，两直角边为a、b，斜边c=________。 10. 立体图形最短路径问题，解题关键是将立体图形________为平面图形，再用勾股定理计算。 11. 长方形的长为12，宽为5，则对角线长为________。 12. 折叠问题的核心等量关系：折叠前后________相等、对应角相等。 13. 竖直高度、水平距离、直线距离可构成________三角形，适用勾股定理。 14. 梯子滑动问题中，梯子长度始终不变，即________长度恒定。 三、解答题（共44分） 15. 基础应用题：一棵树在离地6m处折断，树顶落地点距离树根8m，求大树原高（16分） 16. 梯子滑动问题：长13m的梯子斜靠墙面，底端距墙5m，若底端向外滑动2m，求顶端下滑距离（12分） 17. 最短路径问题：长方体长4、宽3、高12，求表面相对两点的最短爬行路径（8分） 18. 简答总结：勾股定理解决实际问题的通用解题步骤（8分） 四、参考答案与详细解析 选择题解析 1. A 解析：由勾股定理得$$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$$（m）。 2. C 解析：顶端高度$$h=\sqrt{13^2-5^2}=12$$（米）。 3. B 解析：立体图形无直线距离，需展开为平面，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求最短路径。 4. A 解析：折叠属于轴对称变换，折叠前后对应线段、对应角均相等，是解题核心等量关系。 5. A 解析：正东、正北互相垂直，直线距离$$\sqrt{9^2+12^2}=15$$（km）。 6. B 解析：折断部分长度$$\sqrt{5^2+12^2}=13$$米，原高=13+5=17米。 7. C 解析：任意三角形周长只需边长相加，无需勾股定理，其余选项均为勾股定理典型应用场景。 8. A 解析：长方形内角为直角，对角线$$\sqrt{8^2+6^2}=10$$。 填空题答案 9. $$\sqrt{a^2+b^2}$$ 10. 展开 11. 13 12. 对应线段 13. 直角 14. 斜边 解答题解析 15. 解：折断部分、地面、树干构成直角三角形，折断长度$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$（m），原树高度=10+6=16（m）。答：大树原高16米。 16. 解：初始顶端高$$\sqrt{13^2-5^2}=12$$m，滑动后底端距墙7m，此时顶端高$$\sqrt{13^2-7^2}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}$$m，下滑距离为$$(12-2\sqrt{30})$$m。 17. 解：展开长方体，分三种情况计算，最短路径为展开后直角边为(3+4)、12的斜边，$$\sqrt{7^2+12^2}=\sqrt{193}$$，为最短爬行路径。 18. 解：①建模：将实际场景转化为直角三角形模型；②找量：确定直角边、斜边对应长度；③计算：代入勾股定理公式求值；④作答：结合实际问题写出最终答案。 核心知识点总结：1. 解题核心：实际问题转化为直角三角形模型；2. 高频题型：测距问题、梯子滑动、大树折断、立体最短路径、折叠求值；3. 关键技巧：立体展平面、折叠找等线段、不变量锁定斜边长度；4. 解题规范：先建模再计算，杜绝脱离实际场景盲目套公式。 情境导入 看一看：观察下图中物体的运动过程，试着计算其运动路程. 把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题. 变式 如果圆柱换成如图的棱长为 10 cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到 0.01 cm) A B 勾股定理的应用 1 A B 10 10 10 B C A 解：最短路程即为长方形的对角线 AB， 答：爬行的最短路程约是 22.36 cm. 知识点1 立体图形中两点之间的最短距离 （第1题） 1.小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近 似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的 数学知识准确地判断出从点攀爬到点 的最短路程为 ____米. 10 返回 5 （第2题） 2.某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜 （如图）.在此三棱镜的侧面上，从顶点到顶点 镶有一圈 金属丝.已知此三棱镜的高为，底面边长为 ，则这 圈金属丝的长度至少为____ . 15 返回 6 例1 如果盒子换成如图长 AB 为 3 cm，宽 BC 为 2 cm，高 BB1 为 1 cm 的长方体，蚂蚁沿着表面由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程又是多少呢？ A B C D B1 C1 D1 A1 分析：蚂蚁由 A 爬到 C1 过程中较短的路线有多少种？ (1)经过前面和上底面； (2)经过前面和右面； (3)经过左面和上底面. 典例精析 A B C D B1 C1 D1 A1 2 3 A 1 B B1 C1 D1 A1 3 2 1 A B C B1 C1 A1 3 2 1 A D D1 A1 B1 C1 解： (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 2 3 A 1 B B1 C1 D1 A1 (2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 3 2 1 A B C B1 C1 A1 (3)当蚂蚁经过左面和上面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 3 2 1 A D D1 A1 B1 C1 5.10＞4.47＞4.24 所以由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程是 4.24 cm. A B C D 2米 2.3 米 例2 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂房上方为半圆形拱门)？说明理由. 典例精析 MN＝ MH＝0.6＋2.3＝2.9 (米)＞2.5 (米). 答：卡车能通过厂门． 解：在Rt△ONM 中，∠MNO = 90°， 由勾股定理，得 A B D C O M ┏ N H 2 米 2.3 米 3.［2025咸阳期中］如图，圆柱的底面周长为，高为 ，在 圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点爬到点，再从点爬回到点 ， 则这只蚂蚁爬行的最短距离为____ . 30 （第3题） 返回 14 知识点2 利用勾股定理解决实际问题 4.［教材复习题变式］如图,一棵大树在一次强台风中距地面 处折断,倒下后树顶端着地点距树底端的距离为 ,则这棵大树在折 断前的高度为( ) C （第4题） A. B. C. D. 返回 15 勾股定理及其逆定理的综合应用 2 例3 如图，在 3×3 的方格图中，每个小方格的边长都为 1 ，请在给定网格中按下列要求画出图形： （1）画出所有从点 A 出发，另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 的线段； （2）画出所有以小题（1）中所画线段为腰的等腰三角形. A 分析 利用勾股定理找到以格点为端点满足要求的线段. 解 (1)如图，AB、AC、AE、AD 的长度均为 . (2)如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、 △ACD、△AED 就是所要画的等腰三角形. A E D C B （第5题） 5.［教材例2变式］一辆装满货物，宽为 的 卡车，欲通过如图所示的隧道（上方为半圆），则卡 车的外形高必须低于( ) A A. B. C. D. 返回 18 （第6题） 6.［2025鹤壁期末］如图，某自动感应门的正上方 处 装着一个感应器，离地2.6米（即 米），当 人进入感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高 1.7米的学生（ ）正对门，缓慢走到离门1.2米的地 方时，感应门自动打开，则 ____米. 1.5 返回 19 例4 如图，已知 CD＝6 cm，AD＝8 cm， ∠ADC＝90°，BC＝24 cm，AB＝26 cm，求图中着色部分面积. 解：在 Rt△ADC 中， ∵AC2 = AD2 + CD2 = 82 + 62 = 100 (勾股定理)， ∴AC = 10(cm). ∵AC2 + BC2 = 102 + 242 = 676 = 262 = AB2， ∴△ACB 为直角三角形（勾股定理的逆定理）. ∴S着色部分 = S△ACB - S△ACD = 96 (cm2). 7. ［2025西安期中］如图， 有一个摆钟，摆锤看作一个点，当它摆 动到离底座最近时，摆锤离底座的垂直 距离 ，当它来回摆动到离底 座的距离最高与最低时的水平距离为 时，摆锤离底座的垂直距离 ，求钟摆 的长度. 21 解：设，依题意得， ， . ， . 由题意知 ， ， 即，解得 . 答：钟摆的长度为 . 返回 22 （第8题） 8.如图，将一根长为20厘米的筷子置于底面直径为6厘 米，高为8厘米的圆柱形水杯中.设筷子露在杯子外面的 长度为厘米，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 返回 23 9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端 到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.若保持梯子底端位置不动， 将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为____米. 2.2 （第9题） 返回 24 10.如图，已知树（垂直于地面）上的点处 有两只松鼠， 为抢到点处（点，在同一水平地面上， ）的坚果，一只 松鼠沿到达点处，另一只松鼠沿到达点 处.若它 们经过的路程相等，则树的高度为____ . 7.5 返回 25 11.如图，现有一艘快艇即将靠岸，当 快艇到达点 的位置时，关闭发动机， 在离水面高度为 的岸上，工作 人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子 （1）若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点 的位置， 问此时快艇距离岸边还有多少米？ 解：根据题意得， 在中， ， 此时快艇距离岸边还有 . 的长为 .（假设绳子一直是直的，结果保留根号） 26 （2）若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸， 后快艇由 点移动到点 的位置，则工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 解：在 中， ， ， 在中， ， 工作人员手中的绳子被收上来 . 返回 27 勾股定理的应用 最短路程问题 勾股定理与其逆定理的应用 课堂小结 谢谢观看 THANKS $