采用动量观点研究带电粒子在电、磁场中的运动-《中学生数理化》高考理化2026年7～8月刊

中学生数理化 物理部分创新题追根溯源 高中理化2026年7一8月 采用动量观点研究带 ■河南省郑州市第一中学 一、考情分析 在高中阶段，解决带电粒于在电、磁场中 运动问题的传统方法是将抽象的电、磁场问 题转化为同学们所熟悉的“力学模型”进行处 理，其核心方法论是：通过“受力分析”这一桥 梁，结合几何关系，将电、磁学问题回归到牛 顿力学的框架下，列出一系列的代数方程与 几何方程，解方程得到最终结果。这种传统 的解题思路深刻体现了“电”与“力”的紧密联 系，重点考查同学们的逻辑思维能力和建模 能力，其优势是逻辑清晰、步骤规范。 然而，近些年来，带电粒于在电、磁场中 运动问题的考查趋势已从知识立意向能力立 意转变，命题者不再满足于考查简单的几何 关系与递推关系，而是高度重视对物理思想 的考查，包括模型建构、科学推理论证、情境 转化，以及运用数学工具处理物理问题的能 力等。这就要求同学们不能局限于对传统解 题方法的掌握，而应该思考采用新的解题方 法。合理应用动量定理研究带电粒于在电、 磁场交替出现空间中的圆弧轨迹与抛物线轨 迹的初、末状态，并采用微元法处理洛伦兹力 的冲量，就不失为一好的解题方法。 二、洛伦兹力的冲量分析 在空间直角坐标系Oxy之中，分布着沿之 轴方向的匀强磁场，磁感应强度B=B,,带 电粒于在Oxy平面内运动，其位置矢量可以 表示为r=xe,十ye,,其速度可以表示为v= v,e,十o,e,,带电粒于只受Oxy平面内的洛 伦兹力作用，可以表示为f=qB(o,e, v,e,)。对带电粒于应用动量定理得d(mv) =fdt,其分量形式为ndo,=gBv,dt= qBdy,mdo,=-qBv,dt=一qBdx,积分得 m△v.=qB△y,m△，=一qB△x,表明当带 电粒于在某个方向上仅受洛伦兹力作用时， 该方向上的动量变化取决于带电粒于在磁场 30 电粒子在电、磁场中的运动 王友书（特级教师）】 杨文睿 中沿垂直于该方向上的位移。 注意：动量定理分量式等号右边的冲量 形式的正负号取决于选取的正方向：因为动 量定理的两个分量式是独立的，所以当粒于 在某个方向上仅受洛伦兹力作用时，就可以 在此方向上应用洛伦兹力的冲量列式求解。 三、试题赏析 带电粒于在有界磁场组合有界电场中运 动的题目中，分析边界上的临界状态往往可 以应用洛伦兹力的冲量，绕过对复杂运动轨 迹的分析，只研究带电粒于的初、末状态。 例1真空中存在交替分布的多层紧 密相连的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场 的宽度均为d。电场强度为E,方向水平向 右；磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里。 电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂 直，如图1所示。将一个质量为m,电荷量为 十？的粒于从第一层电场的左边界某处由静 止释放，粒于始终在电场与磁场中运动，不计 粒于自身重力与粒于运动中的电磁辐射。 图1 (1)求粒于在第二层磁场中运动时的速 度大小v:与轨迹半径r:。 (2)当粒于从第n层磁场的右边界穿出 时，其速度的方向与水平方向间的夹角为， 试求sin0n。 (3)如果粒于恰好不能从第n层磁场的 右边界穿出，那么在其他条件不变的情况下， 也能进入第n层磁场，但比荷比较大的粒于 能否穿出该层磁场的右边界？ 解析：(1)在粒于从第一层电场的左边界 运动到进入第二层磁场的过程中，根据动能 定理得2gEd-2mvi,解得=2 qEd m 粒于在第二层磁场中运动，洛伦兹力提供向 ,解得r:=2 mEd 心力，则goB=m (2)假设粒于在第n层电 场与磁场中的运动轨迹如图2 所示，当粒于从第n层磁场的 右边界穿出时，设其速度大小 为on,竖直分速度为口wy,根据 E.B 动能定理得qE·nd= 图2 1 mw,解得o,=√ 2gEnd n 在竖直方向上，粒于仅受洛伦兹力竖直分量 的作用，以向上为正方向，根据左手定则可 知，洛伦兹力在竖直方向上的分量向上，则 h(—O)=。Bnd,解得0y二兰。因比 sin0。=o qB'nd 2mE (3)当粒于恰好从第n层磁场的右边界 穿出时，意味着粒于运动到第n层磁场右边 界时只存在沿竖直方向的分速度0m,则。= 。,因此in0.=1,即=1.当粒于 恰好从第n层磁场的右边界穿出时，有n= ，若粒于的比荷增大，则n变小，意味者 2mE 粒于将更早穿出，即无法从原边界穿出。 评析：本题是典型的“匀强电场十匀强 磁场”交替出现组合模型，重点考查洛伦兹 力冲量与动能定理的综合应用。解题时需要 注意：(1)应用洛伦兹力冲量的前提是所选方 向上无其他外力作用；(2)临界状态的数学表 达，第三小问“恰好不能从第n层磁场的右 边界穿出”，本质上是粒子在磁场右边界上的 竖直分速度等于合速度，即口m,=口。，对应 sin日，=1；(3)应用动能定理时静电力做的功 应与电场层数相匹配，即当粒子从第层磁 场的右边界穿出时，共经过层电场，静电力 做的功为ngEd。 两中理龙题4椒膏中学生教理化 物理部分：创新题追根溯源 例2如图3所 示，在Oxy平面的第二 象限内曲线OP上方有 沿y轴负方向的匀强电B 场，场强为E1,曲线OP 左侧有一粒于源AB,B 图3 端位于x轴上，能够持续不断地沿x轴正方 向发射速度为v。、质量为m、电荷量为g的粒 于束，这些粒于经电场偏转后均能够通过原点 O,已知从A点入射粒于恰好从P点进入电 场，不计粒于自身重力及粒于间的相互作用。 (1)写出匀强电场边界OP的曲线方程 (粒于入射点坐标y和x间的关系式)。 (2)若第四象限内存在边界平行于坐标 轴的矩形匀强磁场（未画出），磁感应强度为 B1,方向垂直于纸面向外，自O点射入磁场 的粒于束，经磁场偏转后均能返回y轴，粒于 在第四象限内运动时始终未离开磁场区域， 求磁场区域的最小面积。 (3)若第一象限与第四象限内存在多组 紧密相连的匀强磁场和匀强电场，如图4所 示，磁场、电场边界与y轴平行，宽度均为d, 长度足够长。磁感应强 度均为B:= 阳方向 垂直于纸面向里；电场强 m06 度均为E:=40,方向 沿x轴正方向。现仅考 图4 虑由A点射出的粒于， 经电场E1偏转后，恰好与y轴负方向成日= 45°角从O点射入，试确定该粒于将在第几个 磁场区域拐弯（速度恰好与y轴平行）。 解析：(1)取从点C(x,y)射入电场的粒 于为研究对象，其在竖直方向上做匀加速直 1 线运动，有qE1=ma,y=2at,在水平方向 上做匀速直线运动，有0一x=vot,整理得 y-2n·x。 (2)设粒于从O点射入第四象限时，速 度v与x轴正方向间的夹角为B,则。= vcos B。设粒于在磁场中运动的轨迹圆半径 31 中学生数理化 物理部分创新题追根溯源 高中理化2026年7一8月 为r,根据洛伦兹力充当向心力得qB,= ,解得r=m0 9B,。 粒于在磁场中的运动轨 迹如图5所示，根据几何关系可知，粒于在磁 场中运动轨迹对应的弦长l=2 rcos B= ·为一个定值，因此所有粒于都从同一 点射出磁场。矩形磁场区域 的最小面积应该由粒于在水 平方向上运动的最大距离决 定。显然，沿x轴正方向进入 磁场的粒于在水平方向上运 动的距离最大。根据几何关 图5 muo 系得xmax=r1= gB,。矩形磁 场最小要能够包衰住这个半径为1的运动 轨迹，所以Sn=1·1= mv3 (3)如图6所示，由A点射出的粒于从O 点以6=45°角进入第四象限时的速度大小为 √2。，当粒于在第n个磁场区域拐弯，即速度 刚好与y轴平行时，静电力做的功为qE2· (n-1)d=2mu-2m(2,),解得0.- 。取向上为正方向，可以判断洛伦 兹力的竖直分量向上，根据动量定理得 m[om一（一√2ocos0)]=qB,nd,整理得 2m-51-1=0,解得1=5+√3死或5-V3 4 4 （舍去)，则2<n<3,因此粒于进入第三个脑 场中，运动一段时间后，其速度平行于y轴， 即达到拐弯的临界状态。 B2 E B:E B2 E 图6 评析：本题第三问是洛伦兹力冲量的典 型应用，求解带电粒子在多组电、磁场交替分 布区域中的复杂运动轨迹问题，关键在于“剥 32 离中间过程，聚焦初、末状态”。需要特别注 意：(1)应用动量定理进行失量运算，需明确 正方向；(2)本题中出现了非整数解，求得 2一3，说明在前两个磁场区域中，粒子的 速度无法达到“与y轴平行”的临界状态，需 在第三个磁场中运动一段距离（未穿出磁场） 方可满足条件，体现了物理量的“过程性”。 小结：近几年的高考命题逐渐向能力立 意转型，涌现出了带电粒于在多组电场与磁 场交替分布区域中做复杂运动的创新型题 目，这类问题中带电粒于的运动轨迹往往存 在多次偏转、叠加，考生很难精准绘制出完整 的示意图，解题难度极大。同学们若能熟练 掌握洛伦兹力的冲量式，就可以剥离复杂的 中间过程，仅聚焦粒于的初、末状态，通过冲 量与动量变化的关系直接求解。需要特别强 调的是利用洛伦兹力冲量求解的方法并非对 传统方法的替代，而是对“初、末状态明确， 中间过程复杂”问题的补充解法，掌握该方法 的核心是理解“洛伦兹力不做功（粒于的速 率由电场决定)”和“动量定理的矢量性”。 个银踪训练 如图7所示，在 Oxy平面的第一、二象 限内存在两层相邻的 第二层 E】 匀强电场和匀强磁场， 电场和磁场的宽度均第一层 为d。电场强度为E, E 0 方向沿y轴负方向：滋 图7 感应强度为B,方向垂 直于纸面向外。原点O处有一电于源，可以 沿y轴正方向发射大量速率不同的电于。已 知所有电于均未从第二层磁场上方射出，其 中从O点飘入电场的电于（其初速度几乎为 零)恰不能进入第二层电场，求： (1)电于的比荷。 (2)电于从O点射出时速度的最大值。 参考答案：1)品-器 =dB:（2)0an= 2√2E B (责任编辑张巧)