13.2 勾股定理的应用（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，核心知识点包括最短路程、梯子下滑、台风类问题。课堂导入采用《九章算术》“竹折抵地”问题，通过旧知复习勾股定理及逆定理，以展开立体图形等方式探究新知，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于以古代数学问题导入培养数学眼光，典例分析中展开圆柱侧面、构造对称点发展数学思维，台风问题用逆定理判断直角三角形体现数学语言。实例丰富如蚂蚁爬圆柱、梯子下滑计算，教学方法含旧知铺垫、变式训练，小结分类梳理。助力学生提升应用能力，教师可高效备课。

13.2 勾股定理的应用 第13章 勾股定理 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 熟练掌握勾股定理中最短路程问题 能通过展开立体图形的结合勾股定理及其逆定理求物体运动的最短路程问题，需要主要是否要分情况讨论。 掌握梯子下滑问题 熟练的掌握利用勾股定理解梯子下滑问题的核心关键是下滑过程中，梯子的总长度保持不变，能举一反三的求解铅笔类问题等 掌握勾股定理中台风类问题 熟练的掌握勾股定理中台风了问题，能正确的判断是否受台风影响，准确的计算出受台风影响的时间等。 旧知复习 勾股定理及其逆定理 课堂导入 《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈=10尺）． 可以设竹子未折断部分的高度为x尺，折断部分的高为（10-x）尺，利用勾股定理即可求解 新知探究 探究一：如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求这只蚂蚁爬行的最短路程（精确到0.01cm） 思考：蚂蚁要如何爬行，才能使得从点A到点C的路程最短？ 新知探究 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开如图所示，得到长方形ABCD，根据“两点之间线段最短”，所求的爬行的最短路程就是这一展开图------长方形ABCD的对角线AC的长 方法探究 新知探究 解决问题 如图所示，在Rt△ABC中，BC=圆柱体地面周长的一半=10cm 由勾股定理可得： 答：这只蚂蚁爬行的最短路程约为10.77cm 典例分析 例1 .如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为16cm．在杯内离杯底2cm的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为多少 先分析清楚蚂蚁的路线，区别本题与探究中的试题的区别 典例分析 解析：如图所示将圆柱的侧面展开 解：根据题意， ∴BC=BD-CD=5cm，作点A关于直线FB的对称点G，连接CG，则CG为所求最短距离，则FG=AF=1cm 过点G作GE⊥CB，交CB的延长线于点E，则四边形FBEG是矩形 故FB=EG=8cm，EB=FG=1cm，∠GEB=90° ，故CE=BC+BE=6cm 故 ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为10cm 变式训练 如图是一个底面周长为10cm，高AB为12cm的圆柱模型，BC是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ） A. B. C . D. 26cm 提示：将圆柱的侧面展开，根据题意可知AB=12cm，BC=5cm，利用勾股定理解得AC的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可 典例分析 例2 .消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长AB=CD=20m，云梯底部（点C、A）距离地面3m，消防车从距离地面15m高的点B处完成救援后，还要从距离地面19m高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点A、C、O在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 典例分析 解题思路 由题意可得OE=3，BE=15，DE=19，则OB=BE-OE=16 在Rt△OAB中，∠AOB=90°，AB=20，OB=12 由勾股定理可得 在Rt△OCD中，∠COD=90°，CD=20，OD=12 由勾股定理得 ∴AC=OA-OC=16-12=4(m) 答：云梯底部需要向楼房靠紧4cm 本题主要解题关键在滑落的过程中梯子的长度不发生变化 变式训练 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（AB=10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是AB的中点），它高出水面1尺（MP=1尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（MN=BN），求水的深度PN. 解：∵AB=10，点P是AB的中点 ∴BP=5 ∵MP=1，MP+PN=BN ∴1+PN=BN 在Rt△BPN中，根据勾股定理可得:BN2=52+PN2 ∴（1+PN）2=52+PN2，解得PN=12 答：水的深度PN为12尺 典例分析 例3 .2025年第18号超强台风“桦加沙”登陆我国沿海地区．如图，台风“桦加沙”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且AC=300km，BC=400km，AB=500km．经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，海港C会受到台风影响吗？为什么？ 提示：根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数，利用三角形面积得出CD的长，进而得出CD的长，再得出海港C是否受台风影响 典例分析 解题思路 解：海港C受台风影响，理由如下： ∵AC2+BC2=3002+4002=5002=AB2 ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90° 过点C作CD⊥AB于D ∵△ABC是直角三角形 ∴ ∴CD=240km，∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响，∴海港C受台风影响 变式训练 如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 提示：首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间=路程÷速度进行计算；再根据在30km范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间=路程÷速度计算，然后求出时间段即可 课堂练习 1. 如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（ ） A．3cm B . 5cm C. 6cm D . 7cm 课堂练习 2．如图，公路上A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（ ）km． A．4 B . 5 C. 6 D . 2 提示：设BE=x，则AE=(10-x)km，由勾股定理得：DE2=AD2+AE2=42+(10-x)2,CE2=BC2+BE2=62+x2，再根据DE=CE，得到62+x2=42+（10-x）2，即可求解 课堂练习 3．如图是一个无盖的长方体形盒子，长AB为9cm，宽BC为3cm，高CD为5cm，点M在棱AB上，并且AM=3cm．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（ ）． 提示：画出展开图形并能求出符合条件的最短路线，将盒子分情况展开，根据勾股定理求出线段的长度比较即可 A．10cm B . C. D . 课堂练习 4. 某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为4m，地毯的价格为100元/m2，则购买地毯需花费_______元． 5. 如图，在一张长方形纸板ABCD上放着一根长方体木块已知，AD=12m，AB=7m，该木块的长与AD平行，横截面是边长为1m的正方形，则一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程为 __________m 15 6800 课堂练习 6. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，则旗杆AB的长为 ___________ 米． 12 课堂练习 7. 如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为12m的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC=4m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD=6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下； 由题意可知，∠C=90°，∴△ABC为直角三角形 在Rt△ABC中，AC=4m，AB=12-4=8m 由勾股定理得：BC= ∵CD=6.5m，CD＜BC ∴树枝落地时会砸着小轿车 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $